1.4.7. Мгновенный центр ускорений

1.4.95. Тело движется в плоскости согласно уравнениям х_В = 2 cos 0,5 πt, у_В = 0, z_B = 0,5 πt. Определить в момент времени t₁ = 0,5 с расстояние от точки В до мгновенного центра ускорений. (1,41)

1.4.96. Колесо (рис.138) диаметра d = 90 см катится без скольжения так, что его точка С перемещается по закону х_С = 20t. Определить расстояние между мгновенным центром скоростей и мгновенным центром ускорения. (0,45)

Рис. 138 Рис. 139

1.4.97. Центр цилиндра, на который намотана нить (рис.139), движется по вертикали с ускорением а_С = 6,6 м/с²; скорость v_C в данный момент времени равна 0,66 м/с. Определить расстоя­ние от центра С до мгновенного центра ускоре­ний, если радиус R = 0,066 м. (0,047)

1 .4.98. Треугольник АВС (рис.140) совершает плоскопарал­лельное движение. Определить расстояние от вершины А до мгновенного центра ускорений, если ускорение а_A = 10 м/с², угловая ско­рость в данный момент ω = 2 рад/с и угловое ускорение ε = 3 рад/с². (2)

Рис. 140 Рис. 141

1.4.99. В данном положении кривошипно-ползун­ного механизма (рис.141) точка Q является мгновенным центром ускорений шатуна АВ. Определить ускорение средней точки С шатуна, если его длина АВ = 0,6 м, а ускорение а_А = 10 м/с². (5,77)

1.5. Сложное движение точки

1.5.1. Уравнения движения Задачи

1.5.1. Тело 1 движется (рис. 142) по наклонной плоскости равномерно со скоростью v = 2 м/с. Точка М относительно тела 1 движется согласно уравнению

О₁М = 0,5t. Определить координату х_М точки М в момент времени t = 1 с, если при t = 0 х_М = 0, α = β = 30°. (1,98)

1.5.2. В трубке (рис. 143), вращающейся по закону φ = 4t вокруг оси Oz, движется шарик по за­кону ОА = 5 t^г. Определить координату х_А шарика в момент времени t = 0,25 с. (0,169)

Рис. 142 Рис. 143

1.5.3. По стержню (рис. 144), вращающемуся по закону φ = 2t вокруг оси Oz, движется ползун А по закону ОА = 3t³. Пренебрегая размерами пол­зуна, определить его координату у_A в момент времени t = 0,5 с. (0,316)

1.5.4. Точка М (рис. 145) дви-

Рис. 144 жется по диску радиуса R = 0,5 м согласно уравнению AM = 2t². Диск вращается с постоянной угловой скоростью ω = 2 рад/с. Определить дуговую коор­динату s точки М в момент времени t= 0,5 с, если в начальный момент точка находилась на оси Ох. (1)

Рис. 145 Рис. 146

1.5.5. Точка М (рис. 146) движется по диску радиуса R = 0,5 м согласно уравнению AM = 2t². Диск вращается с постоянной угловой скоростью ω = 3 рад/с. Определить дуговую координату s точки М в момент времени t = 1 с, если в начальный момент точка находилась на оси Ох. (0,5)

1.5.2. Скорость точки в сложном движении

Скорость точки в сложном движении определяют по теореме о сложении скоростей: Скорость точки в сложном движении равна геометрической сумме ее скоростей в относительном и переносном движении

. (54)

Пример 1. В кривошипно-кулисном механизме с пос­тупательно движущейся кулисой (рис. 147, а) кривошип ОА длиной r вращается с постоянной угловой скоростью ω₀ и приводит в движение кулису ВВ, прорезь которой образует с направлением ее перемещения постоянный угол, равный 60°. Определить модули скорости кулисы и скорости скольжения камня А в прорези кулисы, если в начальный момент времени кривошип занимал левое горизонтальное положение.

Решение. Движение камня А можно изучать по отношению к двум системам отсчета: по отношению к неподвижной системе Оху (абсолютное движение) и по отношению к подвижной системе 0'х'у', связанной с кулисой (относительное движение). Абсолютным движе­нием камня является его движение по окружности с центром в точке О. Следовательно, абсолютная скорость направлена перпендику­лярно кривошипу ОА и равна по модулю ω₀r. Относительное движе­ние - это скольжение камня по прорези кулисы, поэтому относительная скорость точки А направлена вдоль оси кулисы. Переносным движением является движение кулисы. Так как кулиса движется поступательно, то переносная скорость параллельна прямой СС.

По теореме сложения скоростей (54),

.

Из параллелограмма скоростей (рис. 147, б) найдем

,

откуда .

Рис.147

Так как φ = ω₀t, то ; .

В моменты времени, когда , v_e = 0, и, следовательно, в эти моменты кулиса изменяет направление своего движения.

Пример 2. В механизме (рис. 148, а) рейка I имеет скорость v₁ = 20 см/с, рейка II - скорость v₂ = 40 см/с, расстояние между рейками равно 50 см. Определить угло­вую скорость рейки III, а также скорость рейки IV в тот момент, когда АС = ВС и угол α между рейками III и IV равен 60°.

Решение. Рассмотрим движение точки В. Свяжем с рейкой III подвижную систему координат Dx'y'. С неподвижным основанием ме­ханизма свяжем неподвижную систему осей Оху. Точка В движется по отношению к обеим координатным системам. Абсолютным движением этой точки является прямолинейное движение со скоростью вдоль оси Ох. Относительным движением является прямолинейное движение вдоль прорези рейки III. Переносным движением является движение рейки III.По теореме сложения скоростей (рис.148,б),

.

Для определения переносной скорости пользуемся формулами кинематики плоского движения

,

,

где - скорость точки А, принятой за полюс; - вращатель­ная скорость вокруг полюса А - точки рейки III, через которую в данный момент проходит точка В. Итак,

.

Рис. 148

Относительная скорость направлена по прорези рейки III, а скорость . Направления этих скоростей наперед неизвест­ны. Изобразим все составляющие векторы на рис. 148, в. Направления векторов и указаны предположительно. Векторное ра­венство равносильно следующим двум скалярным:

; .

Отсюда найдем

см/с.

см/с.

Знак плюс в ответах указывает на то, что направления векторов и выбраны правильно.

Зная найдем угловую скорость рейки III:

рад/с.

Рассмотрим движение точки С (рис. 148, в). Абсолютная скорость точки С

,

где вращательная скорость

см/с,

- относительная скорость точки С, направленная вдоль рейки III; .

Вектор и направлен в ту же сторону, что и вектор .

Направление вектора дано предположительно. Векторное равенст­во равносильно двум скалярным:

; .

В первом равенстве проекция скорости v_САх равна нулю потому, что абсолютная скорость точки С, равная скорости рейки IV, нап­равлена вдоль вертикали. Из этих уравнений найдем

см/с; см/с.

Знак минус указывает на то, что скорость точки С в рассматри­ваемый момент направлена вниз. Модуль абсолютной скорости точки С см/с.

Задачи

1.5.6.* Два корабля идут прямыми расходящимися курсами, образующими между собой угол α (рис. 149). Скорость одного корабля равна . Какую скорость , должен иметь второй корабль, чтобы первый находился все время у него на траверсе, т. е. на перпендикуляре к его курсу? С какой скоростью будет увеличиваться при этом расстояние между кораблями?

Ответ: .

1.5.7.* Судно движется на юго-восток со скоростью . Флюгер на судне составляет угол 90° с его диаметральной плоскостью, причем ветер дует с левого борта. Определить истинную скорость ветра , если мо­дуль относительной скорости ветра равен модулю скорос­ти судна.

Ответ: Ветер дует с севера v = u√2.

1.5.8*. Тело, запущенное на экваторе вертикаль­но вверх, приобрело скорость 2 км/с относительно места пуска. Каков модуль его скорости относительно системы координат, поступательно движущейся вместе с Землей по отношению к неподвижным звездам? Движение центра Земли за небольшой промежуток времени считать равно­мерным и прямолинейным. Высотой тела над поверх­ностью Земли пренебречь. Радиус Земли

R = 6400 км.

О твет: v = 2,07 км/с.

Рис. 149 Рис. 150

Задача 1.5.9*. Призма А (рис. 150) движется поступа­тельно со скоростью 3 м/с, а груз В движется по грани призмы так, что расстояние s = OB изменяется по закону s = t² (t - в секундах, s – в метрах) t = 2 c модули абсолютных скоростей грузов В и С, связанных нерастяжимой нитью.

Ответ: v_B = 3,61м/с; v_C = 5 м/с.

1.5.10. Тележка катится прямолинейно по закону s = 2t. Относительное движение точки М по тележке задано уравнениями х_М = 3t и у_М = 4t. Определить абсолютную скорость точки М в момент времени t = 1с. (6,40)

1.5.11. Определить абсолютную скорость в мо­мент времени t = 2 с точки М (рис. 151), которая дви­жется по диагонали прямоугольной пластины 1 по закону М₀М = 0,3t². Сама пластина дви­жется вертикально в плоскости рисунка согласно уравнению

s = 1 + 0,5 sin (πt/2). Угол α = 45°. (0,851)

Рис.151 Рис. 152

1.5.12. Тележка 1 (рис. 152) движется по наклонной плос­кости по закону х_е = 0,5t². Внутри тележки движется ползун 2 по закону у₁ = 1 + 0,05 sin 0,25 πt. Определить абсолютную ско­рость точки М ползуна 2 в момент времени t = 0,1 с. (0,107)

1.5.13. Кривошип ОА (рис.153) вращается по закону φ = πt/3. Заданы длины стержней ОА = АВ = 0,25 м. Относительное движение точки М по ползуну 1 задано уравнением х₁= 0,3 + 0,1 sin (πt/6). Определить модуль абсолютной скорости точки М в момент времени t = 1 с. (0,41)

Рис.153 Рис.154

1.5.14. Определить абсолютную скорость точки М (рис. 154) в момент времени t = 1 с, если ее движение по квадратной пластине 1 задано уравнением ВМ = 0,1t². Кривошипы АВ = CD = 0,5 м вра­щаются по закону φ = 0,25 πt. (0,438)