II. Содержание обучения в VII классе

Выбор тем, как правило, совпадает с выбором, осуществляемым на базовом уровне обучения.

1. Как строится геометрия: главная идея

Аксиомы, определения и теоремы: кому и зачем они нужны.

Аксиомы прямой и расстояния. Что можно определить с их помощью?

Аксиомы полуплоскости и луча. Их возможности в построении геометрии. Проблема Жордана. Аксиомы измерения и откладывания углов. Почему угол не может быть больше 180?

Смежные и вертикальные углы: «не совсем очевидное и не совсем вероятное».

Центральный угол окружности. Почему центральный угол окружности может быть больше 180?

Метод равных треугольников – исторически первый геометрический метод.

Основная цель – заложить первоначальные представления о методе построения школьной геометрии, о логическом строении геометрии, выработать первоначальные умения применять метод равных треугольников при решении задач, систематизировать знания учащихся об основных геометрических фигурах.

Разъясняется смысл и назначение аксиом принадлежности, расстояния и порядка, измерения и откладывания углов, равенства треугольников, параллельности прямых.

Особое внимание уделяется методу равных треугольников – задачам на доказательство равенства треугольников и их элементов, на вычисление длины отрезков и градусной меры углов.

2. Как метод равных треугольников применяется при изложении вопросов перпендикулярности и параллельности прямых Метод равных треугольников и перпендикулярные прямые.

Как признаки помогают отличить одно понятие от другого.

Признаки параллельных прямых.

Аксиома параллельных прямых и трудный путь её становления.

Четырёхугольник Саккери.

Свойства параллельных прямых: нужна аксиома параллельности! Разрешимость проблемы Саккери.

Геометрические взаимосвязи: связь между перпендикулярностью

и параллельностью прямых.

Теорема Фалеса – пик применений метода равных треугольников.

Основная цель – ознакомить учащихся с применением метода равных треугольников в новых условиях, выработать навыки применения метода равных треугольников к решению задач различной сложности, в том числе – сформировать первоначальные умения в решении задач повышенной сложности, систематизировать свойства перпендикулярных и параллельных прямых, признаки параллельности прямых, сведения о теореме Фалеса, о теоремах, устанавливающих связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых.

2. Треугольник – основная геометрическая фигура

Необходимость доказательства теорем. Знаменитая теорема о сумме углов треугольника. Внешний угол треугольника.

Неутомимые труженики в геометрии: равнобедренный и

равносторонний треугольники.

Что такое средняя линия треугольника.

Дальнейшее развитие метода равных треугольников –

прямоугольный треугольник.

Две замечательные теоремы: о катете, лежащем против угла в 30°, и медиане, проведённой к гипотенузе.

Первые геометрические неравенства: неравенства треугольника.

Заключительные планиметрические аксиомы – аксиомы площади . Второй (вычислительный) геометрический метод: теорема Пифагора и обратная теорема.

Решение задач с помощью теоремы Пифагора.

Основная цель – показать дальнейшее развитие метода равных треугольников и познакомиться с двумя новыми геометрическими методами: методом, основанным на применении теоремы Пифагора, и методом площадей, систематизировать и дополнить знания учащихся о свойствах треугольников, разъяснить назначение аксиом измерения площадей, выработать навыки решения основных задач, связанных с различными видами треугольников, научить пользоваться теоремой Пифагора и обратной теоремой.

Доказательства теорем, которые рассматриваются в основном курсе, как правило, опускаются. Введением аксиом площади заканчивается ознакомление учащихся с аксиомами планиметрии. Осуществляется первоначальное знакомство с методом площадей.