- •Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами. Круги Эйлера.
- •Операции над множествами: пересечение, объединение, дополнение подмножества, разбиение на классы. Декартово произведение двух множеств. Основные законы операций над множествами.
- •Математические понятия. Объём и содержание понятия. Определение понятий. Способы задания понятий. Требования к определению понятий.
- •Математические предложения. Понятие высказывания и высказывательной формы (предикаты). Простые и составные высказывания. Операции над высказываниями: конъюнкция, дизъюнкция двух высказываний.
- •Высказывания с кванторами общности и существования. Отрицание высказываний с кванторами. Правила построения отрицаний высказываний с кванторами.
- •Структура теорем. Виды теорем и связь между ними.
- •Математическое доказательство. Правильные и неправильные рассуждения. Примеры неправильных рассуждений. Простейшие схемы правильных рассуждений.
- •Текстовая задача, её структура, методы и способы решения.
- •Этапы решения текстовой задачи и приемы их выполнения.
- •Решение задач на «части». Решение задач, связанных с различными процессами (работа, наполнение бассейнов)
- •Решение задач на движение.
- •Понятие комбинаторной задачи. Правила суммы и произведения. Основные формулы комбинаторики.
- •Алгоритмы и их свойства.
- •Элементы алгебры. Соответствие между двумя множествами.
- •Элементы алгебры. Числовые функции. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики.
- •Отношения на множестве, способы их задания. Свойства бинарных отношений между элементами одного множества. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.
- •Алгебраические операции на множестве. Свойства алгебраических операций.
- •Выражения и их тождественные преобразования
- •Уравнение с одной переменной. Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений.
- •Неравенство с одной переменной. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств.
- •Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Сложение и умножение натуральных чисел, законы сложения и умножения.
- •Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Вычитание и деление натуральных чисел.
- •Теоретико-множественный подход к построению множества целых неотрицательных чисел. Теоретико-множественный смысл суммы и разности двух целых неотрицательных чисел.
- •Теоретико-множественный смысл произведения и частного целых неотрицательных чисел. Законы умножения (с доказательством).
- •Смысл натурального числа и действия над числами, являющимися результатами измерения величин
- •Система счисления. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними в десятичной системе счисления.
- •Делимость целых неотрицательных чисел
- •Расширение понятия о числе. Понятие дроби. Положительные рациональные числа. Действительные числа.
- •Свойства геометрических фигур на плоскости.
- •Величины и их измерения.
Математическое доказательство. Правильные и неправильные рассуждения. Примеры неправильных рассуждений. Простейшие схемы правильных рассуждений.
Математическое доказательство. Понятие умозаключения как способа получения нового знания на основе некоторого имеющегося. Структура умозаключения: посылки и заключения. Виды умозаключений. Дедуктивное умозаключение. Неполная индукция. Аналогия. Правильные и неправильные рассуждения. Простейшие схемы правильных рассуждений: правило заключения, правило отрицания и правило силлогизма. Способы математического доказательства: прямое доказательство, косвенное доказательство (метод от противного), полная индукция.
Текстовая задача, её структура, методы и способы решения.
Понятие текстовой задачи как словесной модели какого-либо явления (ситуации, процесса). Структура текстовой задачи: условие и требование. Виды текстовых задач по отношению между условиями и требованиями: определённые, недоопределённые, переопределённые. Методы решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Способы решения текстовых задач. Примеры решения текстовых задач различными арифметическими способами.
Этапы решения текстовой задачи и приемы их выполнения.
Этапы решения текстовой задачи. Анализ задачи. Приемы анализа задачи: разбор содержания с помощью специальных вопросов, разбиение текста на смысловые части, перефразировка текста задачи с помощью таблицы, построение схематического чертежа, являющегося вспомогательной моделью задачи. Поиск плана решения задачи. Приемы поиск плана решения задачи по вспомогательной модели или схематическому чертежу. Осуществление плана решения задачи: по действиям с пояснениями, по действиям с вопросами, в виде выражения. Проверка решения задачи.
Решение задач на «части». Решение задач, связанных с различными процессами (работа, наполнение бассейнов)
Задачи на «части». Примеры задач на «части». Этапы решения задач на части. Вспомогательные модели в виде отрезков или прямоугольников. Способы решения задач на «части». Задачи, связанные с различными процессами. Задачи на работу. Общее количество произведённых деталей, производительность труда, время выполнения задания и зависимость между ними. Задачи на наполнение бассейнов. Объем воды, скорость поступления (выкачивания), время протекания процесса и зависимость между ними.
Решение задач на движение.
Задачи на движение. Пройденный путь, скорость, время и зависимость между ними. Задачи на встречное движение двух тел. Задачи на движение двух тел в одном направлении. Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях. Этапы решения задач на движение. Скорость сближения. Скорость удаления. Задачи на движение по реке. Собственная скорость тела, скорость течения, скорость движения по течению и против течения.
Понятие комбинаторной задачи. Правила суммы и произведения. Основные формулы комбинаторики.
Комбинаторика. Понятие комбинаторной задачи. Решение комбинаторной задачи с теоретико-множественной точки зрения. Метод перебора всех возможных вариантов. Подсчет числа вариантов. Дерево возможных вариантов. Правило суммы для нахождения числа элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств. Правило произведения для нахождения элементов декартова произведения двух множеств. Основные формулы комбинаторики. Правило подсчета числа различных размещений из m элементов по k элементов (с повторениями и без повторений). Правило подсчета числа сочетаний из m элементов по k элементов (без повторений). Правило подсчета числа перестановок из k элементов (без повторений).