- •Лекция 10 . Плоскость в пространстве
- •10.1. Плоскость в пространстве
- •10.2. Общее уравнение плоскости и его исследование
- •10.3. Уравнение плоскости в отрезках
- •10.4. Уравнение плоскости, проходящее через три заданные точки
- •10.5. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •11.3. Направляющий вектор прямой
- •11.4. Приведение общего уравнения прямой в пространстве к каноническому виду
- •11.5. Параметрическое уравнение прямой
- •12. Поверхности второго порядка
- •12.1 Эллипсоид
- •12.2 Гиперболоид
- •Однополостный гиперболоид
- •12.3 Параболоид Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •12.4 Конус
- •Обобщённая таблица по теме: «Плоскость. Прямая в пространстве»
Лекция 10 . Плоскость в пространстве
10.1. Плоскость в пространстве
Определение 10.10. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:
(10.1)
Если левая часть (10.1) есть многочлен, то плоскость называется алгебраической, степень этого многочлена должна быть единицей, т.к. плоскость – это поверхность первого порядка.
Пусть в декартовой системе координат дана некоторая плоскость , точка .
Определение 10.2. Любой вектор , перпендикулярный плоскости , будем называть нормальным вектором этой плоскости - .
П усть - произвольная точка пространства. Рассмотрим вектор . Если точка , то . Если точка , то эти векторы не перпендикулярны. Таким образом, условием принадлежности точки М к плоскости является условие, , т.е. . (10.2)
Это и есть уравнение плоскости. Распишем его в координатах. Т.к.
(10.3)
Это уравнение плоскости, проходящее через точку и перпендикулярно вектору где , - координаты точки известной точки, - координаты точки М – текущей точки плоскости.
Пример 10.1. . Написать уравнение плоскости ;
- уравнение плоскости.
Раскроем скобки в уравнении (10.3), получим:
- общее уравнение плоскости, (10.4),
где .
10.2. Общее уравнение плоскости и его исследование
Рассмотрим уравнение (10.4) ,
, - текущие координаты.
не перпендикулярен ни одной из осей координат, т.к не удовлетворяют уравнению (10.4), то плоскость не проходит через начало координат.
2) вектор не перпендикулярен ни одной из осей координат и значит, плоскость не параллельна ни одной из осей координат, т.к. , то плоскость проходит через начало координат.
3) ,
а плоскость . Если: , то содержит ось .
4) , то плоскость параллельна Оу, при плоскость содержит ось Оу.
5) , то плоскость параллельна оси , , то плоскость содержит ось .
()
А=С=0, Ву+D=0, ()
В=С=0, Ах+D=0, ()
А=В=С=0 D=0; при , уравнение теряет смысл; при , уравнение плоскость не определяет.
10.3. Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость не параллельна ни одной из осей и не проходит через точку . Тогда она задается общим уравнением (10.4): , где . Пусть плоскость пересекает оси координат в точках .
Т .к. , то её координаты удовлетворяют уравнению плоскости:
Для Р: ,
Для Q: ,
Для R: .
Подставляя в уравнение плоскости и разделив на «–D» получим: - уравнение плоскости в отрезках (10.5)
10.4. Уравнение плоскости, проходящее через три заданные точки
Пусть плоскость проходит через три заданные точки: . Пусть - произвольная точка пространства R3.
Р ассмотрим три вектора:
;
;
;
точка , вектора лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. По условию компланарности трёх векторов – их смешанное произведение равно нулю: .
Или через координаты: (10.6)
Это уравнение плоскости, проходящее через три точки.
Пример 10.2. Написать уравнение плоскости, проходящее через точки .
;
- уравнение плоскости.