1 Математическое моделирование

Моделирование как метод исследования процессов (систем) включает в себя две составляющие – построение модели и использование ее для исследования свойств и поведения объекта. Одному и тому же объекту – оригиналу – в зави­симости от целей моделирования может соответствовать большое число моделей, отражающих разные его стороны и поэтому имеющих разную структуру.

Построение математических моделей состоит из сле­дующих основных этапов: формулировки целей моделирова­ния; выделения объекта моделирования из среды; построения модели отдельных технологических блоков; переноса знаний с модели на объект.

Строго говоря, моделью называется записанная на определенном языке (естественном, математическом и др.) совокупность наших знаний, представлений и гипотез о соответствующем объекте или явлении. Соответственно, моделирование - это замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели.

Математической моделью называется совокупность знаний, представлений и гипотез о процессе или явлении, записанная на языке математических символов.

Разработка математической модели состоит из четырех взаимосвязанных этапов: формулировка целей моделирования, определение объекта моделирования, выбор структуры (структурный синтез) модели, идентификация модели.

Объектом называется реально существующий процесс, выбираемый для моделирования.

При определении объекта моделирования осуществляется его локализация во времени, в пространственных и параметрических координатах.

Выделение объекта моделирования из среды

Начальный этап моделирования состоит из определе­ния границ объекта. Выделение объекта в пространстве представляет собой определение граничных емкостей техно­логического процесса, основных и вспомогательных рабочих агрегатов объекта, направления материальных и энергетиче­ских потоков.

При изучении объекта во времени выбирают вре­менный интервал функционирования модели (для аппаратов периодического действия – длительность рабочего цикла; для непрерывных производств – межремонтный срок).

В пространстве координат поведение объек­та тесно связано с целью управления, т.к. из всей совокупно­сти входных переменных, характеризующих протекание про­цессов, необходимо выбрать те величины, которые будут из­меняться при решении задач исследования или управления. К ним относятся управляющие воздействия U = (U₁, U₂, …, U_m); входные воздействия Х = (Х₁, Х₂, …, Х_n); выходные параметры Y = (Y₁, Y₂, …, Y_s); случайные возмущения F = (F₁, F₂, …, F_k).

На следующем этапе следует определить подход, на базе которого будет строиться построение модели. Теоре­тический подход влечет за собой построение модели на основе соотношений, вытекающих из физических законов. Этот путь применяется, когда законы известны априори.

Формальный подход строится на основе «черного ящика», когда информация в законах протекания процесса отсутствует или объект очень сложен и не поддается описанию.

В дальнейшем по имеющейся исходной информации выбирается вид модели. Этот выбор осуществляется на осно­вании требований к объему и качеству исходных данных.

При выборе детерминированных моделей следует отметить ряд преимуществ: их можно разработать даже при отсутствии действующего объекта (например, на стадии проектирования); они качественно более правильно характеризуют процессы, протекающие в объекте, даже при наличии недостаточно точных в количественном отношении параметров модели; они пригодны для прогноза поведения процесса.

Построение стохастических моделей следует осуществлять при неполной информации об объекте из-за его сложности и большого числа подпроцессов, невозможности описать все входы и если влияние ненаблюдаемых перемен­ных на выходные существенно.

Динамические модели дают наиболее полное представление о поведении системы, технологического объекта в динамике. Однако их использование приводит иногда к сложным вычислительным задачам. Поэтому, если можно пренебречь динамикой, применяют статистические модели, которые используются для описания систем в статике.

В качестве методов экспериментального определения выделяют пассивные и активные методы.

Пассивные методы экспериментального определе­ния предполагают наблюдение за ходом процесса без влияния на процесс.

Активные методы экспериментального определения предполагают не только наблюдения, но и внесение управляющих воздействий в процесс.

Рассмотренные этапы можно представить в виде упрощенной схемы (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 – Классические подходы к выбору модели

Эффективность математической модели определяется следующими характеристиками.

1. Адекватность модели – соответствие математической модели объекту в отношении отражения заданных свойств объекта.

2. Степень целенаправленности поведения модели, в соответствии с которой модели могут быть разделены на одноцелевые и многоцелевые, модели с управлением и без управления.

3. Сложность, которую можно оценить по общему числу элементов в системе и связей между ними.

4. Целостность, которая указывает на то, что создаваемая модель является одной общей системой, включает в себя большое количество составных частей, находящихся в сложной взаимосвязи друг с другом.

5. Неопределенность, которая проявляется в системе, оценивается энтропией и позволяет в ряде случаев оценить количество управляющей информации для достижения заданного состояния системы.

6. Поведенческая стратегия, которая позволяет оценить эффективность достижения системой поставленной цели. Для количественной оценки эффективности управления используются критерии качества.

7. Адаптивность (приспособляемость) к различным внешним возмущающим факторам в широком диапазоне изменения воздействий внешней среды.

8. Управляемость модели, вытекающая из необходимости обеспечивать управление со стороны экспериментов для получения возможности рассмотрения протекания процесса в различных условиях, имитирующих реальные. К этому можно отнести управление технологическим процессом как в нормальном, так и в предаварийном состоянии.

9. Возможность развития модели, которая позволяет создавать мощные системы моделирования для исследования многих сторон функционирования реального объекта. Модель должна быть открытой и позволять включение в ее состав новых подмоделей или подсистем управления.

Математическая модель процесса или явления в общем виде представляется зависимостью:

где – вектор–функция, зависящая от управляющих воздействий, входных переменных и внутренних параметров; – выходные переменные, – вектор входных переменных; – вектор управляющих воздействий; – вектор внутренних параметров.

наиболее полное отображение процессов в реальных объектах дают системы алгебраических (статика процессов) и дифференциальных уравнений (динамика процессов), которые широко используются в математическом моделировании.

В основе методологии построения математических моделей стохастических процессов и зависимостей, отражающих взаимосвязи между данными, полученными экспериментальным путем лежит теория случайных величин и регрессионный анализ.

Случайной величиной называется величина, которая в результате одного и того же опыта может принять то или иное заранее неизвестное значение. Случайные величины могут быть дискретными (прерывными) и непрерывными. Дискретные случайные величины принимают изолированные числовые значения, отделенные друг от друга конечными интервалами (например: число попаданий при нескольких выстрелах, число появлений герба при нескольких подбрасывания монеты). Значения непрерывных случайных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток (например: ошибка измерения, дальность полета снаряда).

Всякое соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями, с которыми эти значения принимаются, называется законом распределения случайной величины. Закон распределения количественно может выражаться в следующих формах: табличной, графической и аналитической.

При количественном описании закона распределения вероятностей можно воспользоваться вероятностью события X < x, где x- текущая переменная. Вероятность этого события, есть некоторая функция x. Эта функция называется функцией распределения случайной величины X и обозначается F(x):

F(x) = P(X<x)

Одной из форм закона распределения непрерывной случайной величины является плотность распределения вероятностей f(x). Она связана с функцией распределения формулой:

f(x) = F'(x)

Для решения большинства практических задач закон распределения, т.е. полная характеристика случайной величины, неудобен для использования. Поэтому чаще применяют числовые характеристики случайной величины, определяющие основные черты закона распределения. Наиболее распространенными из них являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется следующим образом:

Дисперсия D[X] и среднее квадратическое отклонение определяют рассеяние случайной величины около её математического ожидания и вычисляются по формулам

В практических применениях теории вероятностей очень часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной, а двумя и более случайными величинами, образующими комплекс или систему.

Методы проверки гипотез об адекватности структуры модели

Об адекватности структуры модели можно судить по коэффициенту корреляции r (корреляционному отношению ), гистограмме распределения остатков и содержательному анализу остатков.

Коэффициент корреляции r является показа­телем тесноты линейной связи между величинами X и Y и оп­ределяется по формуле

(1.1)

где n – число экспериментальных данных.

Коэффициент корреляции изменяется от -1 до +1. Ес­ли r = 0, то связь отсутствует; если r = |1|, то связь между X и Y функциональная.

Корреляционное отношение  является по­казателем тесноты нелинейной связи между переменными X и Y и рассчитывается по формуле

(1.2)

где Y_i – текущее значение, вычисленное по математиче­ской модели значение параметра Y; Y_ai – текущее значение, полученное на объекте; – среднее значение, которое вы­числяется по формуле

(1.3)

Корреляционное отношение изменяется от 0 до +1. Ес­ли  = 0 , то связь отсутствует; если  = 1 , то связь между ве­личинами X и Y функциональная.

Следует иметь в виду, что коэффициент корреля­ции – это частный случай корреляционного отношения.

Высокое значение коэффициента корреляции, или корреляционного отношения, свидетельствует об адек­ватности модели. Однако этого недостаточно и, чтобы определить её адекватность, необходимо построить гис­тограмму распределения остатков.

Гистограмму распределения остатков сроят сле­дующим образом. Весь диапазон изменения остатков (от и до) разбивают на несколько поддиапазонов (6-20) и рассчитывают число попаданий ошибок (остатков) в ка­ждый поддиапазон. По оси ординат число попаданий ошибки можно откладывать как в натуральных показате­лях, так и в процентном соотношении. При адекватности модели реальному объему гистограмма распределения приобретает колоколообразный вид, при неадекватности модели реальному объекту она имеет несимметричный характер или второй горб (рисунок 1.2).

При содержательном анализе остатков строят рас­пределение остатков модели в зависимости от времени t, входного параметра X, выходного параметра Y. График возможных зависимостей остатков (ошибки) модели от вектора входных параметров X имеет вид, представлен­ный на рисунке 1.3.

Попадание большинства данных в горизонтальную полосу, расположенную симметрично нулю, свидетельст­вует об адекватности модели.

а	б

Рисунок 1.2 – Гистограмма распределения остатков: а – при адекватной модели объекта управления;

б – при неадекватной модели объекта управления

а	б
в	г
Рисунок 1.3 – График распределения остатков: а – адекватная модель; б, в, г – неадекватная модель

Окончательное суждение об адекватности модели принимают на основании анализа коэффициента корре­ляции, гистограммы распределения и содержательного анализа остатков.