5 Электрическое поле в диэлектрике

5.1 Внутри диэлектрика известны его поляризованость =α(2x +4y +6z ) и напряженность поля =(α/ε₀)(x +2y +3z ), где α — константа, 1) Определить плотность ρʹ связанных зарядов и плотность ρ сторонних зарядов внутри диэлектрика. 2) Чему равна диэлектрическая проницаемость ε материала?

5.2 В некоторой точке изотропного диэлектрика с проницаемостью ɛ электрическое смещение имеет значение . Чему равна поляризованность в этой точке?

Ответ: =(1-1/ε) .

5.3 Шар из сегнетоэлектрика однородно поляризован по объему. Нарисовать качественную картину линий поля поляризованности , поля электрического смещения и поля напряженности .

5.4 Считая известной поляризованность на поверхности S диэлектрика, написать выражение для средней по объему диэлектрика плотности связанных зарядов ‹ρʹ›.

5.5 Длинная тонкая диэлектрическая палочка помещена в однородное электрическое поле, как показано на рис 6. Изобразить качественную картину линий поля и график зависимости Е_х от х.

Рисунок 6. Рисунок к задаче 5.5

5.6 В поле точечного заряда q>0 находится палочка из диэлектрика. Выделим три сферические поверхности S₁, S₂, S₃, в центре которых находится заряд q (рис.7). 1) Сравнить потоки Ф_E1, Ф_E2 Ф_EЗ вектора через эти поверхности (указать соотношения >, <, =); 2) сравнить потоки Ф_D1, Ф_D2, Ф_D3 вектора через эти же поверхности. Можно ли найти ( ), используя теорему Гаусса для вектора ?

Рисунок 7. Рисунок к задаче 5.6

5.7 Диэлектрик, проницаемость которого ε, занимает область z<0. Выберем контур Г, показанный на рисунке 8. Вектор напряженности поля коллинеарен плоскости рисунка. Определить: 1) знаки выражений и ; 2) как связаны между собой составляющие поля E_1x и Е_2x соответственно в вакууме и в диэлектрике в непосредственной близости от поверхности диэлектрика; 3) как связаны между собой D_1x и D_2x.

Рисунок 8. Рисунок к задаче 5.7

5.8 Диэлектрик проницаемости ε занимает область z<0. Выберем замкнутую цилиндрическую поверхность S, показанную на рисунке 9. Вектор напряженности поля коллинеарен плоскости рисунка. Определить: 1) знаки выражений и ; 2) как связаны составляющие поля D_1z и D_2z соответственно в вакууме и в диэлектрике в непосредственной близости от его поверхности; 3) как связаны Е_1z и E_2z; 4) поверхностную плотность связанных зарядов σʹ через E_1z и ε.

Рисунок 9. Рисунок к задаче 5.8

5.9 Диэлектрическая пластина с проницаемостью ε=2 помещена в однородное электрическое поле напряженности (рис.10). Линии поля коллинеарны плоскости рисунка и образуют некоторый угол с пластиной. 1) Изобразить качественно линии полей и в вакууме и в пластине. 2) Построить качественно графики зависимостей Е_х, D_x, E_y, D_y, E, D от х.

Рисунок 10. Рисунок к задаче 5.9

5.10 В зазор между разноименно заряженными плоскостями ввели пластину из диэлектрика, не несущую сторонних зарядов (рис. 11). Штриховой линией на рисунке показана воображаемая замкнутая поверхность, частично проходящая внутри диэлектрика, частично вне его. Чему равен поток вектора через эту поверхность?

Рисунок 11. Рисунок к задаче 5.10

5.11 Имеются две бесконечные параллельные плоскости, заряженные с плотностями +σ и –σ. Первоначально они находятся в вакууме. Затем зазор между плоскостями заполняется однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью ɛ. Что происходит при этом с: 1) напряженностью E поля в зазоре; 2) смещением D; 3) разностью потенциалов U между плоскостями?

Ответ: 1) E уменьшается в ε раз, 2) D остается неизменным, 3) U уменьшается в ε раз.

5.12 Воображаемая замкнутая поверхность S проходит частично вне пластины из изотропного диэлектрика, частично - внутри нее (рис. 12). Поток вектора через эту поверхность равен нулю, поток вектора больше нуля. Какие можно сделать из этого выводы?

Рисунок 12. Рисунок к задаче 5.12

5.13 В однородное электрическое поле с напряженностью Eₒ=100В/м помещена бесконечна плоскопараллельная пластина из однородного и изотропного диэлектрика с проницаемостью ɛ=2. Пластина расположена перпендикулярно к . Определить: 1) напряженность поля Е и электрическое смещение D внутри пластины; 2) поляризованность диэлектрика P; 3) поверхностную плотность связанных зарядов σʹ.

Ответ: 1) E=Eₒ/ε=50В/м, D=εₒEₒ=0,88нКл/м²; 2) P=εₒEₒ(ε-1)/ε=0,44нКл/м²; 3) σ'=±P=±0,44нКл/м².

5.14 Бесконечная пластина толщины а из изотропного диэлектрика поляризована так, что поляризованность вблизи одной границы пластины ₁=P₁ , а вблизи другой границы ₂=P₂ , где - единичный вектор, перпендикулярный пластине и направленный от одной границы ко второй. Найти среднюю по объему пластины объемную плотность связанных зарядов ‹ρ'›.

5.15 Бесконечная пластина из изотропного диэлектрика помещена в перпендикулярное к ней однородное внешнее электрическое поле напряженностью ₒ (рис. 13). Толщина пластины а, проницаемость изменяется линейно от значения ɛ₁ на левой границе до ɛ₂ на правой границе. Вне пластины ɛ=1. Найти: 1) внутри пластины как функцию х; 2) поток Ф_Е через воображаемую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными осями х, основания цилиндра расположены в точках с х₁=-а/2 и х₂=+а/2, площадь каждого основания S; 3) объемную плотность ρʹсвязанных зарядов как функцию х.

Рисунок 13. Рисунок к задаче 5.15

Ответ: 1) =-Eₒk/(ε₁+kх)², где k=(ε₂-ε₁)/а; 2) Ф_Е=SЕₒ[2/(ε₁+ε₂)-1]; 3) ρ'=-εₒEₒk/(ε₁+kх)².

5.16 Найти ρʹ в середине пластины из задачи 5.15, если ɛ₁=2, ɛ₂=4, a=1см, Еₒ=3кВ/м.

Ответ: ρ'=-(4εₒEₒ/а)(ε₂-ε₁)/(ε₁+ε₂)²=-0,59мкКл/м³.

5.17 Стеклянная пластинка с проницаемостью ε₂=6 внесена в однородное электрическое поле с напряженностью E₁=10В/м и расположена так, что угол α₁ между нормалью к пластинке и направлением внешнего поля равен 30º. Найти напряженность E₂ поля в пластинке, угол α₂, который это поле образует с нормалью к пластинке, а также плотность σ' связанных зарядов, возникших на поверхностях пластинки. Считать диэлектрическую проницаемость среды вне пластинки ε₁=1.

5.18 Бесконечная пластина из диэлектрика с проницаемостью ε заряжена однородно с объемной плотностью ρ. Толщина пластины равна 2а. Вне пластины ε=1. Направим ось х перпендикулярно пластине, начало координат поместим в середине пластины. Найти φ и Е_х внутри и вне пластины как функцию х (потенциал в середине пластины положить равным нулю). Построить графики φ и Е_х.

Ответ: при │х│≤а: φ=-ρх²/2εε_o, Е_х=ρх/εε_o, при │х│>а: φ=-(ρα/ε_o)│х│+(ρα²/ε_o)(1-1/2ε), Е_х=(ρα/ε_o)(х/│х│).

5.19 Для платины из задачи 5.17 найти: 1) поляризованность диэлектрика, как функцию х; 2) поверхностную плотность σ' связанных зарядов левой (х=-а) и на правой (х=+а) границах пластины; 3) объемную плотность ρ' связанных зарядов.

Ответ: 1) =(1-1/ε)ρх , 2) на обеих поверхностях σ'=(1-1/ε)ρα, 3) ρ'=-(1-1/ε)ρ.

5.20 Пластина из задачи 5.17 заряжена с плотностью ρ=ρ̥ ехр(-α│х│), где ρ̥ и α-константы. Найти: 1) проекцию напряженности поля на ось х, 2) объемную плотность связанных зарядов, как функцию х.

Ответ: 1) Е_х=(х/│х│)(ρ̥ /αεε̥ )[1-ехр(-α│х│), 2) ρ'=-(1-1/ε)ρ̥ ехр(-α│х│).

5.21 Точечный сторонний заряд q находится в центре шара радиусом R из однородного изотропного диэлектрика проницаемости . Найти напряженность Е поля как функцию расстояния r от центра данного шара.

Ответ: ;

5.22 Однородный диэлектрик имеет вид сферического слоя, внутренний и внешний радиусы которого равны а и b. Изобразить примерные графики напряженности Е и потенциала  электрического поля как функции расстояния r от центра системы, если диэлектрику сообщили положительный сторонний заряд, распределенный равномерно: 1) по внутренней поверхности слоя; 2) по объему слоя.

5.23 Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью >0 по шару радиусом R из однородного диэлектрика с проницаемостью . Найти: 1) модуль вектора как функцию расстояния r от центра шара, изобразить примерные графики функции Е(r) и потенциала (r); 2) поверхностную и объемную плотность связанных зарядов.

Ответ: , ; ,

5.24 Точечный сторонний заряд q находится в центре сферического слоя (внутренний и внешний радиусы слоя равны а и b) неоднородного изотропного диэлектрика, проницаемость которого изменяется только в радиальном направлении по закону =/r, где  - постоянная, r - расстояние от центра системы. Найти объемную плотность  связанных зарядов как функцию r внутри слоя.

Ответ:

5.25 Поляризованность некоторой среды оказывается пропорциональной выражению /r², где - орт, r-модуль радиус-вектора . Чему равна объемная плотность ρ' связанных зарядов?

Ответ: ρ'=0.

5.26 Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коаксиального провода радиусом 1,5мм заряжен с линейной плотностью 0,2нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом 3мм заряжен с линейной плотностью -0,15нКл/м. Пространство между проводниками заполнено резиной (=3). Определите напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях: 1) 1мм; 2) 2мм;3) 5мм.

Ответ: 1) 0; 2) 800В/м; 3) 180В/м.