- •Задания для решения на практическом занятии
- •Задания для самостоятельной работы
- •1. Случайная величина х характеризуется рядом распределения
- •4. Случайная величина х характеризуется рядом распределения
- •Тема 26. Непрерывные случайные величины, их числовые характеристики и законы распределения
- •Задания для решения на практическом занятии
- •Задания для самостоятельной работы
- •Раздел I
- •Тема 1 Задания для решения на практическом занятии
- •Тема 11
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 12 Задания для решения на практическом занятии
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 13 Задания для решения на практическом занятии
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 14 Задания для решения на практическом занятии
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 15 Задания для решения на практическом занятии
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 16 Задания для решения на практическом занятии
- •Задания для самостоятельной работы
Закон распределения дискретной случайной величины , которая может принимать значение (0, 1, 2, …, ), описываемый формулой Бернулли, называют биномиальным.
Для биномиального закона распределения , .
Основные законы распределения дискретных случайных величин, их числовые характеристики и графики представлены в Приложении 7.
Определение 11. Пусть производится независимых испытаний, вероятность наступления случайного события в каждом испытании равна . Закон распределения дискретной случайной величины , которая может принимать любые целые неотрицательные значения (0, 1, 2, …, ), описываемый формулой , где , называют законом Пуассона.
Для закона Пуассона , .
Пример 1. Случайная величина Х имеет ряд распределения
|
2 |
4 |
8 |
10 |
|
0,4 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
П остроить многоугольник распределения, найти функцию распределения вероятностей и построить ее, найти математическое ожидание, дисперсию, СКО и моду случайной величины Х.
Решение. 1) В прямоугольной системе координат отметим точки и соединим их последовательно отрезками. Получим многоугольник распределения (рис. 25.1).
2) Найдем функцию распределения вероятностей.
Е сли , то .
Если , то .
Если , то
.
Если , то
.
Если , то
.
Построим график функции распределения вероятности (см. рис. 25.2).
3) Найдем числовые характеристики случайной величины Х:
а) математическое ожидание:
;
б) дисперсия:
;
в) СКО: ;
г) мода случайной величины Х – это такое ее значение, которому соответствует наибольшая вероятность, наибольшая вероятность соответствует значению ; поэтому .
Теоретический материал: [2, гл. 11], [3, гл. 18], [4, гл. 1], [6, гл. 4–5], [7, гл. 6–9], [12, гл. 23], [13, гл. 3, 4], [14, гл. 12], [33, ч. II, гл. 5, §§ 5–9].
Задания для решения на практическом занятии
1. Случайная величина Х характеризуется рядом распределения
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,08 |
0,02 |
Построить полигон распределения, функцию распределения, определить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и моду).
2. В ящике 6 белых и 4 черных шара. Из него 5 раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в ящик и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.
3. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно 2 вызова.
4. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадений «герба» при двух бросаниях монеты. Построить полигон распределения.
5. В ящике имеется 4 шара с номерами от 1 до 4. Вынули 2 шара. Случайная величина Х – сумма номеров шаров. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х.
6. Среди семян ржи имеется 0,4 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5 000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
7. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.
8. Устройство состоит из 1 000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.
9. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных.
Задания для самостоятельной работы
1. Случайная величина х характеризуется рядом распределения
|
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
|
0,2 |
0,3 |
0,35 |
0,1 |
0,05 |
Построить полигон распределения, функцию распределения, определить ее математическое ожидание, дисперсию и моду.
2. Стрелок производит по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий. Найти математическое ожидание.
3. В ящике 5 белых и 25 черных шаров. Вынули один шар. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров. Построить функцию распределения.
4. Случайная величина х характеризуется рядом распределения
|
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
|
0,24 |
0,36 |
0,20 |
0,15 |
0,03 |
0,02 |
Построить полигон распределения, функцию распределения, определить ее математическое ожидание, дисперсию и моду.
5. Книга в 1 000 страниц имеет 100 опечаток. Найти закон распределения числа опечаток на странице.
6. В партии 10 % нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди 4-х отобранных, построить многоугольник распределения и функцию распределения.
7. Вероятность попадания стрелком в мишень равна 2/3. Стрелок сделал 15 выстрелов. Случайная величина Х – число попаданий в мишень. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
8. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Составить закон распределения числа бракованных книг в тираже.
9. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.