- •Означення та канонічне рівняння еліпса
- •Дослідження властивостей еліпса за його канонічним рівнинним
- •Директриси еліпса. Теорема про фокальні властивості еліпса
- •Параметричні рівняння еліпса
- •Побудова точок еліпса за допомогою циркуля та лінійки
- •Дотична до еліпса.
- •Оптичні властивості еліпса Теорема про оптичну властивість еліпса.
- •Означення та канонічне рівняння гіперболи
- •Дослідження властивостей гіперболи за її канонічним рівнянням
- •Взаємне розміщення гіперболи і прямої, яка проходить через її центр
- •Асимптоти гіперболи
- •Ексцентриситет гіперболи.
- •Вираз фокальних радіусів точки гіперболи
- •Директриса гіперболи. Теорема про фокальні властивості гіперболи
- •Побудова точок гіперболи за допомогою циркуля та лінійки
- •Дотична до гіперболи
- •Оптичні властивості гіперболи. Теорема про оптичну властивість гіперболи.
- •Означення та канонічне рівняння параболи
- •Властивості параболи
- •Дотична до параболи
- •Оптична властивість параболи
- •Механічний спосіб побудови параболи та побудова точок параболи за допомогою циркуля і лінійки
Означення та канонічне рівняння параболи
Означення 1. Параболою називається геометричне місце точок площини рівновіддалених від фіксованої точки (фокуса) і заданої прямої (директриси).
Оскільки параболу визначають задані фокус і директриса то відстань між ними вважається заданою. Її позначатимемо і називатимемо фокальним параметром параболи.
Вивчимо параболу методом координат. З цією метою виберемо прямокутну Декартові систему координат так, що б фокус містився на осі , вісь була перпендикулярна директрисі, а початок координат був рівновіддаленим від фокуса і директриси (див. мал. 11.1.1). Тоді фокус має координати , директриса задається рівнянням Якщо - довільна точка параболи, то що в координатній формі записується:
Отримане рівняння називається канонічним рівнянням параболи. Воно містить лише один параметр , який виражає відстань від фокуса до директриси. Отже, сім’я всіх парабол є одно параметричною.
Фокальним радіусом точки М параболи з фокусом називається відрізок (а також його довжина).
Фокальною хордою параболи називають хорду, яка паралельна директрисі і проходить через фокус. Визначимо координати кінців фокальної хорди параболи Оскільки перша їх координата то для другої координати Тому Отже, параметр - це половина довжини фокальної хорди.
Парабола як геометричне місце точок (фігура, лінія) була відома вже античним математикам і розглядалася як лінія перетину прямого колового конуса площиною, яка не проходить через вершину конуса і паралельна деякій дотичній площині цього конуса.
У шкільному курсі математики парабола фігурує в якості графіка квадратичної функції: Вона має фокальний параметр , вісь симетрії вершину повернута вітками в гору при і вітками вниз при .
Задача 1. На параболі знайти точки, фокальний радіус яких дорівнює 6.
Розв’язання. Оскільки шукана точка належить параболі, то її координати задовольняють рівняння .
Фокальний параметр даної параболи . Тому фокус параболи має координати . Тоді фокальній радіус:
або .
Відповідь:
Задача 2. В прямокутній декартовій системі координат фокус параболи має координати (-2;3), а директриса записується рівнянням Скласти рівняння параболи.
Розв’язання. Оскільки фокус не лежить на осі , то рівняння не є канонічним. Нехай - довільна точка параболи . Тоді, згідно з означенням параболи , що в координатній формі переписується:
Після піднесення до квадрату і множення на 25, рівняння матиме вигляд:
Відповідь:
Задача 3. Який фокальний параметр має парабола, фокус якої в прямокутній системі координат має координати (-5;4), а директриса записується рівнянням
Розв’язання.
Задача 4. Знайти фокус і директрису параболи
Розв’язання. Переписавши рівняння параболи у вигляді
Бачимо, що фокальний параметр параболи Оскільки парабола симетрична відносно осі і міститься у площині то
і