56. Додатньо визначені квадратичні форми. Зведення пари квадратичних форм до канонічного виду.
Квадратичной формой переменных наз однородный многочлен второй степени зависящий от переменных.
Многочлен наз однородным в степени
общий вид квадратич формы.
Говорят что квадрат. Форма имеет канонический вид если ее матр явл диагональной если все коэфиц стоящое не при квадратных переменных =0
Квадрат форма имеет нормальный вид если ее матрица явл диагональной и все элементы главной диагонали = или 1, или -1, или 0, или коэфиц при квадрат форме =1, -1, 0, а все остальные коэфиц =0
К ф наз положит
определенной
(отрицательно определенной)
если при любых
значениях переменных
(кроме случая когда они все =0 одновременно)
к ф принимает положит (отрицат) значения.
(
- положит опред;
- отрицат опред)
К ф положит опред
если 1)
,
2)
т и т т когда
К ф наз неотрицательно
опред (полуопределенной) если она может
принимать только неотр значения (
- неотрицат.
- неположит.)
На практике исп критерий Сильвестра к ф будет положит опред т и т т когда все главные миноры >0.
Приведение к ф к каноническому виду при помощи ортогон преобразов
записываем мат к ф и строим характер многочлен
находим собствен значения
записываем канонический вид к ф
где
- это собств значениянаходим собств вектора
если все собст значения различные то нормируем (
где
- собств вектор)
Если есть кратные собств значения то полученные собств векторы отвечающие этим собств значениям предварительно ортогонализируют
записываем мат перехода и запис соотв преобразования.
Приведение пары к ф к канонич виду при пом одного НЛП
находим какая из форм явл положит определ (Крит сильвестра)
Методом Лагранжа положит-опред к ф приводим к нормальному виду. Находим как меняется при этом 2-я
С пом ортогон преобразов измененную 2 к ф приводим к канон виду при этом 1-я форма остается в нормальном виде
Выписываем треб преобразован как композицию 2-х преобразован
Метод выделения полного квадрата (Метод Лагранжа).
Пусть дана квадрат форма 1) если , то сделаем замену переменных
- это слагаемое есть квадрат форма меньшая числа и к ним применяем то же самое
- коэффиц при квадр переем =0 и существует хотя бы один коэф при квадрате то поменяем местами переменные и сведем задачу к пре