Задание №2
Найти производные данных функций .
а)
б)
Решение
а)
Используя формулы , , , где - сложная функция, получим
.
.
б) . Заменим кубический корень дробным показателем и найдем производную сложной степенной функции (формулы и , где - сложная функция):
,
.
Задание №3
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график, используя результаты исследования.
.
Решение
Находим область определения функции: .
Данная функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической, так как ее область определения не симметрична относительно начала координат.
При получим , т.е. график проходит через начало координат.
Так как , то прямая служит вертикальной асимптотой графика. Далее находим: ,
.
Следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика.
Находим
.
Производная обращается в нуль в точках и и терпит разрыв при . Этими точками числовая прямая делится на четыре промежутка: , , , . Исследуем знак производной в каждом из них; очевидно, что в промежутках и (в этих промежутках функция возрастает) и в промежутках и (в этих промежутках функция убывает). При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, т.е. это точка максимума, а при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. это точка минимума. Находим , .
Находим
.
Вторая производная в нуль нигде не обращается и терпит разрыв при . В промежутке имеем , т.е. в этом промежутке кривая выпукла вверх; в промежутке имеем , т.е. в том промежутке кривая выпукла вниз. Точек перегиба нет.
На основании полученных данных построим график функции.
Задание №4
Найти неопределенный интеграл
а)
б)
в)
Решение
а) .
Так как , то
.
б) .
Введем подстановку . Дифференцируя, имеем , откуда . Подставив в данный интеграл вместо и их выражения, получим
.
Заменив его выражением через , находим .
в) .
Положим , ; тогда , , т.е. . Используя формулу , получим
.
Задание №5
Вычислить определенный интеграл
Решение
Положим ; тогда , . Вычисляем новые пределы интегрирования: , . Потому
.
Задание №6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
и .
Решение
Выполним построение фигуры:
Искомая площадь заключена между параболой и осью .
Найдем точки пересечения параболы с осью . Полагая , найдем . Так как данная фигура симметрична относительно оси , то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси , и полученный результат удвоим:
(кв. ед.).
(кв. ед.).
Задание №7
Найти частный интеграл (решение) дифференциального уравнения, удовлетворяющий заданным начальным условиям
, , .
Решение
Так как характеристическое уравнение имеет равные действительные корни , то общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде
.
Дифференцируя общее решение, имеем
.
Подставив начальные данные в выражения для и , получим систему уравнений
или
откуда и . Следовательно, искомое частное решение имеет вид
.