- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
- •Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних
- •1. Об'єм циліндричного тіла
- •2. Означення подвійного інтеграла
- •3. Властивості подвійного інтеграла
- •4. Обчислення подвійного інтеграла
- •5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії Площа плоскої фігури.
- •Площа поверхні.
- •6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці Маса плоскої пластини.
- •Статичні моменти.
- •Координати центра мас.
- •Моменти інерції.
- •7. Поняття про потрійний інтеграл
- •8. Заміна змінних в потрійному інтегралі
- •9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці
- •Розділ 7. Ряди
- •1. Числові ряди. Основні поняття
- •2. Властивості числових рядів
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів Ознака порівняння.
- •Ознака порівняння в граничній формі.
- •Ознака Даламбера.
- •Радикальна ознака Коші.
- •Інтегральна ознака Коші.
- •5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
- •Ознака Лейбніца.
- •6. Знакозмінні числові ряди
- •7. Функціональні ряди. Основні поняття
- •8. Область збіжності степеневого ряду
- •9. Ряди Тейлора і Маклорена
- •10. Розвинення функцій в ряд Маклорена
- •11. Застосування степеневих рядів
- •Обчислення значень функцій.
- •Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Доведення формули Ейлера.
- •12. Динамічні ряди
- •Розділ 8. Диференціальні рівняння
- •1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння першого порядку з подільними змінними.
- •Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах.
- •3. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.
- •4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих
- •6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •7. Системи диференціальних рівнянь
- •Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •8. Задачі економічної динаміки
5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії Площа плоскої фігури.
На підставі властивостей подвійного інтеграла .
Для підінтегральна функція і виходячи з геометричного змісту подвійного інтеграла одержимо об'єм циліндричного тіла висотою , що дорівнює площі основи тіла, тобто (од. куб.) = (од. кв.).
Отже, у прямокутних координатах
. (6.9)
У полярній системі координат , тому
. (6.10)
Рис.
6.11.
Розв’язання. Розглянемо область як просту відносно і запишемо її нерівностями. Для цього знайдемо точки перетину ліній, що обмежують область (крайні точки області по вісі ), розв’язавши систему рівнянь
Отже,
Тоді
Приклад 6.5. Обчислити площу фігури, що обмежена лініями , , , .
Розв’язання. Перетворимо перші два рівняння до канонічного вигляду, одержимо , . Перше рівняння визначає коло з центром у точці (1;0) з радіусом , друге рівняння також визначає коло з центром у точці (2;0) з радіусом (рис. 6.12).
Рис.
6.12.
В полярній системі координат область є простою по . Рівняння кіл, що обмежують область у полярній системі координат, одержимо, підставивши в їхні початкові рівняння , . Тоді рівняння першого кола набуде вигляду , а для другого відповідно .
Очевидно, що
Тоді
(кв. од.)
Об'єм тіла.
Виходячи з геометричного змісту подвійного інтеграла, об'єм тіла з основою в площині , бічною поверхнею, паралельною вісі , обмеженого зверху поверхнею заданою рівнянням , може бути обчислений за формулою
. (6.10)
Приклад 6.6. Знайти об'єм тіла , обмеженого поверхнями , , , (рис. 6.13).
Розв’язання. Дане тіло є циліндричним з основою у площині , обмеженим зверху параболоїдом . Отже, .
В силу симетричності тіла відносно координатної площини можна обчислити об'єм тіла з основою , (рис. 5.16), потім результат подвоїти.
|
|
Рис. 6.13. |
Рис. 6.14. |
Оскільки
Приклад 6.7. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями , , z=0 (рис. 6.15).
Рис. 6.15.
де . Тоді . Область можна записати за допомогою нерівностей
Отже .
Площа поверхні.
Розглянемо поверхню, задану рівнянням . Нехай їх відповідає область площини . Тоді площа поверхні може бути обчислена за формулою
. (6.11)
6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці Маса плоскої пластини.
Розглянемо тонку пластину, розташовану в площині, яка займає область . Товщину цієї пластинки вважаємо настільки малою, що зміною щільності за товщиною можна знехтувати.
Поверхневою щільністю такої пластинки в даній точці називається границя відношення маси елементарної ділянки, що містить цю точку, до її площі за умови, що площа ділянки стягується до даної точки. Позначимо щільність , маємо
.
Якщо стала в кожній точці області, то маса обчислюється за формулою , де – площа пластинки.
Нехай пластинка неоднорідна, тобто .
Розіб'ємо область , що займає пластинка, на елементарних ділянок. У кожній ділянці розбивання довільно виберемо точу і будемо вважати, що щільність елементарної пластинки стала і така, як в обраній точці, тобто .
Тоді масу кожної елементарної ділянки можна вважати приблизно рівною
.
Масу всієї пластинки одержимо, якщо додамо маси елементарних ділянок:
.
Точний результат знайдемо, перейшовши в останній рівності до границі:
. (6.12)
Формулу (6.12) можна розглядати як механічний зміст подвійного інтеграла: подвійний інтеграл дорівнює масі плоскої пластини, що займає область , якщо щільність розподілу маси в цій області дорівнює підінтегральній функції .