3 Электрическое поле в вакууме напряженность и потенциал электрического поля

3.1 Точечный заряд q находится в начале координат. Написать выражение для напряженности поля заряда. Ответ выразить через: 1) радиус-вектор точки ; 2) декартовы координаты х, у, z. Написать также выражения для Е_х, Е_y, Е_z.

3.2 N зарядов q₁, q₂, ..., q_N расположены в точках с радиус-векторами , , ..., . Написать выражения для вектора напряженности поля в точке с радиус-вектором .

3.3 Заряд распределен по объему V с плотностью ρ( ), зависящей от координат. Написать выражение для напряженности поля заряда в точке с радиус-вектором .

3.4 Нарисовать картину линий напряженности между двумя точечными зарядами +2q и -q. Могут ли линии напряженности электростатического поля быть замкнутыми?

3.5 Построить графики изменения напряженности и потенциала поля вдоль линии, проходящей через два точечных заряда, находящихся на расстоянии 2d друг от друга. Величины зарядов равны: 1) +q и -q; 2) +q и +q; 3) +q и -3q.

3.6 Два точечных заряда +q и -q расположены соответственно в точках с координатами (а/2, 0, 0), (-а/2, 0, 0). 1) Построить качественно график зависимости поля Е_х(х) для точек, лежащих на оси х; 2) написать выражение для напряженности поля Е_х(х) в точках, лежащих на оси у, построить график зависимости Е_х(у).

3.7 В вершинах равностороннего треугольника со стороной а находятся заряды +q, +q, и -q. Найти напряженность поля  в центре треугольника.

Ответ:

3.8 В вершинах квадрата со стороной 5см находятся одинаковые положительные заряды 2нКл. Определите напряженность электростатического поля: 1) в центре квадрата; 2) в середине одной из сторон квадрата.

Ответ: 1) 0; 2) 10,3кВ/м.

3.9 Найти модуль и направление напряженности поля : 1) в центре кольца радиуса R, по которому равномерно распределен заряд q > 0, в кольце сделана прорезь ширины b<<R; 2) в центре сферы радиуса R, по поверхности которой равномерно распределен заряд q>0, в сфере сделано маленькое отверстие площади S<<R².

3.10 Заряд q>0 равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом R. Найти напряженность Е электрического поля на оси кольца как функцию расстояния х от его центра.

Ответ:

3.11 Тонкая прямая нить длиной 2l заряжена равномерно зарядом q. Найти напряженность Е поля в точке, отстоящей на расстоянии х от центра нити и расположенной симметрично относительно ее концов.

Ответ:

3.12 Полубесконечная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд  на единицу длины. Найти модуль напряженности поля Е в точке, которая отстоит от нити на расстоянии х и находится на перпендикуляре к нити, проходящем через ее конец.

Ответ: .

3.13 Две бесконечно длинные, равномерно заряженные нити с линейной плотностью зарядов 610^-5Кл/м расположены на расстоянии 0,2м друг от друга. Найти напряженность электрического поля, созданного в точке, удаленной на 0,2м от каждой нити.

Ответ: 9,310⁶В/м.

3.14 По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью λ. Определить напряженность электрического поля Е, создаваемого таким распределением зарядов в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет одну треть длины окружности.

Ответ:

3.15 Тонкое непроводящее кольцо радиусом R заряжено с линейной плотностью =₀cos, где ₀ – положительная постоянная,  - азимутальный угол. Найти напряженность Е электрического поля в центре кольца.

Ответ:

3.16 Имеется плоский конденсатор с круглыми пластинами радиуса R, отстоящими друг от друга на расстояние 2а (a<<R). Пластинам сообщены одинаковые по модулю разноименные заряды. Ось, проходящую через центры пластин, обозначим буквой х. Начало координат поместим в центр конденсатора. Полагая, что заряды распределены по пластинам равномерно с плотностью  и , исследовать напряженность поля в точках, лежащих на оси х. С этой целью найти: 1) E_x как функцию х; 2) E_x (0), т.е. E_x в центре конденсатора. 3) E_x (а—0), т.е. E_x в точке с координатой x=a (0); 4) E_x (а+0), т. е. E_x в точке с координатой x=a (0); 5) E_x как функцию х в точках, для которых >>R. Толщиной пластин пренебречь.

Ответ: 1)

2) 3)

4) 5) , где q=r².

3.17 На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью 0,1нКл/см² расположена круглая пластинка. Нормаль плоскости пластинки составляет с линиями напряженности угол 30. Определите поток вектора напряженности через эту пластинку, если ее радиус 15см.

Ответ: 3,46кВ∙м.

3.18 Определите поток вектора напряженности электростатического поля через сферическую поверхность, охватывающую точечные заряды 5нКл и -2нКл.

Ответ: 339В∙м.

3.19 Найти напряженность поля Е бесконечной плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда σ.

Ответ:

3.20 Найти напряженность поля Е двух параллельных плоскостей, заряженных равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями  и -.

Ответ:

3.21 Может ли поле вне разноименно и однородно заряженных параллельных бесконечных плоскостей быть отличным от нуля?

3.22 Две параллельные бесконечные плоскости заряжены: одна с плотностью ₁=+4,4210^-10Кл/м², другая с плотностью ₂=8,8410^-10Кл/м². Найти напряженность поля для каждой из областей A, B и C.

Рисунок 1. Рисунок к задаче 3.22

Ответ: =25 В/м, =75 В/м, =25 В/м.

3.23 Две параллельные бесконечные плоскости заряжены разноименно с разными по модулю плотностями ₁ и ₂. Абсциссы указанных на рисунке точек равны: x₁=3м, x₂=1м, х₃=+2м, х₄=+3м. Разность потенциалов между точками 2 и 1 равна ₂₁=400В. 1) Какая из плотностей (₁ или ₂) больше по модулю? 2) Чему равна разность потенциалов ₄₃?

Ответ: 1) ₁ >₂. 2) ₃₄=200 В.

Рисунок 2. Рисунок к задаче 3.23

3.24 Найти напряженность поля Е бесконечного круглого цилиндра радиуса R, заряженного равномерно по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд .

Ответ: Е= ;

3.25 Найдите напряженность поля Е сферической поверхности радиуса R, заряженной равномерно зарядом q. Постройте график зависимости Е(r).

Ответ: Е= ;

3.26 Найдите напряженность поля Е шара радиуса R, по объему которого равномерно распределен заряд q. Постройте график зависимости Е(r).

Ответ: ;

3.27 Шар радиусом 10см заряжен равномерно с объемной плотностью 10нКл/м³ Определите напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии 5см от центра шара; 2) на расстоянии 15см от центра шара.

Ответ: 18,8В/м; 16,7В/м.

3.28 Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния r до его центра как =₀(1–r/R), где ₀ – постоянная. Полагая, что диэлектрическая проницаемость =1 всюду, найти 1) модуль напряженности электрического поля E внутри и вне шара как функцию r; 2) максимальное значение модуля напряженности Е_mах и соответственно значение r_m.

Ответ: 1) , ; 2) ,

3.29 Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими сферами радиусами 5см и 8см. Заряды сфер соответственно равны 2нКл и -1нКл. Определите напряженность электростатического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях: 1) 3см; 2) 6см; 3) 10см. Постройте график зависимости Е(r).

Ответ: 1) 0; 2) 5кВ/м; 3) 0,9кВ/м.

3.30 Напряженность электрического поля зависит только от координат х и у как где а – постоянная; и – орты осей Ох и Оу. Найти заряд внутри сферы радиусом R с центром в начале координат.

_Ответ:

3.31 Для поля вычислить: 1) ротор в точке с координатами (х, у, z); 2) циркуляцию по окружности радиуса R, лежащей в плоскости х, у (с центром в произвольной точке), направление обхода образует с осью z правовинтовую систему.

Ответ: 1) 2a ; 2) 2aR².

3.32 Может ли электростатическое поле иметь вид ?

3.33 Что представляют собой эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля?

3.34Заряд q находится в точке с радиус-вектором . Написать выражение для потенциала поля φ( ), создаваемого этим зарядом в точке с радиус-вектором .

3.35 Электростатическое поле создается положительным точечным зарядом. Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля, если на расстоянии 10см от заряда потенциал равен 100В.

Ответ: 1кВ/м, направлен к заряду.

3.36 Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, заряженной равномерно с поверхностной плотностью 5нКл/м². Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля.

Ответ: 282В/м, направлен к плоскости.

3.37 Электростатическое поле создается бесконечной прямой нитью, заряженной равномерно с линейной плотностью 50пКл/см. Определите числовое значение и направление градиента потенциала в точке на расстоянии 0,5м от нити.

Ответ: 180В/м, направлен к нити.

3.38 Известно, что в трех «близких» точках 1, 2, 3 потенциалы - одинаковы, точки не лежат на одной прямой. Что можно сказать о направлении напряженности поля в окрестности этих точек?

3.39 На рис. 3 приведена картина линий поля . Изобразить эквипотенциальные кривые и указать направление вдоль линий поля, в котором потенциал возрастает.

_{Рисунок 3. Рисунок к задаче 3.39.}

3.40 Изобразить качественно линии поля : 1) точечного заряда; 2) однородного электрического поля; 3) диполя. Для случаев 1) и 2) изобразить также эквипотенциальные поверхности.

3.41 Известно, что потенциалы двух близких параллельных эквипотенциальных плоскостей 1 и 2 равны 3В, 3,05В. Расстояние между плоскостями 0,5см. Указать направление и вычислить приближенное значение модуля напряженности поля Е между этими плоскостями.

3.42 Точечный заряд q>0 находится в начале координат. Построить графики зависимостей Е_х(х) и φ(x): 1) для точек прямой у=а, лежащей в плоскости ху; 2) для точек oси х.

3.43 Найти напряженность поля, потенциал которого имеет вид: 1) (х,y)=-аху, а–постоянная, 2) ( )=- , –постоянный вектор, –радиус-вектор интересующей нас точки поля.

Ответ: 1) ; 2) _.

3.44 Потенциал некоторого электрического поля имеет вид =(ху–z²). Найти проекцию вектора на направление вектора в точке М(2, 1, -3).

Ответ:

3.45 Напряженность поля , где а, b, с — константы. Является ли это поле однородным? Найти его потенциал φ(х, у, z), положив φ(0,0,0)=0.

3.46 Найти напряженность поля, если потенциал φ=сr, где с — отрицательная константа, r — расстояние от начала координат до точки наблюдения. Изобразить эквипотенциальные поверхности и линии поля .

3.47 Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид: =x²+y²+z². 1) Что можно сказать о характере поля? 2) Найти модуль напряженности поля в точке (x, y, z).

Ответ: 1) Поле является центрально-симметричным. 2) .

3.48 Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид: (r, ), где r— расстояние от начала координат,  — полярный угол. 1) Что можно сказать о характере поля? 2) Найти модуль напряженности поля в точке (r, ).

Ответ: 1) Поле является осесимметричным. 2) .

3.49 Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид: φ=a(x²+y²)+bz², где а и b — положительные константы. 1) Найти напряженность поля и ее модуль. 2) Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности? 3) Какую форму имеют поверхности, для которых E=const?

Ответ: 1) , E=2 . 2) Эллипсоид вращения с полуосями: , , . 3) Эллипсоид вращения с полуосями: E/2a, E/2a, E/2b.

3.50 Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид: φ=a(x²+y²)bz², где а и b — положительные константы. Ответить на те же вопросы, что и в задаче 3.49.

Ответ: 1) , E=2 . 2) При 0  однополостный гиперболоид вращения, при =0  прямой круговой конус, при 0  двуполостный гиперболоид вращения. 3) Эллипсоид вращения.

3.51 В вершинах правильного шестиугольника со стороной а помещаются точечные одинаковые по модулю заряды q. Найти потенциал  и напряженность поля в центре шестиугольника при условии, что: 1) знак всех зарядов одинаков; 2) знаки соседних зарядов противоположны.

Ответ: 1) , E=0; 2) =0, Е=0.

3.52 Находящийся в вакууме очень тонкий прямой стержень длины 2l заряжен с одинаковой всюду линейной плотностью . Для точек, лежащих на прямой, перпендикулярной к оси стержня и проходящей через его центр, найти потенциал поля как функцию расстояния x от центра стержня. Исследовать случай xl.

Ответ: . При x>>lполе точечного заряда: , (q полный заряд стержня).

3.53 Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре полусферы радиуса R, заряженной равномерно с поверхностной плотностью .

Ответ: ,

3.54 По тонкому проволочному кольцу радиуса R равномерно распределен заряд q. 1) Приняв ось кольца за ось х, найти потенциал  на оси кольца как функцию х (начало отсчета х поместить в центр кольца). 2) Исследовать случаи: х=0 и >>R. 3) Построить примерные графики функций (x) и E_x(x).

Ответ: 1) . 2) Для x=0: ; для >>R:  (как для точечного заряда).

3.55 По круглой очень тонкой пластинке радиуса R равномерно распределен заряд q. Приняв ось пластинки за ось x, найти  и E_x для точек, лежащих на оси, как функции x; исследовать полученные выражения для >>R.

Ответ: , E_x= ; при >>r поле точечного заряда:  , E= .

3.56 Очень тонкая пластинка имеет форму кольца с внутренним радиусом а и внешним радиусом b. По пластинке равномерно распределен заряд q. Приняв ось пластинки за ось х, найти  и E_x на оси пластинки как функции х. Исследовать случай >>b.

Ответ: , E_x= . При >>b поле точечного заряда.

3.57 Имеются два тонких кольца радиуса R каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны q и -q. Найти разность потенциалов между центрами колец, отстоящими друг от друга на расстоянии l.

Ответ:

3.58 Электростатическое поле создается равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом 10см с общим зарядом 15нКл. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии 5см и 15см от поверхности сферы.

Ответ: 360В.

3.59 Электростатическое поле создается сферой радиусом 5см, равномерно заряженной с поверхностной плотностью 1нКл/м². Определите разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях 10см и 15см от центра сферы.

Ответ: 0,94В.

3.60 Полый шар несет на себе равномерно распределенный заряд. Определите радиус шара, если потенциал в центре шара равен 200В, а в точке, лежащей от его центра на расстоянии 50см, 40В.

Ответ: 10см.

3.61 Заряд q распределен равномерно по объему шара радиуса R. Полагая, диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти потенциал: 1) в центре шара; 2) внутри шара как функцию расстояния r от его центра.

Ответ: 1) ;2)

3.62 Электростатическое поле создается шаром радиусом 10м, равномерно заряженным с объемной плотностью 20нКл/м³. Определите разность потенциалов между двумя точками, лежащими внутри шара на расстояниях 2см и 8см от его центра.

Ответ: 2,26В.

3.63 Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния r до его центра по закону =аr²+b, где а и b – постоянные. Найти распределение объемного заряда (r) внутри шара.

Ответ:

3.64 Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью 1нКл/м². Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии 20см и 50см от плоскости.

Ответ: 16,9В.

3.65 Электростатическое поле создается бесконечным цилиндром радиусом 8мм, равномерно заряженным с линейной плотностью 10нКл/м. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях 2мм и 7мм от поверхности этого цилиндра.

Ответ: 73В.