1.5.3. Ускорение точки в сложном движении

Ускорение точки в сложном движении определяют по теореме о сложении ускорений: Ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме ее относительного, переносного и Кориолисова ускорений:

, (55)

(56)

Здесь - мгновенная угловая скорость подвижной си­стемы отсчета.

Пример 3. Окружность радиусом R =1 м вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси О против хода часовой стрелки по закону φ = πt (t - в секундах, φ - в радианах), где (φ - угол, составляемый диа­метром окружности ОА с горизонтальной прямой (рис. 155, а). По окружности из точки О движется точка М по ходу часовой стрелки согласно уравнению s = πt (t - в секундах, s - в метрах). Определить абсолютное уско­рение точки в моменты времени t₁= 1/2 с и t₂ = 1 с.

Решение. Точка М совершает сложное движение. Свяжем подвижную систему координат с окружностью. Тогда движение точки М по окружности будет относительным. Переносным движением точки является движение окружности.

Найдем положения точки М в указанные условиями задачи мо­менты времени: при

t₁ = 1/2 с s₁= π/2 м; при t₂ = 1 с s₂ = π м.

Следовательно, к моменту t₁= 1/2 с точка М пройдет четверть окружности, а к моменту t₂ = 1 с - половину окруж-ности от началь­ного положения. Для этих моментов времени угол поворота окруж­ности равен соответственно π/2 и π (рис. 156,б, в). Согласно (55),

.

Рис. 155

Определим сначала относительное ускорение , где касательное ускорение

,

а нормальное

м/с²,

так как

м/с.

Таким образом, относительное ускорение в любой момент вре­мени направлено к центру окружности и по модулю равно

а_r = π² м/с².

Найдем переносное ускорение точки М. Так как переносное дви­жение вращательное, то, следовательно,

.

здесь

;

где ОМ - расстояние от точки М до оси вращения окружности; ω_е и ε_е - угловая скорость и угловое ускорение вращающейся окружности.

м; = 2м.

Угловая скорость ω_е и угловое ускорение ε_е соответственно равны:

рад/с = const; ,

таким образом,

.

В момент t₁= 1 /2 с a_e1 = π²√2 м/с², в момент t₂ = 1 с а_e2 = 2π² м/с².

Ускорения и направлены к оси О.

Найдем теперь ускорение Кориолиса по (56). Вектор угловой скорости перпендикулярен плоскости рисунка и направлен к читателю. Относительная скорость направлена по касательной к окруж­ности в сторону движения часовой стрелки. Следовательно, угол между векторами и в любой момент движения равен π/2. Поэтому в обоих случаях модуль ускорения Кориолиса

м /с².

Направления вектора в моменты t₁ и t₂ показаны на рисунках.

Для определения применим метод проекций. Проектируя правую и левую части векторного равенства на выбранные оси коор­динат, получим для t=t₁:

; .

Отсюда видно, что

м/с²

и вектор направлен вниз.

При t = t₂ все векторы ускорений направлены по одной прямой, следовательно,

м/с².

Вектор направлен вправо.

Задачи

1.5.15.* В кулачковом механизме бара­банного типа (рис. 156)толкатель с роликом движется поступа­тельно параллельно оси вра­щения барабана и благодаря винтовому пазу с шагом h за­ставляет вращаться барабан. Определить модули ускоре­ний точек на поверхности барабана, если скорость толкателя v = const и радиус барабана R. Размерами ролика пренебречь.

Ответ: 1.5.16*. Деталь кулисного механизма (рис. 157) состоит из кулисы, вращающейся вокруг оси О, и пол­зуна А, который может двигаться в направляющих кулисы. Кулиса вращается с постоянной угловой скоростью ω = 2 рад/с. Движение ползуна по кулисе соответствует закону s =OA = 2+ Зt² (t - в секундах; s - в сантиметрах). Опре­делить модуль абсолютного ускорения ползуна при t = 1 с.

Ответ: а = 27,78 см/с².

Рис. 156 Рис. 157

1.5.17*. Судно, двигаясь с постоянной скоростью, испытывает бортовую качку, имея в данный момент угло­вую скорость ω_е= 0,5 рад/с. Определить в этот момент ускорение Кориолиса наивысшей точки на окружности диска турбины радиусом 0,8 м, если он делает 3000 об/мин вокруг горизонтальной оси, лежащей в диаметральной (продольной) плоскости судна.

Ответ: направлено по радиусу диска турбины к центру, если вращение турбины и качка судна проис­ходят в одну сторону, и направлено от центра при про­тивоположных вращениях: а_с =251 м/с².

1.5.18*. Судно испытывает килевую качку со­гласно уравнению

(φ - в радианах, t - в секундах). Определить наибольшее значение ускорения Кориолиса точек ротора, совершающего 6000 об/мин, если его ось вращения горизонтальна и лежит в диаметральной пло­скости судна. Радиус ротора 40 см.

Ответ: м/с².

1.5.19*. Крановая тележка А (рис. 158) движется по стреле крана равноускоренно из состояния покоя и, пройдя расстояние О А = 2 м, имеет скорость 2 м/с отно­сительно стрелы. Определить в этот момент модуль абсо­лютного ускорения тележки, если кран вращается равно­мерно, делая п = 30/π об/мин.

Ответ: а_а = 4,12 м/с².

Рис.158 Рис.159

1.5.20.* Решить задачу 1.5.18 при условии, что кран вращается ускоренно с угловым ускорением ε = 4 рад/с в данный момент.

Ответ: = =12,17 м/с².

1.5.21.* В поршневом двигателе с кача­ющимся цилиндром (рис. 159) кривошип ОА делает 300 об/мин. Связав подвижную систему координатных осей с цилиндром, определить модуль ускорения Кориолиса поршня в момент, когда кривошип и цилиндр образуют с горизонталью углы 30° и 15° соответственно. Длина кривошипа ОА =10 см.

Ответ: м/с²_.

1.5.22. По стержню АВ (рис. 160) шарнирного параллелограмма ОАВО₁ движется точка М с ускорением а = 0,4 м/с². Определить модуль абсолютного ускорения точки М в момент времени, когда угол φ = 0,5 π, угловая скорость стержня ОА длиной 0,1 м равна ω = 4 рад/с а угловое ускорение ε = 0,4 рад/с². (1.64)

1.5.23. Звено О₁А (рис. 161) вращается согласно уравнению φ = 2 t. По ободу диска радиуса r = 0,5 м дви­жется точка М по закону s = 2rt. Определить модуль абсолютного ускорения точки М в мо­мент времени t = 0,25 π. (4)

Рис.160 Рис. 161 Рис. 162

1.5.24. По стержню АВ (рис.162) шарнирного параллело­грамма OABO₁ движется точка М с ускорени­ем а = cos t. Стержень ОА длиной 2 м вращает­ся согласно уравнению φ = t. Определить мо­дуль абсолютного ускорения точки М в мо­мент времени t = π. (1)

1.5.25. Ползун 1 движется по горизонтальным направляющим (рис. 163) с постоянным ускорением а₁= 4 м/с². Точка 2 перемещается по отношению к ползуну с ускорением а₂ = 3 м/с². Опреде­лить абсолютное ускорение точки. (6,08)

1.5.26. По горизонтальной плоскости (рис. 164) движется кулачок 1 с ускорением а₁= 0,6 м/с². Опре­делить ускорение толкателя 2, если угол α = 30°. (0,346)

Рис. 163 Рис. 164

1.5.27. Точка М движется от начала координат со скоростью v = 2 м/с по стержню, образующему угол 30° с вертикальной осью вращения Oz. Угловая скорость ω = 4 рад/с. Определить проекцию на ось Ох кориолисова ускорения точки М, когда стержень находится в плоскости Oyz. (-8)

1 .5.28. По стороне треугольника (рис.165), вращающегося вокруг стороны АВ с угловой скоростью ω = 4 рад/с, движется точка М с относи-

Рис. 165 тельной скоростью v_r = 2 м/с. Определить модуль ускорения Кориолиса точки М, если угол α = 30°. (8)

1.5.29. По стороне треугольника (рис.166), вращающегося вокруг стороны АВ с угловой скоростью ω = 8 рад/с, движется точка М с относительной скоростью v_r = 4 м/с. Определить модуль ускорения Кориолиса точки М. (64)

1 .5.30. По диаметру диска (рис. 167), вращающегося вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω = 2t, движется точка М с относительной ско­ростью v_r= 4t. Определить модуль ускорения Кориолиса точки М в момент времени t = 2 с. (64)

Рис. 166 Рис. 167

1 .5.31. По ободу полукруга (рис. 168), вращающегося вокруг диаметра с угловой скоростью ω = 4 рад/с, движется точка М с относительной скоростью . Определить модуль ускорения Кориолиса точки М в

Рис. 168 указанном положении. (0)

1.5.32. Точка М движется с постоянной скоростью v = 1 м/с от начала координат по стержню, вращаю-щемуся в плоскости Оху с постоянной угловой скоростью

ω = 2 рад/с. Определить модуль ускорения точки М, когда расстояние ОМ = 0,5 м. (4,47)

1.5.33. Кольцо радиуса r = 0,5 м вращается с по­стоянной угловой скоростью ω = 4 рад/с в плоскости чертежа (рис.169). По кольцу перемещается точка М с постоянной скоростью v = 2 м/с. Определить модуль абсолютного ускорения точки М в указанном положении. (40)

1.5.34. Точка М движется с относительной ско­ростью v_r = 0,5 t по хорде диска (рис. 170), вращающе­гося вокруг оси О, перпендикулярной плос­кости диска, с угловой

с коростью ω = 0,5 рад/с. Определить абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 2 с, если рас­стояние ОМ = 0,02 м. (1,11)

Рис. 169 Рис. 170 Рис. 171

1 .5.35. Точка М (рис. 171) движется с постоянной скоростью v = 2 м/с по кольцу радиуса r = 0,5 м, кото­рый вращается с постоянной угловой ско­ростью ω = 4 рад/с. Определить модуль абсо­лютного ускорения точки М в указанном поло­жении. (16)

1.5.36. Катушка вращается вокруг оси ОО₁ с угловой скоростью ω = 2 рад/с. Вдоль катушки (рис. 172) перемещается точка М по закону М₀М = 0,04 t². Определить абсолютное ускорение точки

Рис. 172 М, если радиус r = 0,02 м. (0,113)

1.5.37. По стороне треугольника (рис. 173), вращаю-щегося вокруг стороны АВ с угловой скоростью ω, движется точка М с относительной скоростью v_r = 3 t². Определить модуль относительного ускорения точки М в момент времени t = 2 с. (12)

Рис. 173 Рис. 174

1.5.38. По стороне треугольника (рис. 174), вращающегося вокруг стороны АВ с угловой скоростью ω, движется точка М с относительной скоростью v_r = 2 sin 4 t. Определить относительное уско­рение точки М в момент времени t = π/8 с. (0)

1.5.39. По диаметру диска (рис.175), вращающегося вокруг оси Oz, движется точка М с относительной ско­ростью v_r = 4t³. Определить модуль относи­тельного ускорения точки М в момент време­ни t = 1 с. (12)

1 .5.40. Стержень 1 кулисного механизма (рис. 177)движет­ся с постоянным ускорением a₁ = 2 м/с². Определить угловое ускорение кулисы 2 в дан­ном положении механизма, если угол φ= 90° и расстояние l = 0,5 м. (4)

Рис. 175 Рис.176

1 .5.41. По стороне треугольника, вращающегося вокруг стороны АВ с постоян-ной угловой ско­ростью ω= 4 рад/с (рис. 178), движется точка М с отно­сительной скоростью v_r. В момент

Рис. 177 времени, когда расстояние

MB = 0,5 м, определить мо­дуль переносного ускорения точки М, если угол α = 30°. (4)

99