№203 Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим ее возможными знаениями.

Решение:

Пусть Х – дискретная случайная величина, заданная законом распределения:

Обозначим наименьшее и наибольшее значения соответственно через и . Тогда

Итак,

Аналогично можно вывести, что

_{Объединяя, получим}

Ч.Т.Д.

№204 Дискретная случайная величина принимает положительных значений , , …, с вероятностями, равными соответственно , , …, . Предполагая, что возможные значения записаны в возрастающем порядке, доказать, что

Решение:

Принимая во внимание, что и , получим

Так как по условию возможные значения записаны в возрастающем порядке, т. е. , то

и .

Следовательно,

Предположение доказано.

№205 Доказать, что если случайные величины , ,… независимы, положительны и одинаково распределены, то

Решение:

Введем в расмотрение случайные величины

, , … , .(*)

Заметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю, поскольку величины ( ) положительны.

По условию, величины одинаково распределены, поэтому также одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания:

(**)

Легко видеть, что , следовательно,

.

Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому

.

В силу (**) имеем . Отсюда .

Учитывая (*), окончательно получим

.

Что и требовалось доказать.

№206 Доказать, что если случайные величины , , , независимы, положительны и одинаково распределены, то

.

Решение:

Введем в расмотрение случайные величины

, , … , .(*)

Заметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю, поскольку величины ( ) положительны.

По условию, величины одинаково распределены, поэтому также одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания:

(**)

Легко видеть, что , следовательно,

.

Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому

.

В силу (**) имеем . Отсюда .

Учитывая (*), окончательно получим

.

Что и требовалось доказать.

№207 Найти математическое ожидание дискретной случайной величины , распределенной по закону Пуассона:

Решение:

По определению математического ожидания для случая, когда число возможных значений есть счетное множество,

.

Учитывая, что при первый член суммы равен нулю, примем в качестве наименьшего значения единицу:

Положив , получим

Принимая во внимание, что , окончательно имеем

.

Итак,

,

т.е. математическое ожидание распределения Пуассона равно параметру этого распределения λ.

№208 Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если из- известно, что , .

Решение. Так как величины и независимы, то незави- независимы также и величины и . Используя свойства дисперсии (дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат), получим

.

№209 Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если известно, что , .

Решение.

Так как величины и независимы, то независимы также и величины и . Используя свойства дисперсии получим:

.

№210 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

Решение:

Дисперсию можно вычислить, исходя из ее определения, однако мы воспользуемся формулой

, которая быстрее ведет к цели.

Найдем математическое ожидание :

Напишем закон распределения

Найдем математическое распределение

Найдем искомую дисперсию:

.

Найдем искомое отклонение: .

№211 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины , заданной законом распределения:

a)

б)

Решение:

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

Найдем математическое ожидание

а)

б)

Напишем закон распределения для :

a)

б)

Найдем математическое ожидание

а)

б)

Найдем искомую дисперсию:

а)

б)

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

a)

б)

№212 Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения х1 и х2, причем равновероятных. Доказать, что дисперсия величины Х равна квадрату полуразности возможных значений;

.

Решение:

найдем математическое ожидание Х, учитывая, что вероятности возможных значений и х2 и, следовательно, каждая из них равна ½;

.

Найдем математическое ожидание ;

,

Найдем дисперсию Х:

.

№213 Найти дисперсию дискретной случайной величины —числа появлений события в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления событий А в каждом испытании равна 0,2.

Решение.

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события:

.

По условию, ; ; .

Искомая дисперсия

Ответ: 0,8

№214 Найти дисперсию дискретной случайной величины – числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

Решение:

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях(с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события:

.

По условию, ; ; .

Искомая дисперсия

Ответ: 0,9

Рудченко Олег

№215 Найти дисперсию дискретной случайной величины — числа появлений события в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что .

Решение.

Первый способ: Возможные значения величины таковы: (событие не появилось), (событие появилось один раз) и (событие появилось два раза).

Найдем вероятности возможных значений по формуле Бернулли:

P₂(0)=q²; ; P₂(2)=p²;

Напишем закон распределения :

Возможные значения	0	1	2
вероятности		2pq

Найдём

В силу условия , т. е. . Отсюда и, слеследовательно, .

Искомая дисперсия

Второй способ: Воспользуемся формулой . По условию, ; . Следовательно, . Отсюда и, значит, .

Найдем искомую дисперсию:

№216 Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х)=0.9.

Решение.

Ответ: 0.495.

№217 Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

Решение:

Дисперсия равна:

p²-p+0,21=0

Решим квадратное уравнение.

Искомая вероятность появления события А равна:

№218 Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, поэтому вероятность того, что примет значение , равна

Напишем закон распределения Х:

{1}

Для отыскания и надо составить два уравнения, связывающие эти числа. С этой целью выразим известные математическое ожидание и дисперсию через и .

Найдём

По условию, , следовательно {2}

Для того, чтобы получить второе уравнение, выразим известную дисперсию через и .

Напишем закон распределения

найдём

Найдём дисперсию

Подставляя , после элементарных преобразований получим

Объединяя {2} и {3}, получим систему уравнений

Решив эту систему, найдём 2 решения

По условию , поэтому задаче удовлетворяет лишь первое решение , {4}

Подставив {4} в {1}, получим искомый закон распределения

№219 Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что X примет значение x₁, равна 0,2. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M(X)=2,6 и среднее квадратическое отклонение σ(X)=0,8.

Решение:

Напишем закон распределения Х (вероятность х₂ получим из формулы о сумме вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины):

Нам известно математическое ожидание, тогда:

Так как Т.е. , отсюда

Объединяя, получим систему уравнений (умножим каждое на 5):

Решивсистему, получим:

Ответ:

№220 Дискретная случайная величина имеет только три возможных значения: , , причем . Вероятности того, что примет значения и соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения

величины , зная ее математическое ожидание и дисперсию .

№221 Брошены n игральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях.

Решение:

Обозначим через X дискретную случайную величину— сумму числа очков, которые выпадут на всех гранях, через — число очков, выпавших на грани i-й кости. Тогда

Очевидно, все величины X имеют одинаковое распределение, следовательно, одинаковые числовые характеристики и, в частности, одинаковые дисперсии, т. е.

. (*)

Так как рассматриваемые случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых:

.

В силу (*) получим

. (**)

Таким образом, достаточно вычислить дисперсию случайной величины , т. е. дисперсию числа очков, которые могут выпасть на «первой» кости.

Напишем закон распределения

	1	2	3	4	5	6
p

Найдем

Напишем закон распределения

	1	4	9	16	25	36
p

Найдем и

(***)

Найдем искомую дисперсию, для чего подставим (***) в (**):

Ответ: .

№222 Вероятность наступления события в каждом испытании равна p . Испытания производятся до тех пор, пока событие не наступит. Найти:

А) математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа испытаний, которые надо произвести до появления события;

Б) дисперсию величины X.

Решение.

А) Составим закон распределения величины X – числа испытаний, которые надо произвести, пока событие не наступит:

				…		…
				…		…

Здесь – вероятность не появления рассматриваемого события.

Найдем :

Итак,

Б) Будем искать дисперсию величины X по формуле

.

Учитывая, что , получим

Остается найти . Напишем закон распределения , используя распределение

				…		…
				…		…

Найдем :

Итак, .

Найдем искомую дисперсию:

№223 Воспользуемся результатами решения задачи 222 и получим, что искомое математическое ожидание равно: _{<подставим p>}

_{искомая дисперсия ищется по формуле, также полученной в предыдущей задаче:}

_{Т.к. вероятность отказа элемента в каждом номере равна (по условию), то}

№224 Доказать неравенство , где и – любые два возможных значения случайной величины .

Решение.

1) Допустим, что ( . Тогда

. (*)

2) Допустим, что . Докажем, что в этом случае

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства математического ожидания:

.

Вычитая и прибавляя в правой части равенства, получим

. (**)

Объединяя (*) и (**), окончательно имеем

.

№225 Доказать, что если случайная величина имеет наименьшее и наибольшее возможные значения, соответственно равные и , то дисперсия этой случайной величины не превышает квадрата полуразности между этими значениями:

.

Решение.

Воспользуемся неравенством . Докажем теперь, что

.

Очевидно, что из верности этого неравенства следует верность доказываемого. Преобразуем математическое ожидание: .

Второе слагаемое правой части равенства неотрицательно (т.к. b – наибольшее и a – наименьшее возможные значения), поэтому первое слагаемое не превышает всей суммы:

.

Так как математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, то имеем

и .

№226 Доказать, что если – две независимые случайные величины, то:

Решение:

Докажем по формуле для вычисления дисперсии.

Учитывая, что – независимые величины и, следовательно, так же независимы и что математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, получим:

По определению дисперсии:

Отсюда:

Подставив , после упрощения окончательно имеем:

№227 Найти дисперсию дискретной случайной величины , распределённой по закону Пуассона:

				…		…
				…		…

Решение:

Воспользуемся формулой

Так как (*)

Напишем распределение случайной величины , учитывая, что

вероятность того, что примет значение , равна вероятности

того, что примет значение к (это следует из того, что возможные

значения неотрицательны):

				…		…
				…		…

Найдём математическое ожидание :

Учитывая, что при k=0 первый член суммы равен нулю, получим

= = =λ =λ[ + ].

Положив, что , имеем

[ + ].

Принимая во внимание, что

=e^-λ =

имеем (**)

Подставим (**) в (*):

Итак, дисперсия распределения Пуссона равна параметру .

№228 Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.

Решение:

Найдём начальный элемент первого порядка:

.

Напишем закон распределения величины :

Найдём начальный момент второго порядка:

.

Найдём закон распределения величины .

Найдём начальный момент третьего порядка:

229 Дискретная случайная величина X задана законом

распределения:

Найти начальные моменты первого, второго и третьего

порядков.

Решение:

Найдём начальный элемент первого порядка:

Напишем закон распределения величины :

Найдём начальный момент второго порядка:

.

Найдём закон распределения величины X³.

Найдём начальный момент третьего порядка:

№230 Дискретная случайная величина X задана законом

распределения:

Найти центральные моменты первого, второго, третьего

и четвертого порядков.

Решение:

Центральный момент первого порядка равен нулю:

Для вычисления центральных моментов удобно воспользоваться

формулами, выражающими центральные моменты через начальные,

поэтому предварительно найдем начальные моменты:

;

;

;

.

Найдем центральные моменты:

;

.

№231 Дискретная случайная величина X задана законом распределения

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Центральный момент первого порядка равен нулю:

Для вычисления центральных моментов удобно воспользоваться

формулами, выражающими центральные моменты через начальные,

поэтому предварительно найдем начальные моменты:

;

;

;

.

Найдем центральные моменты:

;

.

Саградов Арсен

№232. Доказать, что центральный момент второго порядка

(дисперсия) меньше обычного

момента второго порядка при любом

Решение.

Для простоты записи введем обозначение М(Х)=т,

Прибавим и вычтем т под знаком математического ожидания:

Математическое ожидание суммы равно сумме математических

ожиданий слагаемых, поэтому

.

Вынося постоянную величину 2(m—С) за знак математического ожи-

дания и учитывая, что математическое ожидание постоянной

равно самой постоянной и что по определению ,

получим

Принимая во внимание, что математическое ожидание отклонения

X—m равно нулю, имеем

Отсюда

Из этого равенства заключаем, что центральный момент второго

порядка меньше обычного момента второго порядка при любом

№233 Доказать, что центральный момент третьего порядка

связан с начальными моментами равенством

Решение. По определению центрального момента,

Используя свойства математического ожидания и учитывая, что

М(Х) есть постоянная величина, получим

*

По определению начального момента,

**

Подставив (**) в (*), окончательно получим

№235 Пусть —независимые

случайные величины, имеющие центральные моменты

третьего порядка, соответственно равные и . Доказать,

что , где —центральный момент третьего

порядка величины X.

Решение.

Введем для простоты записи следующие обозначения

математических ожиданий: Тогда

М (X) = M( + ) = М ( ) + М ( ) =

По определению центральный момент третьего порядка,

Используя свойства математического ожидания (математическое

ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых,

математическое ожидание произведения независимых величин равно

произведению математических ожиданий сомножителей), получим

Учитывая, что математическое ожидание отклонения (разности

между случайной величиной и ее математическим ожиданием) равно

нулю, т. е. и , окончательно имеем

№236 Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания менее чем на три средних квадратических отклонения.

Решение:

№237 Доказать неравенство Чебышева в форме .

Решение:

Так как события и противоположные, то сумма их вероятностей равна единице. Т.е.,

№238 Используя неравенство Чебышева в форме, приведенной в задаче 237, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на два средних квадратических отклонения.

Решение:

Ответ:

№239 Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что

Решение:

Ответ: P=0,9

№240 Дано : и

Используя неравенство Чебышева, оценить ε снизу.

Решение:

№241 Устройство состоит из 10 независимо-работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется:

а) меньше двух;

б) не меньше двух.

Решение:

а) Обозначим через X дискретную случайную величину - число отказавших элементов за время Т. Тогда

M(X) =np=10*0.05=0.5

D(X) =npq=10*0.05*0.95=0.475

Воспользуемся неравенством Чебышева:

P (|X-M(X)|<e)>=1- (D(X)/e*e)

Подставив сюда М (Х)=0,5; D(X) =0,475, e = 2, получим

P (| X- 0.5 | <2)>=1-(0.475/4)=0.88

б) События |X-0.5|<2 и |X-0.5|>=2 противопоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,

P (|X-0.5|>2)<=1-0.88=0.12

№243. Вероятность появления события А в каждом испытании равна 1/2. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений события А заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 независимых испытаний.

Решение.

Найдем математическое ожидание и дисперсию дискретной

случайной величины X—числа появлений события А в 100

независимых испытаниях:

Найдем максимальную разность между заданным числом появле*

НИИ события и математическим ожиданием :

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме

Подставляя M(X)=50, D(X)=25, = 10 получим

№244

Вероятность появления события А в каждом испытании равна ¼ . Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появлений события А заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 независимых испытаний.

Решение.

Найдем математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в 800 независимых испытаниях:

М(Х) = n*p = 800* ¼ = 200; D(X ) = n*p*q= 800* ¼ * ¾ =150.

Найдем максимальную разность между заданным числом появлений события и математическим ожиданием М(Х) = 200:

ε = 250 – 200 = 10.

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме

Р( |Х – М(Х)|< ε) ≥ 1 – D(X)/ε2.

Подставляя М(Х) = 200, D(X) = 150, ε=50, получим

Р( |Х – 200|< 50) ≥ 1 – 150/502 = 1 – 0,06 = 0,94.

№245 Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X 0,3 0,6

р 0,2 0,8

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность

того, что |Х — М(Х)|<0,2.

Решение:

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины X:

M(X)=0,3 0,2 + 0,6 0,8=0,54

D(X)=M(X2)-[M(X)]2= (0,32 0,2+0,62 0,8) – 0,542 =0,0144.

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме

Р (| Х — М (X) | < ) ≥1-D (Х)/ 2

Подставляя М(Х)=0,54, D(X) =0,0144, =0,2, окончательно

получим

Р (| X- 0,54| < 0,2) ≥1 -0,0144/0,04 =0,64.

№246 Дискретная случайная величина X задана законом

распределения

X 0,1 0,4 0,6

р 0,2 0,3 0,5

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность

того, что |Х — М(Х)|<

Решение:

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины X:

M(X)=0,1 0,2 + 0,4 0,3+0,6 0,5 = 0,44

D(X)=M(X2)-[M(X)]2= (0,12 0,2 + 0,42 0,3+0,62 0,5) – 0,442 =0,0364.

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме

Р (| Х — М (X) | < ) ≥1-D (Х)/ 2

Подставляя М(Х)=0,44, D(X) =0,0364, = окончательно

получим

Р (| X- 0,44| < ) ≥1 -0,0364/0,4 =0,909.

№247 Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения

		0
p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Решение:

Для того, чтобы к последовательности случайных величин была применимы теорема Чебышева, достаточно, чтобы

1) эти величины были попарно независимы,

2) имели конечные математические ожидания,

3) имели равномерно ограниченные дисперсии.

Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Проверим, выполняется ли требование конечности математических ожиданий:

Таким образом, каждая случайная величина имеет конечное (равное нулю) математическое ожидание, т.е. второе требование теоремы выполняется.

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсии. Напишем закон распределения :

		0
p

или, сложив вероятности одинаковых возможных значений,

		0
p

Найдём математическое ожидание :

Найдём дисперсию :

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин равномерно ограничены

числом , т.е. третье требование выполняется.

Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима.

Ответ: применима.

№248 Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения

	a	-a
p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Решение:

Для того, чтобы к последовательности случайных величин была применимы теорема Чебышева, достаточно, чтобы

1) эти величины были попарно независимы,

2) имели конечные математические ожидания,

3) имели равномерно ограниченные дисперсии.

Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Проверим, выполняется ли требование конечности математических ожиданий:

Таким образом, каждая случайная величина имеет конечное (равное ) математическое ожидание, т.е. второе требование теоремы выполняется.

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсии. Напишем закон распределения :

	a ^2	a ^2
p

или, сложив вероятности одинаковых возможных значений,

	a ^2
p	1

Найдём математическое ожидание :

Найдём дисперсию :

Эта функция возрастает, следовательно, чтобы вычислить константу, ограничивающую дисперсию, можно вычислить предел:

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин равномерно ограничены

числом , т.е. третье требование выполняется.

Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима.

Ответ: применима.

Спесивцева Наталья

№249 Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения

	n+1	-n
p

А) убедиться, что требование теоремы Чебышева о равномерной ограниченности дисперсии не выполняется

Б) можно ли отсюда заключить, что к рассматриваемой последовательности теорема Чебышева неприменима?

Решение:

А) Найдём математическое ожидание :

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсии. Напишем закон распределения :

p

Найдём математическое ожидание :

Найдём дисперсию :

Эта функция возрастает, следовательно, чтобы вычислить константу, ограничивающую дисперсию, можно вычислить предел:

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин неограниченны, что и требовалось доказать.

Б) Из формулировки теоремы Чебышева следует, что требование равномерной ограниченности дисперсий является достаточным, но не необходимым условием, поэтому нельзя утверждать, что к данной последовательности эту теорему применить нельзя.

№250 Последовательность независимых случайных величин Х₁, Х₂, …, Х_n, … задана законом распределения

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Решение:

Поскольку случайные величины Х_n независимы, то они подавно и попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Легко найти, что M(X_n)=0, т.е.первое требование конечности математических ожиданий выполняется.

Остается проверить выполнимость требования равномерной ограниченности дисперсий. По формуле

D(X_n)=M(X_n²)-[M(X_n)]²,

учитывай, что M(X_n)=0, найдем (выкладки предоставляются выполнить читателю)

Временно предположим, что n изменяется непрерывно (чтобы подчеркнуть это допущение, обозначим n через х), и исследуем на экстремум функцию φ(х)=х²/2^х-1.

Приравняв первую производную этой функции к нулю, найдем критические точки х₁=0 и х₂=ln 2.

Отбросим первую точку как не представляющую интереса (n не принимает значения, равного нулю); легко видеть, что в точек х₂=2/ln 2 функция φ(х) имеет максимум. Учитывая, что 2/ln 2 ≈ 2.9 и что N – целое положительное число, вычислим дисперсию D(X_n)= (n²/2^n-1)α² для ближайших к числу 2.9 (слева и справа) целых чисел, т.е. для n=2 и n=3.

При n=2 дисперсия D(X₂)=2α², при n=3 дисперсия D(Х₃)=9/4α². Очевидно,

(9/4)α² > 2α².

Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна (9/4)α², т.е. дисперсии случайных величин Хn равномерно ограничены числом (9/4)α².

Итак, все требования теоремы Чебышева выполняются, следовательно, к рассматриваемой последовательности эта теорема применима.

№251 Последовательность независимых случайных величин X₁, X₂, …, X_n, … задана законом распределения

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Замечание. Поскольку случайные величины Х, одинаково распределены и независимы, то читатель, знакомый с теоремой Хинчина, может ограничиться вычислением лишь математического ожидания и убедиться, что оно кончено.

Решение:

Поскольку случайные величины Х_n независимы, то они подавно и попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Легко найти, что M(X_n)=0, т.е.первое требование конечности математических ожиданий выполняется.

Остается проверить выполнимость требования равномерной ограниченности дисперсий. По формуле

D(X_n)=M(X_n²)-[M(X_n)]²,

учитывай, что M(X_n)=0, найдем

D(X_n)=2

Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна 2, т.е. дисперсии случайных величин Х_n равномерно ограничены числом 2.

Итак, все требования теоремы Чебышева выполняются, следовательно, к рассматриваемой последовательности эта теорема применима.

№252 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3).

Решение:

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a<X<b)=F(b)-F(a). Положив а=0, b=1/3, получим

№253 Случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределена F(x)=1/2+(arctg x)/π. Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1).

Решение:

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a<X<b)=F(b)-F(a). Положив а=0, b=1, получим

Р(0< Х <1) = F(1)-F(0) = [1/2+1/4]_x=1 - [1/2+0]_x=0 = 1/4

№254 Случайная величина Х функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (-1, 1).

Решение:

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a<X<b)=F(b)-F(a). Положив а=-1, b=1, получим

Р(-1< Х <1) = F(1)-F(-1) = [1/2+5/6]_x=-1 – [1/2+1/6]_x=1 = 1/3.

№255 Функция распределения непрерывной случайной величины Х (времени безотказной работы некоторого устройства) равна F(х)=1-е-х/T(х≥0). Найти вероятность безотказной работы устройства за время х≥Т.

Решение:

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале x≥T, равна приращению функции распределения на этом интервале: P(0<X<T)=F(T)-F(0). Положив это, получим

P(x≥T) = 1 - P(T<x) = 1 - P(0< X <T) = 1 – F(T)+F(0) = 1 - (1-1/e)+(1-1) = 1/e

№256 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение: а) меньшее 0.2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти.

Решение:

а) Так как при х≤2 функция F(х)=0, то F(0, 2)=0, т.е. P(х < 0, 2)=0;

б) Р(Х < 3) = F(3) = [0.5x-1]_x=3 = 1.5-1 = 0.5;

в) события Х≥3 и Х<3 противоположны, поэтому Р(Х≥3)+Р(Х<3)=1. Отсюда, учитывая, что Р(Х<3)=0.5 [см. п. б.], получим Р(Х≥3) = 1-0.5 = 0.5;

г) сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому Р(Х≥5)+Р(Х<5)=1. Отсюда, используя условие, в силу которого при х>4 функция F(x)=1, получим Р(Х≥5) = 1-Р(Х<5) = 1-F(5) = 1-1 = 0.

№257 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0.25, 0.75).

Решение:

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a<X<b)=F(b)-F(a). Положив а=0.25, b=0.75, получим

P(0.25< X <0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.5

Найдем вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0.25, 0.75). Для этого воспользуемся формулой Бернулли:

По условию n=4, k=3, p=0.5, q=1-0.5=0.5. Тогда

.

Ответ: 0,25.

№258 Случайная величина X задана на всей оси Ox функцией распределения . Найти возможное значения x₁, удовлетворяющее условию: с вероятностью ¼ случайная X в результате испытания примет значение большее x_1.

Решение.

События X ≤ x₁ и X > x₁ - противоположные, поэтому . Следовательно, . Так как P(X=x₁)=0, то .

По определению функции распределения, .

Следовательно, ½+(1/π)arctg(x₁/2)=(3/4), или . Отсюда x₁/2=1, или x₁=2.

Ответ: 2.

№259 Случайная величина X задана на всей оси Ox функцией распределения . Найти возможное значения x₁, удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/6 случайная X в результате испытания примет значение большее x_1.

Решение.

События X ≤ x₁ и X > x₁ - противоположные, поэтому . Следовательно, . Так как P(X=x₁)=0, то .

По определению функции распределения, .

Следовательно, ½+(1/π)arctg(x₁/2)=(3/4), или . Отсюда, или .

№260 Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X	2	4	7
p	0,5	0,2	0,3

Найти функцию распределения F(x) и начертить ее график.

Р ешение.

Если x ≤ 2, то F(x)=0. Действительно, значений меньших 2 величина X не принимает. Следовательно, при x ≤ 2 функция F(x)=P(X<x)=0.

Если 2<x≤4, то F(x)=0,5. Действительно, X может принимать значение 2 с вероятностью 0,5.

Если 4<x≤7, то F(x)=0,7. Действительно, X может принять значение 2 с вероятностью 0,5 и значение 4 с вероятностью 0,2; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять (по теореме о сложении вероятностей несовместных событий) с вероятностью0,5+0,2=0,7.

Если x>7, то F(x)=1. Действительно, событие x≤7 достоверно и вероятность его равна единице.

Итак, искомая функция распределения имеет вид

№261 Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X	3	4	7	10
p	0,2	0,1	0,4	0,3

Найти функцию распределения F(x) и начертить ее график.

Решение.

Если x ≤ 3, то F(x)=0. Действительно, значений меньших 3 величина X не принимает. Следовательно, при x ≤ 3 функция F(x)=P(X<x)=0..

Если 3<x≤4, то F(x)=0,2. Действительно, X может принимать значение 3 с вероятностью 0,2.

Если 4<x≤7, то F(x)=0,3. Действительно, X может принять значение 3 с вероятностью 0,2 и значение 4 с вероятностью 0,1; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять (по теореме о сложении вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,2+0,1=0,3.

Если 7<x≤10, то F(x)=0,7. Действительно, X может принять значение 3 с вероятностью 0,2, значение 4 с вероятностью 0,1 и значение 7 с вероятностью 0,4; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять (по теореме о сложении вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,2+0,1+0,4=0,7.

Е сли , тоF(x)=1. Действительно, событие x ≤ 10 достоверно и вероятность его равна единице.

№262 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X

Найти плотность распределения f(x).

Решение.

Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

При x=0 производная F’(x) не существует.

№263 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X

Найти плотность распределения f(x).

Решение.

Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

При x=0 производная F’(x) не существует.

№264 Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение

Воспользуемся формулой По условию, a=π/6, b=π/4, .

Следовательно, искомая вероятность

Ответ: .

№265 Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (1,2).

Решение

Воспользуемся формулой:

По условию a=1, b=2 и . Следовательно, искомая вероятность

Ответ: .

№266 Плотность распределения непрерывной случайной величины Х в интервале (-π/2, π/2) равна f(x)=(2/π)cos²x; вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях Х примет ровно два раза значение, заключенное в интервале (0, π/4).

Решение.

Воспользуемся формулой

По условию а=0, b=π/4, f(x)=(2/π)cos²x . Следовательно, искомая вероятность

Найдем вероятность того, что в трех независимых испытаниях Х примет ровно два раза значение, заключенное в интервале (0, π/4). Для этого воспользуемся формулой Бернулли:

По условию, n=3, k=2, , . Тогда

.

Ответ: .

Целовальникова Ольга

№267-№283

Черный Андрей

№284-300

Абредж Мурат

№300 Случайная величина X в интервале (0, ) задана плотностью распределения f(x)=cosx , вне этого интервала f(x)=0. Найти дисперсию функции Y= (x)= , не находя предварительно плотности распределения Y.

Решение:

Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох , определяется равенством:

D(X)= или D(X)= .

В частности , если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a,b),то

D(X)= или D(X)= .

Среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же , как и для дискретной величины : (X)=

Если Y= – Функция случайного аргумента Х, причем возможные значения Х принадлежат всей ос Ох, то

D( (x))= f(x)dx или D( .

В частности если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a,b), то

D( (x))= f(x)dx или D( .

Используем формулу : D( .

Подставив

M( *Cosxdx=

= =

=

Получим интеграл:

= sinx sinxdx = cosxdx = +

Окончательно получим искомую дисперсию:

D( +24 – = = = 20 - 2

№ 301 Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)= /n! При x ≥ 0; f(x)=0 при х<0 . Найти : а) математическое ожидание ; б) дисперсию Х.

Решение.

а) Найдем математическое ожидание :

М(Х) =

Воспользуемся так называемой гамма-функцией, которая определяется

равенством

Г(n)= dx.

Как видим, аргумент (целое число п), стоящий под знаком гамма-функции, на единицу больше показателя степени буквы х, стоящейпод знаком интеграла. Следовательно,

Подставив (**) в (*), получим

M(x)=

Воспользуемся следующим свойством гамма-функции:

Г(n)=(n - 1)!

Как видим, гамма-функция от целого аргумента равна факториалу

от аргумента, уменьшенного на единицу. Следовательно,

Подставив (****) в (***), получим

M(x)= =n+1

б) Найдем дисперсию . Учитывая , что

M(x)=n+1 , ,

Получим

D(x)=

D(X)=n+1

№ 303 Доказать, что для любой непрерывной случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю.

Решение.

По определению центрального момента первого порядка ,

=

Учитывая, что

f(x) dx = M(X) и

получим

.

№304 Доказать , что обычный момент второго порядка

Имеет наименьшее значение , если с=M(X).

Решение. Преобразуем :

=

Принимая во внимание равенства

получим

Отсюда видно , что имеет наименьшее значение при c=M(X), что и требовалось доказать.

Заметим , что из (*) следует , что - , т.е . центральный момент второго порядка меньше любого обычного момента второго порядка, если с M(X).

№305 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 0,5х в интервале (О, 2); вне этого интервала f{x)=0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Решение.

По формуле

Найдем начальные моменты :

; ;

.

Найдем центральные моменты. Центральный момент первого порядка любой случайной величины

Воспользуемся формулами, выражающими центральные моменты через начальные:

; ;

Подставив в эти формулы ранее найденные начальные моменты через начальные моменты , получим : = , = , .

№306. Случайная величина X задана плотностью распределения f{x) = 2x в интервале (0,1); вне этого интервала f(x)=0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Решение:

По формуле найдем начальные моменты:

Найдем центральные моменты. Центральный момент первого порядка любой случайной величины .

Воспользуемся формулами, выражающими центральные моменты через начальные, и подставим в них ранее найденные моменты:

;

№307 Плотность равномерного распределения сохраняет в интервале (а, b) постоянное значение, равное С; вне этого интервала f(x)=0. Найти значение постоянного параметра С.

Решение:

Решение задачи исходит из определения равномерного распределения. Очевидно, что .

№308 Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение.

Ошибку округлення отсчета можно рассматривать

как случайную величину X, которая распределена равномерно с

интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность

равномерного распределения f(x) = l/(b—а), где (b—а)—длина интервала,

в котором заключены возможные значения X; вне этого

интервала / ( х ) = 0 . В рассматриваемой задаче длина интервала,

в котором заключены возможные значения X, равна 0,1, поэтому

f(x) = 1/0,1 =10. Легко сообразить, что ошибка отсчета превысит

0,02, если она будет заключена в интервале (0,02, 0,08).

По формуле P( a < X < b) = получим

P(0.02< X < 0.08) =

№309 Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

Решение:

Ошибку округления отсчета будем рассматривать как случайную величину X, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения f(x) = 1/(b—а), где (b—а)—длина интервала, в котором заключены возможные значения X; вне этого интервала f(x)=0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения X, равна 0,2, поэтому f(x)= 1/0,2 = 5. Будем пользоваться формулой .

очевидно, что ошибка отсчета будет меньше 0,04, если она будет заключена в интервале (0, 0,04) или (0,16, 0,2). По теореме о сложении вероятностей искомая вероятность равна:

ошибка отсчета превысит 0,05, если она будет заключена в интервале (0,05, 0,15)

.

№310 Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

Решение:

Плотность равномерного распределения f(x) = 1/(b—а), где (b—а) – это интервал движения автобуса. Таким образом, f(x)=1/5=0,2. Очевидно, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут, если до прибытия автобуса останется от 2 до 5 минут. Следовательно, а=2, b=6.

Воспользуемся формулой . Подставив полученные значения, получим:

.

№311 Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.

Решение:

Плотность равномерного распределения f(x) = 1/(b—а), где (b—а) – это интервал движения стрелки. Так как (b—а)=1, то f(x)=1.

Очевидно, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с, если этот момент будет принадлежать интервалу (0, 1/3) или (2/3, 1). Тогда по теореме о сложении вероятностей искомая вероятность равна:

.

№312. Закон равномерного распределения задан плотностью вероятности f(x) = 1/(b—а) в интервале (а, b); вне этого интервала f(x) = 0. Найти функцию распределения F(x).

Решение:

Используем формулу

Если , то f(x)=0, то есть .

Если , то .

Если x>b, то .

Итак, искомая функция распределения:

Березова Виктория

№313 Найти математическое ожидание случайной величины X, равномерно распределенной в интервале (a,b).

Решение

График плотности равномерного распределения симметричен относительно прямой x=(a+b)/2, поэтому M(X)=(a+b)/2.

Итак, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной в интервале (a,b), равно полусумме концов этого интервала. Разумеется, этот же результат можно получить по формуле

M(X)=

В частности, математическое ожидание случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0,1), равно

M(R)=(0+1)/2= .

№314 Найти математическое ожидание случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2,8).

Решение

График плотности равномерного распределения симметричен относительно прямой x=(a+b)/2, поэтому M(X)=(a+b)/2. Так как a=2, b=8 следовательно:

M(X)=(2+8)/2=5.

Итак, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной в интервале (2,8), равно полусумме концов этого интервала.

Ответ: математическое ожидание равно 5.

№315 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (a,b).

Решение

Используем формулу

D(X)= .

Подставив f(x)=1/(b-a), M(X)=(a+b)/2 и выполнив элементарные выкладки, получим искомую дисперсию

D(X)= /12.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии:

σ(X)=(b-a)/(2 ).

В частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0,1), соответственно равны: D(R)=1/12, σ(R)=1/(2 ).

№316 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2,8).

Решение

Используем формулу

D(X)= ,

где f(x)=1/(b-a), M(X)=(a+b)/2. Подставим известные нам значения и получим:

f(x)=1/(8-2)= , M(X)= (2+8)/2=5. Далее будем считать интеграл:

D(X)=

Разумеется, этот же результат можно получить по формуле:

D(X)= .

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии:

σ(X)= .

Ответ: дисперсия равна 3; квадратическое ожидание .

№317 Равномерно распределенная случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=1/(2l) в интервале (a-l,a+l); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание и дисперсию X.

Решение

Воспользуемся формулой M(X)=(a+b)/2. Подставим:

M(X)=(a-l+a+l)/2=a следовательно «кривая» распределения симметрична относительно прямой x=a.

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой D(X)= . После подстановки получим:

D(X)=

Ответ: мат.ожидание равно а; дисперсия равна

№318 Диаметр круга x измерен приближенно, причем a x b. Рассматривая диаметр как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (a,b), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

Решение

1.Найдем математическое ожидание площади круга – случайной величины Y=φ(K)=π /4 -по формуле

M[φ(X)]=

Поставив φ(x)=π /4 ,f(x)=1/(b-a) и выполнив интегрирование, получим

M[π /4]=π )/12.

2.Найдём дисперсию площади круга по формуле

D [φ(X)]= - .

Подставив φ(x)=π /4 ,f(x)=1/(b-a) и выполнив интегрирование, получим

D[π /4]=( /720) ).

№319 Ребро куба x измерено приближенно, причем a .Рассматривая ребро куба как случайную величину X,распределенную равномерно в интервале (a,b),найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

Решение

1.Найдем математическое ожидание площади круга – случайной величины Y=φ(K)= -по формуле

M[φ(X)]=

Поставив φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) и выполнив интегрирование, получим

M( )= .

2.Найдём дисперсию площади круга по формуле

D [φ(X)]= - .

Подставив φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) и выполнив интегрирование, получим

D = .

№320 Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X-в интервале (a,b),Y-в интервале (c,d).Найти математическое ожидание произведения XY.

Решение

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

M(XY)=

№321 Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X- в интервале (a,b), Y – в интервале (c,d). Найти дисперсию произведения XY.

Решение

Воспользуемся формулой

D(XY)=M[

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, поэтому

D(XY)=M (*)

Найдем M по формуле

M[φ(X)]=

Подставляя φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) и выполняя интегрирование,получим

M (**)

Аналогично найдем

M (***)

Подставив M(X)=(a+b)/2, M(Y)=(c+d)/2,а так же (***) и (**) в (*),окончательно получим

D(XY)= -[ .

№322 Математическое ожидание нормально распределённой случайной величины X равно a=3 и среднее квадратическое отклонение σ=2.Написать плотность вероятности X.

Решение

Воспользуемся формулой:

f(x)= .

Подставляя имеющиеся значения получим:

f(x)= = f(x)= .

№323 Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X, зная, что M(X)=3, D(X)=16.

Решение

Воспользуемся формулой:

f(x)= .

Для того, чтобы найти значение σ воспользуемся свойством, что среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии. Следовательно σ=4, M(X)=a=3. Подставляя в формулу получим

f(x)= = .

№324 Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью

f(x)= . Найти математическое ожидание и дисперсию X.

Решение

Воспользуемся формулой

f(x)= ,

где a-математическое ожидание, σ-среднее квадратическое отклонение X. Из этой формулы следует, что a=M(X)=1. Для нахождения дисперсии воспользуемся свойством, что среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии. Следовательно D(X)= =

Ответ: математическое ожидание равно 1; дисперсия равна 25.

Бондарчук Родион

№ 325

Дана функция распределения нормированного нормального закона . Найти плотность распределения f(x).

Решение:

Зная, что , находим f(x).

Ответ:

№ 327

Доказать, что функция Лапласа . нечетна: .

Решение:

Произведем замену

Делаем обратную замену и получаем:

= =

Ч.Т.Д.

№ 328 Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12,14).

, равна:

где

Воспользуемся формулой

Подставляя

По таблице находим:

Искомая вероятность равна:

№ 329 Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15,25).

, равна:

где

Воспользуемся формулой

Подставляя

нечетная, получим:

По таблице находим:

№ 330 Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55мм; б) меньше 40мм.

, равна:

где

Поскольку фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68мм, то вероятность, что длина всех деталей заключена в интервале (32,68), равна 1, т.е.

Воспользуемся формулой

, и получим:

По таблице находим:

Тогда

№ 331 Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением о=10мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15мм.

, равна:

где

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа

, равна:

В частности, если a=0, то справедливо равенство:

Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому применима

формула:

Положив

По таблице находим:

№ 332 Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением а=20г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10г.

, равна:

где

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа

, равна:

В частности, если a=0, то справедливо равенство:

Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому применима

формула:

Положив

По таблице находим:

№ 333 Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением о=20мм и математическим ожиданием а=0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4мм.

, равна:

где

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа

, равна:

В частности, если a=0, то справедливо равенство:

Найдем для начала вероятность того, что ошибка не превзойдет по абсолютной величине 4мм, при одном испытании.

Математическое ожидание a = 0, поэтому применима формула:

Положив

, находим:

По таблице находим:

Пусть А - событие состоит в том, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4мм, причем p = 0,1586 . Это означает, что ошибка не превзойдет 4мм. либо при одном измерении, либо при двух, либо при трех измерениях. Однако, вероятность искомого события можно найти, рассмотрев противоположное событие - ни при одном измерении ошибка не превзойдет 4мм, т.е. по формуле Бернулли (p = 0,1586 , q = 1 - 0,1586 = 0,8414):

Тогда вероятность события А равна:

№ 334 Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со среднеквадратическим отклонением о=0,4мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

, равна:

где

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа

, равна:

В частности, если a=0, то справедливо равенство:

Так как X - отклонение (диаметра шарика от проектного размера), то

Воспользуемся формулой:

, получим:

№ 335 Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением а=5мм и математическим ожиданием a=0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

, равна:

где

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа

, равна:

В частности, если a=0, то справедливо равенство:

Воспользуемся

X - отклонение (размера детали от проектного размера),

получим:

формулой:

№ 336 Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30м и ширина 8м, сбросил бомбы. Случайные величины X и Y (расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и, распределены нормально со среднеквадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.

, равна:

где

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа

, равна:

В частности, если a=0, то справедливо равенство:

а) Поскольку случайные величины X и Y - расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы, то в случае попадания бомбы x заключено в интервале (-15,15) - измерение расстояния по длине моста от центра, y - в интервале (-4,4) - измерение расстояния по ширине моста от центра.

Таким образом, при попадании одновременно должны выполниться два условия:

Вычислим вероятности этих условий по формуле

Поскольку величины X и Y - независимы, то вероятность произведения равна

произведению вероятностей, т.е.

Таким образом, вероятность попадания бомбы при одном сбрасывании равна 0,6741.

б) Рассмотрим случай, когда сброшены две бомбы. Событие А - мост будет разрушен, когда попадет одна бомба или обе сброшенные бомбы.

Вероятность разрушения моста можно найти, если рассмотреть противоположное событие - ни одна из двух бомб не попадет. Если вероятность попадания при одном сбрасывании равна p = 0,6741, то вероятность промаха равна q = 1 - p = 1 - 0,6741 = 0,3259 . Тогда вероятность того, что ни одна из двух сброшенных бомб не попадет, равна:

Борисов Александр

№337 Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=10. Вероятность попадания X в интервал (10,20) равно 0.3. Чему равна вероятность попадания X в интервал (0,10)?

Решение:

Так как нормальная кривая симметрична относительно прямой x=a=10, то площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу – интервалами (0,10) и (10,20), равны между собой. Поскольку эти площади численно равны вероятностям попадания X в соответствующий интервал, то:

P(0<X<10)=P(10<X<20)=0.3

Ответ: 0.3

№338 Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=25. Вероятность попадания X в интервал (10,15) равно 0.3. Чему равна вероятность попадания X в интервал (35,40)?

Решение:

Так как нормальная кривая симметрична относительно прямой x=a=25, то площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу – интервалами (10,15) и (35,40), равны между собой. Поскольку эти площади численно равны вероятностям попадания X в соответствующий интервал, то:

P(10<X<15)=P(35<X<40)=0.2

Ответ: 0.2

№339 Доказать, что:

т.е. что значение удвоенной функции Лапласа при заданном t определяет вероятность того, что отклонение X-a нормально распределенной величины X по абсолютной величине меньше .

Решение:

Используем формулу

Сделаем замену: =>

В итоге получаем требуемую формулу :

Ч.Т.Д.

№340 Вывести «Правило трех сигм»: вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0.9973.

Решение:

Воспользуемся формулой, которая доказывается в номере №339, а именно:

Положим t=3, тогда:

По таблице, которая находится в конце задачника, определяем, чему равна .

, тогда , а значит:

Ч.Т.Д.

№341 Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=10 и средним квадратическим отклонением . Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0.9973 попадает величина X в результате испытания.

Решения:

Зная, что , по таблице значений формулы Лапласа находим, что t=3.

Подставляем все имеющиеся у нас значения в формулу:

И получаем:

Решаем неравенство и получаем:

Ответ:

№342 Случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет X в результате испытания.

Решение:

Зная, что , по таблице значений формулы Лапласа находим, что t=3.

Подставляем все имеющиеся у нас значения в формулу:

И получаем:

Очевидно, что если то длинна интервала будет равна 30 мм.

Ответ: 30 мм.

№343 Станок-автомат изготовляет валики, причем контролирует их диаметр X. Считая, что X – нормально распределенная случайная величина X с математическим ожиданием a=10 мм. и средним квадаратическим отклонением Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в которое с вероятностью 0.9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Решение:

Будем использовать формулу:

По таблице, которая приводится в конце учебника, находим, что если , то t=3.

Искомый интервал находится из неравенства:

Подставляя имеющиеся у нас значения, получаем:

Решаем данное неравенство, и получаем искомый интервал:

Ответ:

№344 Нормально распределенная величина X задана плотностью

Найти моду и медиану X.

Решение:

Модой M_o(X) называют то возможное значение X, при котором плотность распределения имеет максимум. Легко убедится, что при X=a производная

f ^’(a)=0; при X<a производная f ^’(a)>0, при X>a производная f ^’(a)>0; таким образом, точка X=a есть точка максимума, следовательно, M_o(X)=a

Медианой M_e(X) называют то возможное значение X, при котором ордината f(X) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения. Так как нормальная кривая (график функции f(X)) симметрична относительно прямой X=a, то ордината f(a) делит пополам площадь, ограниченную нормальной кривой. Следовательно, M_e(X)=a.

Итак, мода и медиана нормального распределения совпадают с математическим ожиданием.

№345 Случайная величина X распределена нормально, причем математическое ожидание a=0 и среднее квадратическое отклонение равно Найти значение при котором вероятность того, что X примет значения, принадлежащее интервалу ( будет наибольшей.

Решение:

Воспользуемся формулой:

Зная, что ем

Ответ:

№346 Написать плотность и функцию распределения показательного закон, если параметр

Решение:

Подставив и

F(x) =

Получаем:

F(x) =

№347 Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр

Решение:

Подставив и

F(x) =

Получаем:

F(x) =

№348 Найти параметр показательного распределения: a) заданного плотностью f(x)=0 при x<0, при x б) заданного функцией распределения F(x)=0 при x<0 и x

Решение:

Учитывая, что функция плотности выглядит так: , то, очевидно, что в случае плотности ,

б) Учитывая, что функция распределения выглядит так: , то, очевидно, что в случае плотности ,

Ответ: a) 2; b) 0.4

Захаров Сергей

№ 349 Доказать, что если непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, то вероятность попадания Х в интеграл (a,b) равна - .

Решение: Пусть величина Х задана функцией распределения F(х) = 1 - . Тогда вероятность попадания Х в интервал (а,b).

P(a < X < b) = f(b) –f(a) = [1 - ] – [1 - ] = -

№ 350 Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятности f(x) = 3 при х ≥ 0; при х < 0 f(x) = 0.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (0.13, 0.7)

Решение:

Используем формулу P(a < X < b) = - . Учитывая, что, по условию, а = 0.13, b = 0.7, λ = 3, и пользуясь таблицей значений функции , получим:

P(0.13 < X < 0.7) = - = - = 0.677 – 0.122 = 0.555

№ 351 Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному при х ≥ 0 плотностью распределения f(х) = 0.04 ; при х < 0 функции f(х) = 0.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (1,2).

Решение:

По формуле P(a < X < b) = - (см. 350 задачу). По условию а = 1, b = 2, λ = 0.04 и пользуясь таблицей значения функции , получим:

P(1 < X < 2) = - = -

№ 352 Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения f(х) = 1- ; при х < 0 функции f(х) = 0.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (2,5).

Решение:

По формуле P(a < X < b) = - (см. 350 задачу). По условию а = 2, b = 5, λ = 0.6 и пользуясь таблицей значения функции , получим:

P(2 < X < 5) = - = -

1 - -

№ 353 Найти математическое ожидание показательного распределения

F(x) = λ (x ≥ 0); f(x) = 0 (x < 0).

Решение:

Используем формулу М(Х) = .

Учитывая, что f(x) = 0 при х < 0 и f(x) = λ при х ≥ 0, получим M(X) =λ .

Интегрируя по частям по формуле:

- ,

Положив u =х, dv = dx и выполнив выкладки, окончательно получим М(Х) = 1/λ.

№ 354 Найти математическое ожидание показательного распределения, заданного при х ≥ 0:

А) плотностью f(х) = 5 ;

Б) функцией распределения f(x) = 1 -

№ 356 Найти:

А) дисперсию;

Б) среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности: f(x) = λ при х ≥ 0; f(x) = 0 при х < 0.

Решение:

А) Используем формулу

D(X) = .

Учитывая, что f(x) = 0 при х < 0, М(Х) = 1/λ получим D(x) = λ dx –

Интегрируя дважды по частям, найдем λ dx =

Следовательно, искомая дисперсия

D(X) = 2/ – 1/ = 1/

Б) найдем среднее квадратическое отклонение:

σ(Х) = = 1/λ

№ 357 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности: f(x) = 10 .

Решение:

Из предыдущей задачи видим, что:

D(x) = λ dx –

Интегрируя дважды по частям, найдем λ dx =

Следовательно, искомая дисперсия

D(X) = 2/ – 1/ = 1/

Дисперсия равна 0.01

σ(Х) = = 1/λ

среднее квадратическое отклонение равна 0.1

№ 358 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности: f(x) = 1 - (х ≥ 0)

Решение:

σ(х) = = = 2.5

D(x) = = = = 6.25

№ 359 Студент помнит, что плотность показательного распределения имеет вид f(x) = 0 при x < 0, f(x) = C при х ≥ 0; однако он забыл, чему равна постоянная С.

Требуется найти С.

Решение:

dx = 1

-λC

№ 360 Найти теоретический центральный момент третьего порядка µ₃= M[X – M(X)]³ показательного распределения.

Решение.

Рассмотрим центральный момент третьего порядка и сделаем преобразования, используя свойства математического ожидания: µ₃= M[X – M(X)]³=M(X³- 3X²M(X) + 3XM²(X) – M³(X))= M(X³) – 3M(X²)M(X) + 3M(X)M²(X) – M³(X) = M(X³) – 3M(X²)M(X) + 2M³(X)

Подставляя М(Х)= получим µ₃= M(X³) – 3M(X²) + 2

Найдем M(X³): M(X³) = = = = =

= = = = = = = )=

Итак, M(X³) =

Найдем M(X²): M(X²) = = = = = = = = = =

Значит, M(X²)=

µ₃= M(X³) – 3M(X²) + 2 = =

Ответ: µ₃= .

Ищенко Марина

№ 361 Найти асимметрию As= µ3/σ3(X) показательного распределения.

Решение.

Рассмотрим центральный момент третьего порядка и сделаем преобразования, используя свойства математического ожидания: µ₃= M[X – M(X)]³=M(X³- 3X²M(X) + 3XM²(X) – M³(X))= M(X³) – 3M(X²)M(X) + 3M(X)M²(X) – M³(X) = M(X³) – 3M(X²)M(X) + 2M³(X)

Подставляя М(Х)= получим µ₃= M(X³) – 3M(X²) + 2

Найдем M(X³): M(X³) = = = = =

= = = = = = = )=

Итак, M(X³) =

Найдем M(X²): M(X²) = = = = = = = = = =

Значит, M(X²)=

µ₃= M(X³) – 3M(X²) + 2 = =

σ(X)= (X)=

Подставим значения µ₃ и (X) в формулу A_s= µ₃/σ³(X)

A_s= =2

Ответ: 2

№ 362 Найти теоретический центральный момент четвертого порядка µ₄= M[X – M(X)]⁴ показательного распределения.

Решение.

Рассмотрим центральный момент четвертого порядка и сделаем преобразования, используя свойства математического ожидания:

µ₄= M[X – M(X)]⁴ = M ( )= = M ( = M ( 3

Подставляя М(Х)= получим µ₄= M (

Найдем M(X⁴): M(X⁴) = = = = = = = 4 = = = = = = =

Найдем M(X³): M(X³) = = = = =

= = = = = = = )=

Итак, M(X³) =

Найдем M(X²): M(X²) = = = = = = = = = =

Значит, M(X²)=

µ₄= M ( = + =

Ответ:

№ 363 Найти эксцесс Е_к=

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся результатом вычислений задачи № 362. В задаче № 362 путем интегрирования по частям было получено µ₄=

Значит,

Е_к= =

Ответ: 6.

№ 364 Доказать, что непрерывная случайная величина Т- время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока с заданной интенсивностью λ- имеет показательное распределение F(t)= 1- (t≥0).

Решение.

Предположим, что в момент t₀ наступило событие А₁ потока. Пусть t₁= t₀+t.

Если хотя бы одно событие потока, следующее за событием А₁ произойдет в интервале, заключенном внутри интервала (t₀, t₁), например, в интервале (t₀, t₂), то время Т между появлениями двух последовательных событий окажется меньше t, т.е. окажется, что Т<t.

Для того чтобы найти вероятность Р(T<t), примем во внимание, что события- “внутри интервала (t₀, t₁) появилось хотя бы одно событии потока” и “внутри интервала (t₀, t₁) не появилось ни одного события потока”- противоположны (сумма их вероятностей равна 1).

Вероятность непоявления за время t ни одного события потока P_t(0)= = . Следовательно, интересующая нас вероятность противоположного события P(T<t)= 1- , или (по определению функции распределения F(t)= P(T<t)) имеем F(t)= 1- ,что и требовалось доказать.

№ 365 Задана интенсивность простейшего потока λ=5. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение непрерывной случаной величины Т- времени между появлениями двух последовательных событий потока.

Решение.

а) Используем формулу: М(Т)=

Следовательно, М(Т)= = 0,2

б) Используем формулу: D(T) =

Следовательно, D(T) = = 0,4

в) Используем формулу: σ(Т)=

σ(Т)= = 0,2

Ответ: а) 0,2; б) 0,4; в) 0,2.

№ 366 На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Т – времени ожидания очередной машины контролером, - если поток машин простейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показательному закону f(t)= 5 .

Решение.

f(t)= λ . Сле-но, λ=5.

Воспользуемся формулой: М(t)= σ(t) =

М(t)= σ(t)= 0,2.

Ответ: 0,2.

№ 367 Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F(t)=1- (t >0). Найти вероятность того, то за время длительностью t = 50ч: а) элемент откажет; б)элемент не откажет.

Решение.

а) Так как функция распределения F(t)=1- определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t, то, подставив t=50 в функцию распределения, получим вероятность отказа:

F(50)= 1- =1- = 1- 0,606= 0,394;

б) событие “элемент не откажет” получим, пользуясь функцией надежности R(t)= , которая определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительность t:

R(50)= = =0,606.

Ответ: а) 0,394; б) 0,606.

№ 368 Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F(t)=1- . Найти вероятность того, то за время длительностью t = 100ч: а) элемент откажет; б)элемент не откажет.

Решение.

а) Так как функция распределения F(t)=1- определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t, то, подставив t=100 в функцию распределения, получим вероятность отказа:

F(100)= 1- =1- = 0,95;

б) событие “элемент не откажет” получим, пользуясь функцией надежности R(t)= , которая определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительность t:

R(100)= = = 0,05.

Ответ: а) 0,95; б) 0,05.

№ 369 Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение F₁(t) = 1- , второго F₂(t) = 1- . Найти вероятность того, что за время длительностью t=6ч: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.

Решение.

а) Вероятность отказа первого элемента

P₁=F₁(6)=1- = = 1- 0,887=0,113.

Вероятность отказа второго элемента

P₂=F₂(6)=1- = = 1- 0,741= 0, 259.

Искомая вероятность того, что оба элемента откажут, по теореме умножения вероятностей

P₁= P₂= 0,113*0,259 = 0,03.

б) Вероятность безотказной работы первого элемента

q₁= R₁(6)= = 0,887.

Вероятность безотказной работы второго элемента

q₂= R₂(6)= = 0,741.

Искомая вероятность безотказной работы обоих элементов

q₁*q₂= 0,887*0,741=0,66.

в) Вероятность того, что откажет только один элемент

P₁q₂ +P₂q₁ = 0,113*0,741+0,259*0,887= 0,31.

г) Вероятность того, что хотя бы один элемент откажет

P=1- q₁q₂=1- 0,66 = 0,34

Ответ: а) 0,03; б) 0,887; в) 0,31; г) 0,34.

№ 370 Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента F₁(t) = 1- ; для второго F₂(t) = 1- , для третьего элемента F₃(t) = 1- Найти вероятность того, что в интервале времени (0, 5)ч откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

Решение.

а) Вероятность отказа первого элемента P₁=F₁(5)=1- = 1- 0,607=0,393.

Вероятность безотказной работы первого элемента q₁= R₁(5)= 0,607.

Вероятность отказа второго элемента P₂=F₂(5)=1- = 1- 0,369=0,631.

Вероятность безотказной работы второго элемента q₂= R₂(5)= 0,369.

Вероятность отказа третьего элемента P₃=F₃(5)=1- = 0,776.

Вероятность безотказной работы третьего элемента q₃= R₃(5)= 0,224.

Искомая вероятность того, что только один элемент откажет: P₁q₂q₃ + q₁q₃P₂ + q₁q₂P₃ =0.393∙0.369∙0.224 + 0.607∙0.631∙0.224 + 0.607∙0.369∙0.776= 0.292

б) Вероятность того, что откажут только 2 элемента P₁P₂q₃ + P₁q₂P₃ + q₁P₂P₃ =0.393∙0.631∙0.224 + 0.393∙0.369∙0.776 + 0.607∙0.631∙0.776= 0.466

в) Вероятность того, что откажут все три элемента P₁P₂P₃= 0.393∙0.631∙0.776= 0.19.

Ответ: а) 0,292; б) 0,466; в) 0,19.

№ 371 Производится испытание трех элементов, работающих независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента f₁(t) = , для второго f₂(t) = , для третьего элемента f₃(t) = Найти вероятности того, что в интервале времени (0, 10) ч откажут: а) хотя бы один элемент; б) не менее двух элементов.

Решение.

б) Для того, чтобы узнать вероятность того, что в интервале времени (0, 10) ч откажут не менее двух элементов воспользуемся результатами задачи № 370 (как сказано в указании к задаче № 371)

P₁q₂q₃ + q₁q₃P₂ + q₁q₂P₃ + P₁P₂q₃ + P₁q₂P₃ + q₁P₂P₃= 0.466+ 0.19= 0.656.

Ответ: б) 0.656.

№ 372 Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством R(t)= , где положительное число λ- интенсивность отказов. Доказать характеристическое свойство показательного закона надежности: вероятность безотказной работы элемента в интервале времени длительностью t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности интервала t (при заданной интенсивности отказов λ).

Решение.

Введем обозначений событий: А - безотказная работа элемента в интервале (0, t₀) длительностью t₀; В - безотказная работа элемента в интервале (t₀, t₀+ t) длительностью t.

Тогда АВ- безотказная работа в интервале (0, t₀+ t) длительностью t₀+ t.

По формуле R(t)= найдем вероятности этих событий:

P(A)= , P(B)= , P(AB)= = .

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно в интервале (t₀, t₀+ t) при условии, что он уже проработал безотказно в предшествующем интервале (0, t₀):

P_A(B)= = = .

Так как в полученной формуле не содержится t₀, а содержится только t, то это и означает, что время работы в предшествующем интервале не влияет на величину вероятности безотказной работы на последующем интервале, а зависит только от длины t последующего интервала (t₀+ t), что и требовалось доказать.

Другими словами, условная вероятность P_A(B) безотказной работы в интервале времени длительностью t, вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности P(B).

Кравченко Антонина

№373. Дискретная случайная величина X задана законом

распределения:

X 1 3 5

р 0,4 0,1 0,5

Найти закон распределения случайной величины Y = 3Х.

Решение.

Найдем возможные значения величины Y = 3Х.

Имеем: . Видим, что различным

возможным значениям X соответствуют различные значения Y. Это

объясняется тем, что функция монотонная. Найдем

вероятности возможных значений Y. Для того чтобы Y = достаточно, чтобы величина X приняла значение . Вероятность же события Х=1 по условию равна 0,4; следовательно, и вероятность события Y = также равна 0,4.

Аналогично получим вероятности остальных возможных значений Y:

P(Y=9)=P(X=3)=0,1

P(Y=15)=P(X=5)=0,5

Напишем искомый закон распределения Y:

Y 3 9 15

р 0,4 0,1 0,5

№374. Дискретная случайная величина X задана законом

распределения:

X 3 6 10

р 0,2 0,1 0,7

Найти закон распределения случайной величины Y = 2Х+1.

Решение.

Найдем возможные значения величины Y = 2Х+1.

Имеем: .Видим, что различным возможным значениям X соответствуют различные значения Y. Это объясняется тем, что функция монотонная. Найдем

вероятности возможных значений Y. Для того чтобы Y = достаточно, чтобы величина X приняла значение . Вероятность же события Х=3 по условию равна 0,2; следовательно, и вероятность события Y = также равна 0,2.

Аналогично получим вероятности остальных возможных значений Y:

P(Y=13)=P(X=6)=0,1

P(Y=21)=P(X=10)=0,7

Напишем искомый закон распределения Y:

Y 7 13 21

р 0,2 0,1 0,7

№375. Дискретная случайная величина X задана законом

распределения:

X —1 —2 1 2

p 0,3 0,1 0,2 0,4

Найти закон распределения случайной величины

Решение.

Найдем возможные значения Y:

Итак, различным значениям X соответствуют одинаковые значения

Y. Это объясняется тем, что возможные значения X принадлежат

интервалу, на котором функция не монотонна.

Найдем вероятности возможных значений Y. Для того чтобы

величина Y приняла значение Y = 1, достаточно, чтобы величина X

приняла значение Х = —1 или Х = 1. Последние два события несовместны,

их вероятности соответственно равны 0,3 и 0,2. Поэтому вероятность события Y = 1 по теореме сложения

P(Y = 1) = P (X = —1) + Р (Х = 1)=0,3+0,2 = 0,5.

Аналогично найдем вероятность возможного значения Y = 4:

P(Y = 4) = P (X = —2) + Р (Х = 2)=0,1+0,4 = 0,5.

Напишем искомый закон распределения величины Y:

Y 1 4

р 0,5 0,5

№376. Дискретная случайная величина X задана законом

распределения:

X

p 0,2 0,7 0,1

Найти закон распределения случайной величины

Решение.

Найдем возможные значения Y:

Итак, различным значениям X соответствуют одинаковые значения

Y. Это объясняется тем, что возможные значения X принадлежат

интервалу, на котором функция не монотонна.

Найдем вероятности возможных значений Y. Для того чтобы

величина Y приняла значение Y = , достаточно, чтобы величина X

приняла значение Х = или Х = . Последние два события несовместны, их вероятности соответственно равны 0,2 и 0,1. Поэтому вероятность события Y = по теореме сложения

P(Y = ) = P (Х = ) + Р (Х = )=0,2+0,1 = 0,3.

Для того чтобы Y = достататочно, чтобы величина X приняла значение . Вероятность же события X= по условию равна 0,7. Следовательно, и вероятность события Y = также равна 0,7.

Напишем искомый закон распределения величины Y:

Y 1

р 0,3 0,7

№377. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (a,b). Найти плотность распределения случайной величины Y = 3 Х.

Решение.

Так как функция у=3х дифференцируемая и строго

возрастает, то применима формула

(*)

где — функция, обратная функции у=3х.

Найдем :

=x=у/3.

Найдем :

(**)

Найдем производную

Очевидно, что:

= (***)

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):

Так как x изменяется в интервале (a,b) и у=3х то 3a<y<3b

№378. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (a,b). Найти плотность распределения случайной величины Y, если а) Y = 3Х; б) Y=AX+B .

Решение.

1. Так как функция у= 3х дифференцируемая и строго

убывает, то применима формула

(*)

где — функция, обратная функции у= 3х.

Найдем :

=x= у/3.

Найдем :

(**)

Найдем производную

Очевидно, что:

= (***)

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):

Так как x изменяется в интервале (a,b) и у= 3х то 3b<y< 3a

б) Так как функция у= х+b дифференцируемая и строго

возрастает при a>0 (строго убывает при a<0), то применима формула

(*)

где — функция, обратная функции у=

Найдем :

=x= .

Найдем :

(**)

Найдем производную

Очевидно, что:

= (***)

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):

Так как x изменяется в интервале (a,b) и у= ax+b, то

Aa+B<y<Ab+B, A>0 и Ab+B<y<Aa+B, A<0

№379. Случайная величина X распределена по закону Коши

Найти плотность распределения случайной величины

Решение:

Так как функция дифференцируемая и строго

возрастает, то применима формула

(*)

где — функция, обратная функции у=

Найдем :

Найдем :

= (**)

Найдем производную

Очевидно, что:

= (***)

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):

№380. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (0, ). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y, если а) Y = ; б) Y= ;

в) Y = ; г) Y = ; д) Y = ;

Решение:

Т.к. все функции в примерах а)-д) дифференцируемы и строго возрастают или строго убывают, то во всех случаях мы можем воспользоваться формулой:

(*),

где — функция, обратная данным функциям.

Найдем функцию для всех данных примеров.

а) =x=ln y

б) =x=

в) =x=

г) =x=

д) =x=

Для данных примеров найдем :

(**)

а) =

б) =

в) =

г) =

д) =

Найдём производную для данных примеров

а)

б)

в)

г)

д)

Очевидно, что:

(***)

а) =

б) =

в) =

г) =

д) =

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):

а)

б)

в)

г)

д)

Так как x изменяется в интервале (0, ) то

а)

б)

в)

г)

д)

№381. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале ( , ). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y, если а) Y = ;

б) Y= ; в) Y = ; г) Y = ; д) Y = ; е)

Решение:

Среди данных функций лишь функция в примере д) является дифференцируемой и строго возрастающей. Следовательно, применима формула:

(*)

где — функция, обратная функции у=

Найдем :

Найдем :

(**)

Найдем производную

Очевидно, что:

= (***)

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):

,

так как , то

Функции из примеров а)-в) и е) в интервале возможных значений X не являются монотонными, однако данные функции монотонны в двух интервалах ( ) и ( ). Тогда для вычисления плотности распределения случайной величины Y воспользуемся формулой:

(*),

где – функция обратная данной в интервале ( ), - обратная функция в интервале ( ).

Найдем функции и для примеров а)-в) и е):

а)

б)

в)

е)

Найдем и : (**)

а)

б)

в)

е)

Очевидно, что = . Найдем : (***)

а)

б)

в)

е)

Подставляя (***) и (**) в (*) получим:

а)

б)

в)

е)

В примере г) функция является периодической, с периодом 2 , поэтому рассмотрим данную функцию на интервале .

На данном интервале функция не является монотонной, однако данная функция является монотонной на двух интервалах и . Тогда для вычисления плотности распределения случайной величины Y воспользуемся формулой:

(*),

где – функция обратная данной в интервале , - обратная функция в интервале .

Найдем функции и :

Найдем и : (**)

Очевидно, что = . Найдем : (***)

Подставляя (***) и (**) в (*) получим:

Обобщим теперь данную формулу на интервал ( , ),получим:

№382. В прямоугольной системе координат хОу из точки А (4; 0) наудачу (под произвольным углом t) проведен луч, пересекающий ось Оу. Найти дифференциальную функцию g(y) распределения вероятностей ординаты у точки пересечения проведенного луча с осью Оу.

Решение:

Угол t можно рассматривать как случайную величину, распределенную равномерно в интервале , причем в этом интервале плотность распределения

вне рассматриваемого интервала f(t)=0.

Из рисунка 1 следует, что ордината у связана с углом t следующей зависимостью: y=4tg t .Эта функция в интервале монотонно

возрастает, поэтому для отыскания искомой плотности распределения g(y) применима формула.

(*)

где —функция, обратная функции y=4tg t

Найдем

Найдем :

y

Следовательно,

(**)

Найдем . Так как .

то

(***) y A(4;0)

Подставив (**) и (***) в (*), окончательно рис. 1 x

получим ,

причем (последнее следует из того, что y=4tg t и )

Контроль:

№ 383. Случайная величина X равномерно распределена в интервале . Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y =sinX.

Решение:

Найдем плотность распределения f(х) случайной величины X. Величина X распределена равномерно в интервале , поэтому в этом интервале

вне рассматриваемого интервала f(x)=0.

Функция y=sin x в интервале монотонна, следовательно,

в этом интервале она имеет обратную функцию .

Найдем производную :

Найдем искомую плотность распределения по формуле:

Учитывая, что (следовательно, ) и

, получим

Так как , причем , то . Таким образом, в интервале ( 1,1) имеем ;вне этого интервала

Контроль:

Лукинова Наталья

№384 Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0; ). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=sin X.

Решение:

Найдем плотность распределения f(x) случайной величины X. Величина X распределена равномерно в интервале (0; ), поэтому в этом интервале

Вне рассматриваемого интервала f(x) =0.

Функция y=sin x в интервале (0; ) монотонна, следовательно, в этом интервале она имеет обратную функцию x= (y)=arcsin y.

Найдем производную :

Найдем искомую плотность распределения по формуле

Учитывая, что f(x)= , следовательно, , получим

Так как y=sin x, причем , то 0 < y < 1.

Таким образом, в интервале (0;1) имеем

Вне этого интервала g(y)=0.

Контроль:

Ответ: на (0;1) и g(y)=0 вне этого интервала.

№385 Задана плотность распределения случайной величины X: f(x)= в интервале ; вне этого интервала f(x)=0. Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y = tg X.

Решение:

По условию f(x)= в интервале .

Вне этого интервала f(x) =0.

Функция y=tg x в интервале монотонна, следовательно, в этом интервале она имеет обратную функцию x= (y)=arctg y.

Найдем производную :

Найдем искомую плотность распределения по формуле

Учитывая, что f(x)= , следовательно, , получим

Так как y=tg x, причем , то -∞ < y < +∞.

Таким образом, в интервале (-∞;+∞) имеем

Контроль:

Ответ: на (-∞;+∞)

№386 Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0; 2π). Найти плотность распределения g(y)случайной величины Y=cos X.

Решение:

Найдем плотность распределения f(x) случайной величины X

В интервале (0;2π) имеем f(x)=

Вне этого интервала f(x)=0

Из уравнения y=cos x найдем обратную функцию Так как в интервале (0;2π) функция не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы (0; π) и (π; 2π), в которых эта функция монотонна. В интервале (0; π) обратная функция ; в интервале (π; 2π) обратная функция Искомая плотность распределения может быть найдена из равенства

(*)

Найдем производные обратных функций:

,

Найдем модули производных:

, (**)

Учитывая, что f(x)= , получим

, (***)

Подставляя (**) и (***) в (*), имеем

Так как y=cos x, причем 0 < x < 2π, то -1 < y < 1. Таким образом, в интервале (-1;1) искомая плотность распределения ; вне этого интервала g(y)=0.

Контроль:

Ответ: в интервале (-1;1); g(y)=0 вне этого интервала.

№387 Случайная величина X распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения g(y)случайной величины Y=cos X.

Решение:

Найдем плотность распределения f(x) случайной величины X

В интервале имеем f(x)=

Вне этого интервала f(x)=0

Из уравнения y=cos x найдем обратную функцию Так как в интервале функция не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы в которых эта функция монотонна. В интервале обратная функция ; в интервале обратная функция Искомая плотность распределения может быть найдена из равенства

(*)

Найдем производные обратных функций:

,

Найдем модули производных:

, (**)

Учитывая, что f(x)= , получим

, (***)

Подставляя (**) и (***) в (*), имеем``

Так как y=cos x, причем , то 0 < y < 1. Таким образом, в интервале (0;1) искомая плотность распределения ; вне этого интервала g(y)=0.

Контроль:

Ответ: в интервале (0;1); g(y)=0 вне этого интервала.

№388 Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием, равным а, и средним квадратическим отклонением, равным σ. Доказать, что линейная функция Y=AX+B также распределена нормально, причем M(Y)=Aa+B и σ(Y)=|A|σ.

Решение:

Найдем плотность распределения случайной величины X:

Функция y=Ax+B монотонна, поэтому применима формула

(*)

Найдем из уравнения y=Ax+B:

Найдем : (**)

Найдем :

Найдем : (***)

Подставляя (**) и (***) в (*), имеем

Отсюда видно, что линейная функция Y=AX+B распределена нормально, причем M(Y)=Aa+B и σ(Y)=|A|σ, что и требовалось доказать.

№389 Задана плотность , (-∞< x < +∞) нормально распределенной случайной величины X . Найти плотность распределения g(x) случайной величины Y=X².

Решение:

Из уравнения y=x² найдем обратную функцию. Так как в интервале (-∞; +∞) функция y=x²

не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы (-∞; 0) и (0; +∞), в которых рассматриваемая функция монотонна. В интервале (-∞; 0) обратная функция ; В интервале (0; +∞) обратная функция .

Искомая плотность распределения может быть найдена из равенства

(*)

Найдем производные обратных функций:

,

Найдем модули производных:

, (**)

Учитывая, что , , , получим

, (***)

Подставляя (**) и (***) в (*), имеем

Так как y=x², причем -∞ < x < +∞, то 0 < y < +∞.

Таким образом, в интервале (0;∞) искомая плотность распределения

Вне этого интервала g(y)=0.

Контроль:

Положив y=t² и, следовательно, dy=2t dt, получим

Учитывая, что интеграл Пуассона

Найдем

Ответ: в интервале (0;∞), g(y)=0 вне этого интервала.

№390 Задана плотность нормально распределенной случайной величины X . Найти плотность распределения случайной величины Y= X².

Решение:

Из уравнения y= x² найдем обратную функцию. Так как в интервале (-∞; +∞) функция y= x²

не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы (-∞; 0) и (0; +∞), в которых рассматриваемая функция монотонна. В интервале (-∞; 0) обратная функция ; В интервале (0; +∞) обратная функция .

Искомая плотность распределения может быть найдена из равенства

(*)

Найдем производные обратных функций:

,

Найдем модули производных:

, (**)

Учитывая, что , , , получим

, (***)

Подставляя (**) и (***) в (*), имеем

Так как y= x², причем -∞ < x < +∞, то 0 < y < +∞.

Таким образом, в интервале (0;∞) искомая плотность распределения

Вне этого интервала g(y)=0.

Контроль:

Положив y=t² и, следовательно, dy=2t dt, получим

Учитывая, что интеграл Пуассона

Найдем

Ответ: в интервале (0;∞), g(y)=0 вне этого интервала.

№391 Задана плотность распределения . Найти плотность распределения g(x) случайной величины Y= X².

Решение:

Из уравнения y= x² найдем обратную функцию. Так как в интервале (-∞; +∞) функция y= x² не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы (-∞; 0) и (0; +∞), в которых рассматриваемая функция монотонна. В интервале (-∞; 0) обратная функция ; В интервале (0; +∞) обратная функция .

Искомая плотность распределения может быть найдена из равенства

(*)

Найдем производные обратных функций:

,

Найдем модули производных:

, (**)

Учитывая, что , , , получим

, (***)

Подставляя (**) и (***) в (*), имеем

Так как y= x², причем -∞ < x < +∞, то 0 < y < +∞.

Таким образом, в интервале (0;∞) искомая плотность распределения

Вне этого интервала g(y)=0.

Контроль:

Положив y=t² и, следовательно, dy=2t dt, получим

Учитывая, что интеграл Пуассона

Найдем

Ответ: в интервале (0;∞), g(y)=0 вне этого интервала.

№392 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)= в интервале (0; π); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание случайной величины Y= , определив предварительно плотность распределения g(Y) величины Y.

Решение:

Найдем сначала плотность g(y) случайной величины Y. Так как функция y= для рассматриваемых значений (0 < x < π) строго возрастающая, то плотность g(y) будем искать по формуле ,

Где - функция, обратная функции Y=x². Подставляя и учитывая, что

f(x)= , , получим

Найдем математическое ожидание величины Y, учитывая, что возможные значения Y заключены в интервале (0; π²) (так как y = и 0 < x < π, то 0 < y < π² ):

Пользуясь подстановкой y=t² , получим

Интегрируя дважды по частям, окончательно имеем

Ответ:

№393 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)= в интервале (0; ); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание функции Y= .

Решение:

Подставив данные этой задачи, получаем

Ответ:

№394 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)= в интервале (0; π); вне этого интервала f(x)=0. Найти дисперсию функции Y= , используя плотность распределения g(Y).

Решение:

Используем формулу

,

Где c и d – концы интервала, в котором заключены возможные значения Y.

Подставляя

(см. задачу №392)

И учитывая, что с=0, d=π² (так как и , получим

(*)

Интегрируя сначала с помощью подстановки y=t² , а потом четырежды по частям, имеем

(**)

Подставив (**) в (*), окончательно получим

Ответ:

Митько Дмитрий

№395 Случайная величина Х задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти дисперсию функции .

Решение:

Используем формулу , где c и d – концы интервала, в котором заключены возможные значения Y. Подставляя , и учитывая, что и , получим

№396 Ребро куба измерено приближенно, причем . Рассматривая ребро куба как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале , найти: а) математическое ожидание объёма куба; б) дисперсию объема куба.

Решение:

Плотность распределения случайной величины равна .

а) Найдем математическое ожидание:

б) Найдем дисперсию: ;

№397 Задана функция распределения случайной величины Х. Найти функцию распределения случайной величины .

Решение:

По определению функции распределения, . Поскольку функция – возрастающая, то неравенство выполняется, если имеет место неравенство , поэтому

,

Из уравнения выразим : .

Получим

№398 Задана функция распределения случайной величины Х. Найти функцию распределения случайной величины .

Решение:

Поскольку функция – убывающая, то неравенство выполняется, если имеет место неравенство , поэтому

События и противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. , следовательно, .

Из уравнения выразим : .

Подставив , окончательно получим: .

№399 Задана функция распределения случайной величины Х. Найти функцию распределения случайной величины , если а) ; б) ; в) .

Решение

а) . См задачу №397.

б) . См задачу №398.

в) Если , тогда ответ аналогичен ответу в задаче 398:

Если , тогда ответ аналогичен ответу в задаче 397:

№400 Дискретные независимые случайные величины и заданы распределениями:

Найти распределение величины .

Решение:

Для того, чтобы составить распределение величины , надо найти все возможные значения и их вероятности.

Возможные значения есть суммы каждого возможного значения с каждым возможным значением : ; ; ; .

Найдем вероятности этих возможных значений. Для того, чтобы , достаточно чтобы Х=1 и Y=2. Так как Х и Y независимы, то вероятность этого события находим по правилу умножения:

Напишем искомое распределение:

Ответ:

Z 3 5 7

P 0.18 0.54 0.28

№401 Дискретные случайные величины Х и Y заданы распределениями:

а) Х 10 12 16 Y 1 2

Р 0,4 0,1 0,5 P 0.2 0.8

б) Х 4 10 Y 1 7

Р 0,7 0,3 P 0.8 0.2

Найти распределение случайной величины .

Решение:

а) ; ; ; ; ;

б) ; ; ; .

Ответ:

а) Z 11 12 13 14 17 18

P 0.08 0.32 0.02 0.08 0.1 0.4

б) Z 5 11 17

P 0.56 0.38 0.06

№402 Независимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:

,

Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины .

Решение:

Так как возможные значения аргументов неотрицательны, то применима формула: .

Следовательно,

Выполнив элементарные преобразования, получим

Здесь , так как и возможные значения Х и Y неотрицательны.

Итак, в интервале , вне этого интервала

№403 Независимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:

,

Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины .

Решение:

Так как возможные значения аргументов неотрицательны, то применима формула: .

Следовательно,

Выполнив элементарные преобразования, получим

№404 Независимые нормально распределенные случайные величины Х и Y заданы плотностями распределений:

Доказать, что композиция этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины , также есть нормальный закон.

Решение:

Используем формулу .

Тогда

Выполнив элементарные выкладки, получим

Учитывая, что интеграл Пуассона, стоящий в правой части равенства, равен , окончательно имеем .

В рассматриваемой задаче легко убедиться, что и .

Олейников Илья

№407 Заданны плотности распределений равномерно распределенных независимых случайных величин X и Y: f1(x)=1/2 в интервале (1,3), вне этого интервала f1(x)=0, f2(y)=1/4 в интервале (1,6), вне этого интервала f2(y)=0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z=X+Y. Построить график плотности распределения g(z).

Решение.

По условию, возможные значения X определяются неравенством 1<x<3, возможные значения Y неравенством 1<y<6. Отсюда следует, что возможные случайные точки (X;Y) расположены в прямоугольнике OABC

y

6 A B

0 3 C x

По определению, функция распределения G(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z).

Неравенству x+y<z удовлетворяют те точки (X,Y) плоскости xOy, которые лежат ниже прямой x+y=z ; если же брать только возможные значения x и y, то неравенство x+y<z выполняется только для точек, лежащих в прямоугольнике OABC ниже прямой x+y=z.

С другой стороны, так как величины X и Y независимы, то

G(z)=∫ ∫ f1(x)·f2(x)dxdy=1/8∫ ∫ dxdy=1/8·s,

(S) (S)

где s- величина той части площади прямоугольника OABC, которая лежит ниже прямой x+y=z . Очевидно, величина площади S зависит от значения z.

Искомая функция распределения:

G(z)={0,при z<3;((z-3)^2)/16,при 3<z<5;(z/4)-1,при 5<z<7;1-((9-z)^2)/16,при 7<z<9;1,при z>9}

Плотность распределения:

g(z)={0, при z<3;(z-3)/8, при 3<z<5;1/4, при 5<z<7;(9-z)/8, при 7<z<9;0,z>9}

№408 Задано распределение вероятностей дискретной случайной величины

Y	X
	3	10	12
4	0,17	0,13	0,25
5	0,10	0,30	0,05

Найти законы распределения составляющих X и Y.

Решение.

Сложив вероятности «по столбцам», получим вероятности возможных значений X:

p(3) =0,27, p(10)=0,43, p(12)=0,30.

Напишем закон распределения составляющей X:

X 3 10 12

p 0,27 0,43 0,30

Сложив вероятности «по строкам», аналогично найдем распределения составляющей Y:

Y 4 5

p 0,55 0,45

№409 Задано распределение вероятностей дискретной случайной величины

Y	X
	20	30	41	50
2,3	0,05	0,12	0,08	0,04
2,7	0,09	0,30	0,11	0,21

Найти законы распределения составляющих

Решение.

Сложив вероятности «по столбцам», получим вероятности возможных значений X:

p(20)=0,14, p(30)=0,42, p(41)=0,19, p(50)=0,25.

Напишем закон распределения составляющей X:

X 20 30 41 50

p 0,14 0,42 0,19 0,25

Сложив вероятности «по строкам», аналогично найдем распределения составляющей Y:

Y 2,3 2,7

p 0,29 0,71

№410 Задана функция распределения двумерной случайной величины

F(x,y)={sinx ·siny , при 0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2; 0, при x<0 или y<0.

Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x=0, x=π/4, y=π/6, y=π/3.

Решение.

Используем формулу P(x1<X<x2, y1<Y<y2)=[F(x2,y2)-F(x1,y2)]- [F(x2,y1)-F(x1,y1)].

Положив x1=0, x2=π/4, y1= π/6, y2= π/3, получим

P=[sin(π/4)sin(π/3)-sin(0)sin(π/3)]- [sin(π/4)sin(π/6)-sin(0)sin(π/6)]=(√6-√2)/4=0,26.

№411 Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x=1, x=2, y=3, y=5, если известна функция распределения

F(x,y)={1 -2^ ¯x -2^¯y +2^¯x¯y), при x≥0, y≥0; 0, при x<0 или y<0.

Решение.

Используем формулу P(x1<X<x2, y1<Y<y2)=[F(x2,y2)-F(x1,y2)]- [F(x2,y1)-F(x1,y1)].

Положив x1=1, x2=2, y1= 3, y2= 5, получим

P=[(1 -2^ ¯2 -2^¯5 +2^¯2¯5)- (1 -2^ ¯1 -2^¯5 +2^¯1¯5)]-[(1 -2^ ¯2 -2^¯3 +2^¯2¯3 )-(1 -2^ ¯1 -2^¯3 +2^¯1¯3)]= [93/128 – 31/64]-[21/32 – 7/16]=(31-28)/128=3/128.

№412 Задана функция распределения двумерной случайной величины

F(x,y)={1 -3^ ¯x -3^¯y +3^¯x¯y), при x≥0, y≥0; 0, при x<0 или y<0.

Найти двумерную плотность вероятности системы.

Решение.

Используем формулу f(x,y)=d²F/dx·dy. Найдем частные производные

dF/dx=ln3·(3^ ¯x -3^¯x¯y), d²F/dx·dy=ln²3·3^¯x¯y.

Итак, искомая двумерная плотность вероятности

f(x,y)={ ln²3·3^¯x¯y, при x≥0, y≥0; 0, при x<0 или y<0.

№413 Задана функция распределения двумерной случайной величины

F(x,y)={(1-e¯4x)(1-e¯2y), при x>0, y>0; 0, при x<0, y<0.

Найти двумерную плотность вероятности системы.

Решение.

Используем формулу f(x,y)=d²F/dx·dy. Найдем частные производные

dF/dx=4e¯4x ·(1-e¯2y), d²F/dx·dy=8e¯4x¯2y.

Итак, искомая двумерная плотность вероятности

f(x,y)={ 8e¯4x¯2y, при x>0, y>0; 0, при x<0, y<0.

№414 Задана двумерная плотность вероятности системы случайных величин (X,Y)

f(x,y)=20/( p^2(16+x^2)(25+y^2) )

Найти функцию распределения системы.

Решение.

№415 Задана двумерная плотность вероятности системы случайных величин: f(x,y)=(1/2)*sin(x+y) в квадрате 0<=x<=p/2, 0<=y<=p/2; вне квадрата f(x,y)=0.

Найти функцию распределения системы.

Решение.

π/2 π/2

∫ ∫ sin(x+y)dxdy=1/2(sin(x)+sin(y)-sin(x+y))

0 0

№416 В круге x²+y²≤R² двумерная плотность вероятности f(x,y)=C(R-√(x²+y²) ); вне круга f(x,y)=0. Найти: а) Постоянную C; б) вероятность попадания случайной точки (X,Y) в круг радиусом r=1 с центром в начале координат, если R=2.

Решение.

а) Используем второе свойство двумерной плотности вероятности:

∫ ∫ C(R-√(x²+y²) )dxdy=1

(D)

Отсюда, перейдя к полярным координатам, получим

0 R

С=1/ ∫ dφ ∫(R-p)p dp=3/(π³)

2π 0

б)По условию, R=2; следовательно, C=3/(8π) и f(x,y)=3/(8π)·(2-√(x²+y²) ).

Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в круг радиуса r=1 с центром в начале координат (область D1)

P[(X,Y)cD1]=3/(8π)∫ ∫(2-√(x²+y²) )dxdy

(D1)

Перейдя к полярным координатам, окончательно получим искомую вероятность

2π 1

P=3/(8π) ∫ dφ ∫ (2-p)p dp=1/2.

0 0

№418 Задана двумерная плотность вероятности f(x,y)=C/[(9+x^2)(16+y^2)] системы (X,Y) двух случайных величин. Найти постоянную С.

Решение.

Пискунов Игорь

№419 Задана двумерная плотность вероятности:

системы (X,Y) двух случайных величин. Найти постоянную C.

Решение:

Используем свойство двумерной вероятности

Вычислим интеграл:

переход к полярным координатам = Найдем

Ответ:

№420 В первом квадранте задана функция распределения системы двух случайных величин:

Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) вероятность попадания

случайной точки (X,Y) в треугольник с вершинами A(1;3), B(3;3), C(2;8).

Решение:

а) Используем формулу: Найдем частные производные:

Итак, искомая двумерная плотность вероятности равна:

б) Для нахождения вероятности попадания случайной точки (X,Y) в треугольник с вершинами A(1;3), B(3;3), C(2;8), используем формулу:

Сначала рассмотрим область D, изображенную на рисунке ниже. Как видно из рисунка, область D представляет собой треугольник ABC. Рассмотрим треугольник ABC. Будем вычислять интеграл при условии, что область D заключена между прямыми CB и СA, если 3 y 8.

AC:

CB:

Тогда искомая вероятность выражается через интеграл:

Таким образом, искомая вероятность

Ответ:

№421 Задана дискретная двумерная случайная величина (X,Y):

Y	X
	0,15	0,30	0,35
	0,05	0,12	0,03

Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон

распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение =0,4;

в) условный закон распределения Y при условии, что

Решение:

а) Сложив вероятности «по столбцам», напишем закон распределения X:

X 2 5 8

p 0,2 0,42 0,38

Сложив вероятности «по строкам», найдем закон распределения y:

y 0,4 0,8

p 0,80 0,20

б) Найдем условные вероятности возможных значений X при условии, что составляющая Y приняла значение

Напишем искомый условный закон распределения X:

X 2 5 8

Контроль:

в) Аналогично найдем условный закон распределения Y:

Y 0,4 0,8

Контроль: .

№422 Задана дискретная двумерная случайная величина (X;Y):

Y	X
	3	6
10 14 18	0,25 0,15 0,32	0,10 0,05 0,13

Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y=10; б) условный закон распределения Y при условии, что X=6.

Решение:

а) Найдем условные вероятности возможных X при условии, что составляющая Y приняла значение 10:

Напишем искомый условный закон распределения X:

X 3 6

Контроль:

б) Аналогично найдем условный закон распределения Y:

Y 10 14 18

Контроль:

№423 Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной

величины (X,Y):

Найти: а) плотности распределения составляющих; б) условные плотности

распределения составляющих.

Решение: а) Найдем плотность распределения составляющей X:

Вынесем за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования y, и дополним оставшийся показатель степени до полного квадрата; тогда

Учитывая, что интеграл Пуассона , окончательно получим плотность распределения составляющей X:

Аналогично найдем плотность распределения составляющей Y:

б) Найдем условные плотности распределения составляющих. Выполнив элементарные выкладки, получим:

№424 Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

Найти: а) постоянный множитель C; б) плотности распределения составляющих; в)

условные плотности распределения составляющих.

Решение:

_{а) Воспользуемся свойством двумерной плотности распределения:}

Вычислим интеграл:

Учитывая, что интеграл Пуассона , окончательно получи

Тогда постоянная

б) Найдем плотность распределения составляющей X:

Вынесем за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования y, и дополним оставшийся показатель степени до полного квадрата, тогда:

Учитывая, что интеграл Пуассона , окончательно получим плотность распределения составляющей X:

Найдем плотность распределения составляющей Y:

Вынесем за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования x, и дополним оставшийся показатель степени до полного квадрата, тогда:

Учитывая, что интеграл Пуассона , окончательно получим плотность распределения составляющей Y:

в) Найдем условные плотности распределения составляющих выполнив элементарные выкладкт, получим:

Таким образом, и

№425 Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины

в квадрате 0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2; вне квадрата . Доказать, что

составляющие X и Y независимы.

Решение:

Найдем плотность распределения составляющей X:

Вынесем за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования y, тогда:

Найдем плотность распределения составляющей Y:

Вынесем за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования x, тогда:

Найдем условные плотности распределения составляющих:

Получаем, и . Другими словами условные плотности распределения случайных величин X и Y равны их безусловным плотностям, а это значит, что эти величины независимы.

№426 Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри

прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 2а и 2b,

параллельными координатным осям. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы;

б) плотности распределения составляющих.

Решение:

а) Поскольку распределение равномерное, то . Воспользуемся свойством плотности вероятности:

Для нашей области D, которая представляет собой прямоугольник ABCD, получим:

Вычислим интеграл:

Тогда

Двумерная плотность вероятности имеет вид:

б) Найдем плотность составляющей X:

т.е

Найдем плотность составляющей Y:

т.е.

№427 Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри

прямоугольной трапеции с вершинами O(0;0), A(0;4), B(3;4), С(6;0). Найти: а) двумерную

плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.

Решение:

а) Поскольку распределение равномерное, то . Воспользуемся свойством

плотности вероятности:

Для нашей области D, которая представляет собой трапецию OABC, получим:

Область D разобьем на две области D₁ - прямоугольник OABN и D₂ - прямоугольный

треугольник NBC. Рассмотрим эти области.

Область D₁ – прямоугольник OABN сверху ограничен прямой AB, уравнение которой

y=4, а снизу - прямой ON, уравнение которой y=0, при этом 0≤x≤3.

Область D₂ – прямоугольный треугольник NBC сверху ограничен прямой BC, а снизу -

прямой NC, уравнение которой y=0, при этом 3≤x≤6.

Найдем уравнение прямой NC:

Вычислим интеграл:

Тогда

Двумерная плотность вероятности имеет вид:

б) Найдем плотность составляющей X:

Если x<0, то , тогда

Если 0<x<3, то , тогда

Если 3<x<6, то , тогда

Если x>6, то , тогда

Таким образом, плотность вероятности составляющей X:

Найдем плотность составляющей Y:

Если y<0, y>4, то , тогда

Если 0<y<4, то , область ограничена сверху прямой BC, уравнение которой , а снизу прямой , тогда:

№428 Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами O(0;0), A(0;8), B(8;0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности распределения составляющих.

Решение:

а) Поскольку случайная величина распределена равномерно, то обозначим плотность совместного распределения через C, т.е. Область интегрирования D – есть прямоугольный треугольник OAB.

Воспользуемся свойством двумерной плотности распределения:

Для нашего случая получаем:

Рассмотрим треугольник OAB=D. Сверху треугольник ограничен прямой AB, а снизу – прямой OB, уравнение которой y=0, при этом

Найдем уравнение прямой AB:

Вычислим интеграл:

Тогда совместная плотность вероятности

б) Найдем плотность распределения составляющей X:

Если 0<x<8, то

Таким образом, плотность распределения вид:

Найдем плотность распределения составляющей Y:

Если 0<y<8, то

Таким образом, плотность распределения вид:

Найдем условные плотности распределения составляющих. Выполнив элементарные выкладки, получим:

№429 Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри трапеции с вершинами A(-6;0), B(-3;4), C(3;4), D(6;0),. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.

Решение:

Поскольку случайная величина распределена равномерно, то обозначим плотность

совместного распределения через C, т.е. . Область интегрирования D – есть

трапеция ABCD.

Воспользуемся свойством двумерной плотности распределения:

Для нашего случая получаем:

Рассмотрим трапецию ABCD - область D. Разобьем область D, на три части:

прямоугольный треугольник ABN, прямоугольник NBCK и прямоугольный треугольник KCD.

Рассмотрим треугольник ABN. Сверху треугольник ограничен прямой AB, а снизу -

прямой ON, уравнение которой y=0, при этом -6< x<-3.

Найдем уравнение прямой AB:

Рассмотрим прямоугольник NBCK. Сверху прямоугольник ограничен прямой BC, уравнение которой y=4, а снизу - прямой ON, уравнение которой y=0, при этом -3<x<3.

Рассмотрим треугольник ABN. Сверху треугольник ограничен прямой AB, а снизу -

прямой ON, уравнение которой y=0, при этом 3<x<6.

Найдем уравнение прямой CD:

Вычислим интеграл:

Тогда совместная плотность вероятности

б) Найдем плотность распределения составляющей X:

Если x<-6, то f(x,y)=0, следовательно, f₁(x)=0

Если -6<x<-3, то

Если -3<x<3, то

Если 3<x<6, то .

Если x<6, то f(x,y)=0, следовательно

Таким образом, плотность распределения X имеет вид:

Найдем плотность распределения составляющей Y:

Если 0<y<4 , то трапеция ABCD сверху ограничена прямой CD, уравнение которой , а снизу - прямой AB, уравнение которой .

Если 0<y<4 ,то

Таким образом, плотность распределения Y имеет вид: .

№430. Задана плотность совместного распределения двумерной случайной величины (X,Y):

Найти: а) математические ожидания; б) дисперсии составляющих X и Y.

Решение:

а) Найдем сначала плотность распределения составляющей X:

Аналогично получим

Найдем математическое ожидание составляющей X:

Интегрируя по частям и учитывая, что интеграл Пуассона , получим . Очевидно, что .

б) Найдем дисперсию X:

Очевидно, что

Прокаева Наталия

№431 Задана плотность совместного распределения двумерной случайной величины ( , )

Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.

Решение:

Найдем сначала плотность распределения составляющей :

( ).

Аналогично получим

( ).

Найдем математическое ожидание составляющей :

Учитывая, что интеграл Пуассона , получим

. Очевидно, что .

Найдем дисперсию :

Очевидно, что

Ответ: ;

№432 Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины ( , ): в квадрате , ; вне квадрата . Найти математические ожидания составляющих.

Решение:

Найдем сначала протности распределения составляющих:

Анологично получим

Вычислим математические ожидания:

Применив формулу интегрирования по частям, получим, что

Аналогично:

Ответ:

№433 Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины ( , ): в квадрате , ; вне квадрата . Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.

Решение:

Находим плотности распределения составляющих:

Анологично,

Математические одидания:

Интегрируем по частям, получаем

Аналогично,

Найдем дисперсии составляющих:

Дважды применим формулу интегрирования по частям и вычислим определенные интегралы, получим:

Очевидно, что

Ответ: ,

№434 Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины ( , ) в квадрате , ; вне квадрата . Найти: а) математические ожидания и дисперсии составляющих; б) корреляционный момент.

Решение:

а) Для нахождения матожиданий нвычислим плотности распределения составляющих.

Аналогично

Проинтегрировав по частям и вычислив определенные интегралы, получим

, аналогично получается .

Найдем теперь дисперсии:

Дважды применив формулу дифференцирования по частям и находя соответствующие определенные интегралы, получаем

, также аналогично получаем

б) Теперь найдем корреляционный момент. Используем формулу

Итак,

Проинтегрировав по частям, получим, что

Поэтому

Ответ: ; ; .