- •Е.Д. Стрельцова, в.С. Стрельцов моделирование дискретных систем Учебно-методическое пособие по дисциплине «Дискретная математика»
- •2. Теория множеств и отношений………………………………….20
- •Введение
- •1. Функции алгебры логики
- •1.1. Основные понятия
- •Пример функции алгебры логики , заданной таблицей
- •1.2. Алгоритм нахождения фиктивных аргументов.
- •1.3. Элементарные функции алгебры логики
- •Функции алгебры логики, зависящие от одного аргумента
- •Вопросы к разделу 1
- •2. Теория множеств и отношений
- •2.1. Множества. Способы задания множеств
- •2.2. Основные операции над множествами
- •2.2.1. Объединение множеств
- •2 .2.2. Пересечение множеств
- •2.2.3. Разность множеств
- •2.2.4. Дополнение множеств
- •2.4. Свойства операций над множествами
- •2.5. Упорядоченные множества
- •2.6. Прямое (декартово) произведение множеств
- •2.7. Степень множеств
- •2.8. Сечение и проекция
- •Декартово произведение
- •2.9. Соответствия
- •2.10. Композиция соответствий.
- •2.11. Отображения
- •2.12. Виды отображений. Функциональное отображение (функция)
- •2.13. Функционалы
- •2.14. Операторы
- •2.15. Линейные операторы
- •Отношение «Читает лекции по…»
- •Отношение «Посещать лекции»
- •2.20. Бинарные отношения
- •2.20.1. Матричный способ задания отношений
- •2.20.2. Задание отношений в виде графа
- •2.20.3. Задание отношений с помощью фактор множества
- •2.21. Свойства бинарных отношений
- •2.22. Отношение эквивалентности
- •2.23. Отношение порядка
- •2.24. Изоморфизм отношений
- •2.26. Операции над бинарными отношениями
- •2.26.1. Объединение отношений
- •2.26.2. Пересечение отношений
- •2.26.3. Разность отношений
- •2.26.4. Включение отношений
- •2.26.5. Переход к обратному отношению
- •2.26.6. Произведение отношений
- •2.26.7. Транзитивное замыкание
- •Вопросы к разделу № 2
- •3. Алгебраические системы
- •3.1. Понятие алгебраической системы
- •3.1. Морфизм алгебраических систем
- •3.3. Автоморфизмы
- •3.4. Виды универсальных алгебр
- •3.4.1. Полугруппы. Моноиды
- •3.4.2. Морфизм групп
- •3.4.3. Свойства морфизма групп
- •3.4.4. Кольцо
- •Вопросы к разделу №3
- •4. Практикум к решению задач Основные обозначения
- •4.1. Операции над множествами
- •Разностью множеств а и в называется множество
- •Симметрической разностью множеств а и в называется множество
- •Пустым множеством называется множество, не имеющее ни одного элемента.
- •Задачи и упражнения
- •На основании (14) можно записать
- •По определению объединения
- •Пусть теперь у (ав) (ас) у (ав) у (ас) (у а у в) (у а у с) у а (у в у с)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.2. Векторное произведение
- •4.3. Соответствие
- •Свойства отношений
- •Список литературы
- •Моделирование дискретных систем
- •3 46428, Г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132
1.2. Алгоритм нахождения фиктивных аргументов.
1. Область определения функции алгебры логики разбивают на два подмножества: первое подмножество – множество наборов значений аргументов, на которых функция принимает значения, равные единице и второе – подмножество значений наборов аргументов, на которых функция принимает значение ноль.
2. В обоих подмножествах вычёркивается столбец, соответствующий аргументу, анализируемому на существенность.
3. Если после вычеркивания в обоих подмножествах одинаковых наборов не появилось, то исследуемый аргумент является фиктивным.
Пример 1.2.
В функции алгебры логики заданный таблицей 1.1 исследовать на фиктивность аргумент . Согласно пункту № 1 алгоритма область определения функции разбиваем на два подмножества: и :
В соответствии с пунктом №2 в обоих подмножествах и вычёркивается столбец, соответствующий аргументу, анализируемому на существенность. Следуя условию, нам необходимо вычеркнуть второй столбец подмножеств. В подмножествах и после вычёркивания второго столбца появились одинаковые наборы <000>, <011>, <101>, <110>. Следовательно, аргумент является фиктивным.
Теорема 1.1:
Число функций алгебры логики зависящих от аргументов конечно и равно .
Доказательство:
Пусть функция алгебры логики зависит от аргументов. Составим для функции таблицу истинности (табл.1.2).
Таблица 1.2
Таблица истинности функции, зависящей от аргументов
№ п/п |
|
|
|
… |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
… |
0 |
0 |
|
2 |
0 |
0 |
0 |
… |
0 |
1 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
… |
1 |
0 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
k |
1 |
1 |
1 |
… |
1 |
1 |
|
В таблице значения функции обозначены переменными , . Количество функций алгебры логики совпадает с числом наборов . Число таких наборов составляет . Но , следовательно .
1.3. Элементарные функции алгебры логики
Рассмотрим функцию алгебры логики , зависящую от аргументов.
Допустим, что , т.е. функция не содержит ни одного аргумента. Определим количество функций алгебры логики, не содержащих аргументов. Согласно теореме 1 это количество составит . Таким образом, существует две функции алгебры логики, не содержащие аргументов. Эти функции называются константами: и .
Допустим, что , т.е. имеем класс функций алгебры логики, зависящих от одного аргумента и имеющих вид: . Определим количество функций алгебры логики такого классаю В соответствии с теоремой 1.1 это количество будет равно . В множестве этих функций найдутся функции как существенно зависящие от своего аргумента, так и функции, несущественно зависящие от него. Представим это множество функций посредством таблицы истинности (табл. 1.3). Таблица демонстрирует, что функции и несущественно зависят от своего аргумента (эти функции помечены в третьей строке таблицы сочетаниями «н/с»), а функции и существенно зависят от аргумента и помечены буквой «с». При этом значение функции повторяет значение аргумента . Функция же принимает значения, обратные значению аргумента и носит название «не »: .
Таблица 1.3