А. Метод интегрирования

1. Формулы прямоугольников

2. Формулы трапеции.

3. Формулы Симпсона.

4. Формулы Ньютона.

В. Вычисляемые интегралы

1. , 6. ,

2. 7. ,

3. , 8. ,

4. , 9. .

5. ,

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель работы: изучить численные методы решения дифференциальных уравнений (ДУ), разработать алгоритмы и составить программы на их основе.

ПРОГРАММА РАБОТЫ

1. Разработать алгоритмы решения ДУ для своего

варианта задания методами:

а)Эйлера, б) 1- модификацией метода Эйлера, в) 2- модификацией

метода Эйлера, г) методом Рунге-Кутта.

2. Составить на их основе программы.

3. Решить на ЭВМ задачу 4-мя методами .

4. Сравнить результаты и оценить погрешности решений.

5. Оформить отчет.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАБОТЕ.

1. Метод Эйлера

Рассмотрим ДУ (15)

с начальным условием (16)

Выбрав достаточно малый шаг h, построим систему равноотстоящих точек x_i=x₀+i*h, (i=0,1,2,…).

Приближенные значения вычисляются последовательно по формулам (17)

Если правая часть уравнения (15) в некотором прямоугольнике удовлетворяет условиям

(18)

(19),

то имеет место следующая оценка погрешности:

(20)

где — значение точного решения уравнения при , a —приближенное значение, полученное на n-м шаге .

Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка

(21)

с начальными условиями , .

Приближенные значения и вычисляются последовательно по формулам

2. Mодификации метода Эйлера.

Первый улучшенный метод

Решение задачи (15), (16) состоит в том, что сначала вычисляют промежуточные значения

(22),

а затем полагают

(23)

Второй улучшенный метод — метод Эйлера-Коши.

Сначала определяют “грубое приближение”

(24)

затем вычисляется и приближенно полагается

(25)

3. Метод Рунге-Кутта

Рассмотрим задачу Коши для ДУ с начальным условием

Обозначим через приближенное значение искомого решения в точке . По методу Рунге-Кутта вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам

(26)

где

(27)

Блок-схема алгоритма ( рис.2).

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

А. Используемые методы

1. Метод Эйлера.

2. Первый улучшенный метод Эйлера.

3. Второй улучшенный метод Эйлера.

4. Метод Рунге-Кутта.

5. Метод Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага.

6. Метод Адамса.

7. Метод Милна.

В. Решаемые дифференциальные уравнения

1. y"=y'/x+y=0 y(1)=0.77 y'(1)=-0.44 h=0.1

2. y'=y-2x/y y(0)=1 h=0.2

3. y'=xy/2 y(0)=1 a= 0 b=1

4. y'=x**2+y**2 y(0)=0 a=0 b=0

5. y'=1+xy**2 y(0)=0 a=0 b=1

6. y'=y**3/(x+1) y(0)=1 a=0 b=1

7. y'=x+y**2 y(0)=0 h=0.03

8. y'=1+x-y**2 y(0)= 1 h=0.02

9. y'=2x+cosy y(0)=0 h=0.02

10. y'=e**x+y**2 y(0)=0 h=0.04