- •1 .4.4. Мгновенный центр скоростей
- •1.4.5. Определение скоростей с помощью мгновенного центра скоростей
- •1.4.56. В механизме (рис. 112)
- •1.4.6. Ускорения точек плоской фигуры
- •1.4.7. Мгновенный центр ускорений
- •1.5. Сложное движение точки
- •1.5.1. Уравнения движения Задачи
- •1.5.2. Скорость точки в сложном движении
- •1.5.3. Ускорение точки в сложном движении
1.4.56. В механизме (рис. 112)
шкив 1 радиуса r = 0,1 м шарнирно
Р ис. 111 соединен со стержнем 2 длиной 0,25 м с помощью штанги АВ. Для данного положения механизма определить угловую скорость штанги, если частота вращения шкива 1 равна 120 об/мин, а
расстояние 0102 = 0,45м. (2,28).
Рис. 112
Рис. 113 Рис. 114
1.4.57. На ось А независимо друг от друга насажены шестерня 1 и кривошип АВ длиной 30 см (рис. 113). На оси В кривошипа установлена шестерня 2 радиуса r1 = 15 см, к которой прикреплен шатун 3. Определить угловую скорость шестерни 1, когда угол φ = 90° и скорость vС точки С ползуна равна 0,3 м/с. (2)
1.4.58. Ползуны 1 и 2, соединенные шарнирами А и В с шатуном 3 (114), движутся по неподвижным направляющим. Определить угловую скорость шатуна в момент, когда скорость точки А равна 0,2 м/с, если длины АС = ДС= 0,2 м. (1,0)
1.4.6. Ускорения точек плоской фигуры
Ускорения двух любых точек плоской фигуры А и В связаны между собой соотношением
, (48)
где - нормальное (центростремительное) ускорение
точки В - направлено от В к А по линии ВА и
; (49)
ω - мгновенная угловая скорость плоской фигуры;
- касательное (вращательное) ускорение точки В по отношению к точке А, оно перпендикулярно ВА и направлено в сторону вращения фигуры, если это вращение ускоренное, и в обратную сторону, если оно замедленное.
Модуль этого ускорения определяют по формуле
,
где ε - мгновенное угловое ускорение плоской фигуры. Если известен мгновенный центр ускорений, т. е. точка Q, ускорение которой в данный момент равно нуль-вектору, то ускорение любой точки А находят по формуле
, (50)
причем
. (51)
Если в некоторый момент известно ускорение точки А, а также величины ω и β, то для нахождения Q следует повернуть вектор в направлении вращения фигуры, если оно ускоренное (и в обратном - если замедленное), на острый угол α, определяемый формулой
. (52)
На полученной полупрямой следует отложить отрезок
. (53)
Конец Q этого отрезка и будет мгновенным центром ускорений в данный момент.
Пример 2. Центр колеса, которое катится по наклонной плоскости без скольжения (рис. 115), движется по закону s = 4t2 + 16 (t - в секундах, s - в сантиметрах). Определить ускорение точки касания колеса с плоскостью в момент t = 2с, если радиус колеса R = 16 см.
Решение. Так как центр колеса О движется прямоли-нейно, то его модули скорости и ускорения находят по формулам
.
При t = 2с v0 = 16 см/с; a0 = 8 см/с2.
Рис. 115
Ввиду отсутствия скольжения мгновенный центр скоростей находится в точке касания колеса с плоскостью. Следовательно, мгновенную угловую скорость ω получим по формуле
ω = v0 /OP = t /2,
т. е. она представляет собой известную функцию времени. Дифференцируя по времени ω, найдем
.
И так, в рассматриваемый момент ω = 1 рад/с, ε = ½ рад/с2.
Определим ускорение точки Р. По формуле (48);
,
где
= ω2OP = 16 см/с2,
причем направлено от Р к О, a = ε · OP = 8 см/с2.
Так как колесо вращается ускоренно (ε и ω одного знака), то вращательное ускорение направлено перпендикулярно РО в сторону вращения фигуры вокруг полюса О.
В данном случае =0, следовательно, , ар = 16 см/с2. Вектор направлен к центру колеса О.
Задачи
1.4.59.* - 1.4.66.* С шатуном АВ кривошипно-ползунного механизма жестко связан треугольник ABD (рис. 116).. Определить модули ускорений точек В и D, если кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω. Данные взять из таблицы; принять ОА=АВ = а.
Рис. 116
№ задачи
|
ABD, град
|
BAD, град
|
φ, град
|
1.4.59
|
45
|
45
|
0
|
1.4.60
|
30
|
90
|
30
|
1.4.61
|
45
|
45
|
45
|
1.4.62
|
60
|
90
|
60
|
1.4.63
|
30
|
90
|
0
|
1.4.64
|
60
|
60
|
30
|
1.4.65
|
90
|
45 |
45 |
1.4.66
|
60 |
60
|
60
|
Ответы:
№ задачи |
|
|
|
|
1.4.59 |
|
|
|
|
1.4.60 |
|
|
|
|
1.4.61 |
|
|
|
|
1.4.62 |
|
|
|
|
1.4.63 |
|
|
|
|
1.4.64 |
|
|
|
|
1.4.65 |
|
|
|
|
1.4.66 |
|
|
|
|
1.4.67.* Диск движется в своей плоскости так, что его центр О описывает окружность радиусом R с постоянной по модулю скоростью и вращается вокруг своего центра с постоянной угловой скоростью ω0. Найти положение мгновенного центра ускорений диска.
Ответ: Мгновенный центр ускорений Q находится на прямой, соединяющей центры окружности и диска, причем
1.4.68.* В условиях предыдущей задачи центр диска имеет в данный момент то же значение скорости и обладает касательным ускорением . Какое угловое ускорение ε надо сообщить диску (при прежней угловой скорости ω0), чтобы мгновенный центр ускорений Q находился на прямой, соединяющей центры окружности и диска? На каком расстоянии от центра диска О будет при этом находиться мгновенный центр ускорений?
Ответ: . При ускоренном движении центра диск должен вращаться ускоренно в ту же сторону, в которую движется центр, или замедленно в обратную сторону. При замедленном движении центра - все наоборот. Расстояние (сравните с ответом предыдущей задачи).
1.4.69.* Колесо радиусом R катится без скольжения по прямолинейному рельсу, имея в данный момент скорость центра (и произвольную величину ускорения центра). Определить модуль нормального ускорения точки на ободе колеса в зависимости от центрального угла ψ между радиусами, проведенными в данную точку и точку касания.
Ответ: .
1.4.70.* Колесо радиусом R катится без скольжения по неподвижному рельсу. Зная, что ускорение точки касания в данный момент равно , определить в этот момент модуль скорости диаметрально противоположной точки.
Ответ: v = 2 .
1.4.71.* Суммирующий механизм (рис. 117) состоит из зубчатого колеса радиусом r и двух параллельных зубчатых реек, движущихся в одном направлении с п остоянными скоростями и . Определить модули ускорений точек A1 и A2 зубчатого колеса, находящихся в местах зацепления с рейкой.
Ответ: .
Рис. 117
1.4.72.* Решить задачу 1.4.71, считая, что рейки движутся в противоположных направлениях.
Ответ: .
1.4.73.* Решить задачу 1.4.71, считая, что рейки движутся в одну сторону, имея в данный момент скорости и и ускорения и соответственно.
Ответ: .
1.4.74.* Доказать, что центры кривизны траекторий различных точек обода колеса, катящегося без скольжения по прямолинейному рельсу, расположены симметрично этим точкам относительно точки касания колеса с рельсом.
1.4.75. Центр катящегося по плоскости колеса радиуса 0,5 м движется согласно уравнению s = 2t. Определить ускорение точки соприкосновения колеса с плоскостью. (8)
1.4.76. Стержень АВ длиной 2 м находится в плоскопараллельном движении (рис. 118). Найти ускорение точки В, если ускорение точки А равно 1 м/с2, угловая скорость стержня ω =1 рад/с, угловое ускорение ε = 0. (3)
1.4.77. Стержень АВ движется в плоскости (рис. 119). Ускорение точки А в данный момент времени аА = 1 м/с2, угловая скорость ω = 2 рад/с, угловое ускорение ε = 2 рад/с2. Определить ускорение точки В стержня, если длина АВ = 1 м. (5)
1 .4.78. Тело находится в плоскопараллельном движении (рис. 120). Найти ускорение точки В, если ускорение точки А равно 3 м/с2, угловая скорость ω = 1 рад/с, угловое ускорение ε = О, расстояние АВ = 0,5 м. (2,5)
Рис. 118 Рис. 119 Рис. 120 Рис. 121
1.4.79. Колесо катится без скольжения (рис. 121). Определить ускорение точки В колеса в тот момент, когда скорость точки А равна нулю, а ускорение аА =2 м/с2. (2,83)
1 .4.80. Колесо радиуса r = 0,1 м катится без скольжения (рис. 122). Определить ускорение точки В, если центр колеса А перемещается с постоянной скоростью vA =2 м/с. (40)
Рис. 122 Рис. 123 Рис. 124
1.4.81. Скорость центра С колеса (рис. 123), катящего- ся бед скольжения, постоянна. Какой угол в градусах с осью Ох составляет вектор ускорения точки являющейся мгновенным центром скоростей колеса? (90)
1.4.82. Барабан 1 (рис. 124) вращается по закону φ = 0,1 t2 . Определить ускорение груза 2, если радиус r = 0,2 м. (0,02)
Рис. 125 Рис. 126 Рис. 127
1.4.83. Кривошип ОА (рис. 125) вращается согласно закону ω = 0,5t. Определить ускорение точки М подвижного колеса, если радиус R = 2 r = 0,2 м. (0,05)
1.4.84. Кривошип планетарного механизма (рис.126) вращается с постоянной угловой скоростью ω= 1 рад/с. Определить ускорение точки, являющейся мгновенным центром скоростей подвижного колеса, если радиус R = 0,1 м. (0,2)
1.4.85. Стержень длиной АВ = 40 см движется в плоскости чертежа (рис. 127). В некоторый момент времени точки А и В стержня имеют ускорения аА = 2 м/с2 и аВ = 6 м/с2. Определить угловое ускорение стержня. (10)
1.4.86. Тело находится в плоскопараллельном движении (рис. 128). Найти его угловую скорость, если ускорение точки А равно 1 м/с2, ускорение точки В равно 6 м/с2, расстояние АВ = 1 м, угол α = 60°. (2)
1.4.87. Квадратная пластина ABDE движется в плоскости Оху (рис. 129). Определить угловое ускорение пластины в указанном положении, если длина АВ = 0,5 м, а проекции ускорений точек А и В на ось Оу с оответственно равны аАу = 3 м/с2, аВу=6 м/с2. (4)
Рис. 128 Рис. 129 Рис. 130
1.4.88. Стержень АВ длиной 50 см движется в плоскости чертежа (рис. 130). В некоторый момент времени точки А и В стержня имеют ускорения аА= 2 м/с2, аВ = 3 м/с2. Определить угловое ускорение стержня. (10)
1.4.89. Кривошип ОА (рис. 131) равномерно вращается с угловой скоростью
ω = 10 рад/с. Определить угловое ускорение шатуна АВ, если в данный момент времени механизм занимает положение, показанное на рисунке. (0)
Рис. 131 Рис. 132
1.4.90. Определить ускорение ползуна В кривошипно-ползунного механизма (рис.132) в данном положении, если угловая скорость кривошипа ω = 1 рад/с = const; длины звеньев ОА = 0,3 м; АВ = 0,5 м. (0,225)
1.4.91. В указанном на рисунке 133 положении шарнирного четырехзвенника скорость и ускорение точки А кривошипа ОА равны: vА = 2 м/с, аА = 20 м/с2. Определить ускорение точки В шатуна АВ, если длины А В = ВС = 0,8 м. (25)
Рис .133 Рис. 134
1 .4.92. В указанном на рисунке 134 положении шарнирного четырехзвенника скорость и ускорение точки А кривошипа ОА равны: vA = 2 м/с, аB = 40 м/с2. Определить угловое ускорение звена ВС, если длины звеньев АВ = ВС = 0 5 м. (0)
Рис. 135 Рис. 136
1.4.93. Определить угловое ускорение шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма в данном положении (рис. 135), если кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω = 10 рад/с, а длины звеньев ОА = 0,3 м, АВ = 0,45 м. (94,3)
1.4.94. Кривошип ОА шарнирного параллелограмма ОАВО1 (рис. 136) равномерно вращается с угловой скоростью ω= 4 рад/с. Определить угловое ускорение ш атуна, CD в данном положении механизма, если длины звеньев ОА = 20 см, СО =30 см. (12,3)
1.4.95. Для данного положения механизма (рис.137) определить ускорение ползуна В, если колесо радиуса R = 50 см катится с постоянной скоростью его центра v0 = 5 м/с;
Рис. 137 угол α = 30°. (28,9)