- •Е.Д. Стрельцова, в.С. Стрельцов моделирование дискретных систем Учебно-методическое пособие по дисциплине «Дискретная математика»
- •2. Теория множеств и отношений………………………………….20
- •Введение
- •1. Функции алгебры логики
- •1.1. Основные понятия
- •Пример функции алгебры логики , заданной таблицей
- •1.2. Алгоритм нахождения фиктивных аргументов.
- •1.3. Элементарные функции алгебры логики
- •Функции алгебры логики, зависящие от одного аргумента
- •Вопросы к разделу 1
- •2. Теория множеств и отношений
- •2.1. Множества. Способы задания множеств
- •2.2. Основные операции над множествами
- •2.2.1. Объединение множеств
- •2 .2.2. Пересечение множеств
- •2.2.3. Разность множеств
- •2.2.4. Дополнение множеств
- •2.4. Свойства операций над множествами
- •2.5. Упорядоченные множества
- •2.6. Прямое (декартово) произведение множеств
- •2.7. Степень множеств
- •2.8. Сечение и проекция
- •Декартово произведение
- •2.9. Соответствия
- •2.10. Композиция соответствий.
- •2.11. Отображения
- •2.12. Виды отображений. Функциональное отображение (функция)
- •2.13. Функционалы
- •2.14. Операторы
- •2.15. Линейные операторы
- •Отношение «Читает лекции по…»
- •Отношение «Посещать лекции»
- •2.20. Бинарные отношения
- •2.20.1. Матричный способ задания отношений
- •2.20.2. Задание отношений в виде графа
- •2.20.3. Задание отношений с помощью фактор множества
- •2.21. Свойства бинарных отношений
- •2.22. Отношение эквивалентности
- •2.23. Отношение порядка
- •2.24. Изоморфизм отношений
- •2.26. Операции над бинарными отношениями
- •2.26.1. Объединение отношений
- •2.26.2. Пересечение отношений
- •2.26.3. Разность отношений
- •2.26.4. Включение отношений
- •2.26.5. Переход к обратному отношению
- •2.26.6. Произведение отношений
- •2.26.7. Транзитивное замыкание
- •Вопросы к разделу № 2
- •3. Алгебраические системы
- •3.1. Понятие алгебраической системы
- •3.1. Морфизм алгебраических систем
- •3.3. Автоморфизмы
- •3.4. Виды универсальных алгебр
- •3.4.1. Полугруппы. Моноиды
- •3.4.2. Морфизм групп
- •3.4.3. Свойства морфизма групп
- •3.4.4. Кольцо
- •Вопросы к разделу №3
- •4. Практикум к решению задач Основные обозначения
- •4.1. Операции над множествами
- •Разностью множеств а и в называется множество
- •Симметрической разностью множеств а и в называется множество
- •Пустым множеством называется множество, не имеющее ни одного элемента.
- •Задачи и упражнения
- •На основании (14) можно записать
- •По определению объединения
- •Пусть теперь у (ав) (ас) у (ав) у (ас) (у а у в) (у а у с) у а (у в у с)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.2. Векторное произведение
- •4.3. Соответствие
- •Свойства отношений
- •Список литературы
- •Моделирование дискретных систем
- •3 46428, Г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132
1. Функции алгебры логики
1.1. Основные понятия
Рассмотрим множество векторов , и вектор , . Допустим, что каждый элемент вектора и вектора принимает значение из двуэлементного множества : . Если каждому значению придать конкретное значение из множества , то получим конкретный набор двоичных значений компонентов вектора . Можно рассматривать множество таких наборов:
;
;
………………………..
.
Если длина вектора равна , то количество различных наборов значений компонентов векторов составит . Очевидно, что количество различных наборов компонентов вектора составит . Допустим, что известна некоторая функция , которая каждому двоичному набору значений компонентов вектора ставит во взаимнооднозначное соответствие число значение вектора . В этом случае говорят, что на множествах векторов и задано отображение . Это отображение принимается за функцию алгебры логики1.
Определение1.1:
Функцией алгебры логики называется отображение , где , , .
Компоненты вектора называются аргументами функции алгебры логики . В данном случае функция зависит от аргументов .
Определение1.2:
Областью определения функции алгебры логики называется множество всех возможных наборов значений ее аргументов.
Если множество аргументов функции алгебры логии является конечным, то область определения также представляет собой конечное множество. В следствие э того функцию алгебры логики удобно задавать в виде таблицы.
Пример 1.1:
Пусть рассматривается функция алгебры логики, зависящая от четырёх аргументов: и задана следующей таблицей (табл. 1).
Таблица 1.1
Пример функции алгебры логики , заданной таблицей
№ п/п |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
6 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
7 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
8 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
9 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
11 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
12 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
13 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
14 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
15 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
16 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Определение 1.3.
Две функции алгебры логики называются равными, если они на равных наборах значений аргументов принимают одинаковые значения.
Определение 1.4.
Функция алгебры логики называется существенно зависящей от аргумента , если выполняется следующее условие:
.
Определение 1.5.
Функция алгебры логики называется несущественно зависящей от аргумента , если выполняется следующее условие:
.
В этом случае аргумент называется несущественным или фиктивным.