- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
- •Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних
- •1. Об'єм циліндричного тіла
- •2. Означення подвійного інтеграла
- •3. Властивості подвійного інтеграла
- •4. Обчислення подвійного інтеграла
- •5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії Площа плоскої фігури.
- •Площа поверхні.
- •6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці Маса плоскої пластини.
- •Статичні моменти.
- •Координати центра мас.
- •Моменти інерції.
- •7. Поняття про потрійний інтеграл
- •8. Заміна змінних в потрійному інтегралі
- •9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці
- •Розділ 7. Ряди
- •1. Числові ряди. Основні поняття
- •2. Властивості числових рядів
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів Ознака порівняння.
- •Ознака порівняння в граничній формі.
- •Ознака Даламбера.
- •Радикальна ознака Коші.
- •Інтегральна ознака Коші.
- •5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
- •Ознака Лейбніца.
- •6. Знакозмінні числові ряди
- •7. Функціональні ряди. Основні поняття
- •8. Область збіжності степеневого ряду
- •9. Ряди Тейлора і Маклорена
- •10. Розвинення функцій в ряд Маклорена
- •11. Застосування степеневих рядів
- •Обчислення значень функцій.
- •Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Доведення формули Ейлера.
- •12. Динамічні ряди
- •Розділ 8. Диференціальні рівняння
- •1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння першого порядку з подільними змінними.
- •Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах.
- •3. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.
- •4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих
- •6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •7. Системи диференціальних рівнянь
- •Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •8. Задачі економічної динаміки
2. Диференціальні рівняння першого порядку
Згідно з означенням 8.1 диференціальне рівняння першого порядку має вигляд
. (8.2)
Якщо співвідношення (8.2) розв’язати відносно , то одержимо рівняння вигляду
, (8.3)
яке називається диференціальним рівнянням першого порядку, розв’язаним відносно похідної. Таке рівняння завжди можна записати в диференціальній формі
. (8.4)
Дійсно, якщо , то , а це означає, що .
Навпаки, якщо диференціальне рівняння записане у формі (8.4), і якщо , то його завжди можна розв’язати щодо похідної:
,
тобто записати у вигляді .
Диференціальне рівняння першого порядку має, взагалі, не один, а незліченну множину розв'язків.
Так, для рівняння розв'язками є функції , , і, взагалі, , де – довільна стала. У цьому легко переконатися, підставивши потрібне значення і значення похідної в диференціальне рівняння.
Розв'язок диференціального рівняння , що містить у собі довільну сталу, будемо називати загальним розв'язком диференціального рівняння. Загальний розв'язок, не розв’язаний щодо шуканої функції , називають загальним інтегралом диференціального рівняння. Розв'язок, отриманий із загального при конкретному значенні довільної сталої будемо називати частинним розв'язком. Так, для диференціального рівняння розв'язок є загальним, а розв'язки , , – частинними розв'язками.
Графіком частинного розв'язку диференціального рівняння є інтегральна крива , графіком загального розв'язку – сім’я інтегральних кривих.
На рис. 8.1 зображена сім’я інтегральних кривих диференціального рівняння .
Рис. 8.1.
Відшукання розв'язку диференціального рівняння , що задовольняє заданим початковим умовам, є однією з найважливіших задач теорії диференціальних рівнянь і називається задачею Коші. Відповідь на питання чи існує такий розв'язок і чи буде він єдиним дає така теорема.
Теорема Коші. Якщо функція неперервна в деякій області площини і має в області неперервну частинну похідну , то яка б не була точка цієї області, існує, і притому єдиний, розв'язок рівняння , який приймає при значення .
Геометрично це твердження означає, що через кожну внутрішню точку області проходить єдина інтегральна крива рівняння. Наприклад, для диференціального рівняння функція неперервна для всіх , її частинна похідна також неперервна для усіх .
Будемо розглядати, як правило, диференціальні рівняння, для яких умови теореми Коші виконуються.
Не існує загального методу розв'язання диференціальних рівнянь першого порядку. Розглянемо лише деякі типи рівнянь, для кожного з яких існує свій метод розв'язання.