Глава 8. Неявные функции. Дифференцируемые Отображения
8.1. Неявные функции заданные одним уравнением
Пусть
функция двух переменных
определена на некотором множестве
плоскости
переменных
,
и существует функция
одного переменного
,
определенная на некотором множестве
,
причем имеет место включение
,
и выполняется равенство
.
В этом случае функция
,
определяемая уравнением
,
называется неявно
заданной функцией.
Если
в трехмерном пространстве
задан цилиндр (рис.8.1)
и
в этом цилиндре определена функция
.
Тогда, если существует такая функция
двух переменных
,
определенная на множестве
такая, что имеет место включение
,
и при этом выполняется равенство
,
то говорят, что функция
– неявная
функция,
заданная уравнением
.
Пример
1. Уравнение
задает неявно бесконечное множество
функций, определенных на
(рис.8.2).
Пример
2. Рассмотрим
функцию
.
Пусть
– некоторая окрестность точки
,
и координаты точки
удовлетворяют уравнению
,
.
Тогда существует единственная неявная
функция, такая, что ее график содержится
в
(рис. 8.3).
П
ример
3. Уравнение
задает бесконечное множество неявных
функций, определенных при
,
т.е.
– круг радиусом
.
В самом деле, формула
,
в которой для каждой из точек
знак перед корнем выбирается произвольно,
определяет неявную функцию. Заметим,
что функции
и
заданны в
,
непрерывны в
и дифференцируемы в
.
Все
рассуждения в дальнейшем, даются для
уравнения
.
Теорема
8.1. (Существование
неявной функции). Пусть функция
определена в цилиндре
,
непрерывна по
при фиксированных
и
,
и выполняется неравенство
.
Тогда существует, по крайней мере, одна
неявная функция
,
заданная уравнением
,
(1)
определенная на множестве .
Пусть
произвольная точка принадлежащая
.
По условию теоремы функции
,
при фиксированных значениях
,
непрерывна на
.
В силу теоремы Коши (из свойств функций
непрерывных на отрезке) функция
принимает любое промежуточное значение
между
и
.
Так как
и
имеют различные знаки, то
принимает и нулевое значение, т.е.
существует хотя бы одна точка
,
в которой
.
Положим,
.
Таким образом построена неявная функция
,
определенная на
.
Теорема
8.2.
(Единственность). Пусть
определена в цилиндре
,
при фиксированных
и
из области
и строго монотонна по переменной
.
Тогда не может существовать более одной
неявной функции
,
определенной на
.
Предположим, что существуют две
различные функции
и
,
заданные уравнением (2). Тогда найдется
такая хотя бы одна точка
,
что
.
Однако из сделанного предположения,
имеем
.
Последнее невозможно, так как
строго монотонна по
,
т.е.
.
Получаем противоречие с условием.
Следовательно, функция
единственна.
Следствие.
Пусть функция
непрерывна по
в цилиндре
,
для точки
.
Пусть также
дифференцируема по
в открытом цилиндре
,
причем
сохраняет знак в этом цилиндре. Тогда
уравнение (1) задает единственную неявную
функцию, определенную на
.
По
теореме 8.1 существует, по крайней мере,
одна неявная функция
.
Так как
сохраняет знак в открытом цилиндре, то
строго монотонна по
на
.
Следовательно, по теореме 8.2 неявная
функция
определена единственным образом.
Теорема
8.3 (Непрерывность
неявной функции). Пусть функция
непрерывна в цилиндре
;
для любой точки
выполняется условие
;
функция
дифференцируема в открытом цилиндре
и
в
.
Тогда уравнение (1) определяет единственным
образом неявную функцию
,
которая непрерывна на множестве
.
Существование и
единственность неявной функции
определяются следствием и теоремой
8.2. Для доказательства непрерывности
функции
рассмотрим разность
.
Применяя формулу конечных приращений
Лагранжа, получаем
(2)
Положим
,
тогда
.
Следовательно,
.
Используя условие
,
из (2) получаем
.
(3)
Переходя
в неравенствах (3) к пределу при
в силу непрерывности функции
,
имеем
.
Следовательно, неявно заданная функция непрерывна в любой точке .
Теорема
8.4
(Дифференцирование неявной функции).
Пусть функция
непрерывна в цилиндре
,
где
открытое множество; выполняется условие
;
функция
дифференцируема в открытом цилиндре
и
.
Тогда уравнение (1) определяет единственным
образом неявную функцию
,
которая дифференцируема на
и справедливы равенства
,
, (4)
где .
Существование
и единственность неявной функции
вытекает из теорем 8.1 и 8.2. При этом
непрерывна на
по теореме 8.3. Так как функция трех
переменных дифференцируема на открытом
множестве
,
то
(5)
где
при
.
Положим
,
тогда для точки
имеем
и
,
. (6)
Из (5) и (6) получим
.
Так
как
,
то
. (7)
Поскольку
непрерывна, то
при
.
Следовательно, так как
,
и
при
,
то по теореме о пределе отношения двух
функций получаем
,
.
Отсюда следует, что
, (8)
где
при
.
Из (7) и (8) следует
.
Таким
образом,
дифференцируемая функция в произвольной
точке
и
,
,
где
.
Теорема
8.5. Пусть
функция
дифференцируема в
,
где
– точка области определения функции,
и
;
частная производная
непрерывна в окрестности
и
.
Тогда существует такой открытый цилиндр
,
что уравнение
задает единственным образом неявную
функцию
,
определенную в окрестности
.
При этом функция
дифференцируема и ее производные
вычисляются по формулам (4).
Пусть
для определенности
.
Так как
непрерывна в окрестности
,
то существует такой замкнутый шар (рис.
8.4)
,
что
при
.
В
силу теоремы Вейерштрасса непрерывная
функция
достигает своего наименьшего значения
на шаре
.
Поэтому
.
Выберем
и
столь малыми, чтобы цилиндр удовлетворял
условию:
.
Тогда
при
.
Функция
монотонно возрастает на
,
так
как
на этом отрезке. Поскольку
,
то имеют место неравенства:
.
В
силу теоремы 8.4 уравнение (2) задает
единственным образом неявную функцию
,
определенную в окрестности
,
причем эта функция дифференцируемая и
ее производные вычисляются по формуле
(4).
Замечание 1. Аналогичные теоремы имеют место для функционального уравнения
.
(9)
Областью
здесь является интервал
,
т.е.
– прямоугольник на плоскости
(рис. 8.5). Здесь неявная функция
и ее производные вычисляются по формуле
.
(10)
Замечание
2. Важным в
теореме 8.4, а следовательно в формуле
(4) и в формуле (10) является отличие от
нуля производной стоящей в знаменателе.
Например, если
,
то уравнение (9) может иметь не единственное
решение относительно функции в точке
,
а может не иметь ни одного, решения.
Д
ля
уравнения
получаем
,
,
а
.
Очевидно, что в окрестности точки (1, 0)
при
,
уравнение не имеет решения относительно
,
т.е. неявная функция не существует. А
при
уравнение
имеет два решения
и
,
т.е. задает две неявные функции.
Вместе
с тем, надо отметить, что условия
(или
)
являются лишь достаточными. Если они
не выполняются, то неявная функция может
существовать. Например, для уравнения
в точке (0, 0) они не выполняется, однако,
в окрестности точки (0, 0) существует
единичная неявная функция
.
Пример 4. Найти частные производные функции, заданной уравнением:
