3.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов от заданных нагрузок

Для расчета эпюр нормальной силы N, поперечной силы Q и изгибающего момента M используем метод сечений.

На участке CD рассечем раму сечением I (рис.9). Нормальная сила в этом сечении равна сумме проекций на направление CD всех сил, приложенных ниже сечения, то есть

N = 7 кН.

Поперечная сила в сечении I равна сумме проекций на перпендикуляр к CD всех сил, приложенных ниже сечения, то есть

Q = -16 + 8z₁.

Тогда получим следующие значения поперечной силы на границах участка:

Q(0) = -16 кН, Q(6) = 32 кН.

Изгибающий момент в сечении I равен сумме моментов относительно центральной оси этого сечения всех сил, приложенных ниже сечения, то есть

М = -16z₁ + 8(z₁)²/2.

Экстремум момента достигается в том сечении, где Q = 0, то есть при z₁ = 2. Величина момента в этом сечении равна М(2) = -16 кНм. Значения момента на границах и в середине участка равны

М(0) = 0; М(3) = -12 кНм; М(6) = 48 кНм.

Р ассчитанные таким образом на участке CD эпюры N, Q, M показаны на рис. 10 и 11.

Рис. 10. Эпюры нормальных сил N и поперечных сил Q

На участке CВ рассечем раму сечением II (рис.9). Нормальная сила в этом сечении равна сумме проекций на направление CB всех сил, приложенных справа от сечения, то есть

N = 32 кН.

Поперечная сила в сечении II равна взятой с обратным знаком сумме проекций на перпендикуляр к CB всех сил, приложенных справа от сечения, то есть

Q = -7 кН.

Изгибающий момент в сечении II равен взятой с обратным знаком сумме моментов относительно центральной оси этого сечения всех сил, приложенных справа от сечения, то есть

М = - (- 7z₂) = 7z₂.

Значения момента на границах и в середине участка равны

М(0) = 0; М(2) = 14 кНм; М(4) = 28 кНм.

Рассчитанные таким образом на участке CВ эпюры N, Q, M показаны на рис. 10 и 11.

На участке АC рассечем раму сечением III (рис.9). Так как слева от сечения III нет внешних сил, то и нормальная и поперечная силы в этом сечении равны нулю:

N = Q = 0.

Рис. 11. Эпюры изгибающих моментов М: а - на сжатом волокне; б - на растянутом волокне

Изгибающий момент в сечении III равен сумме моментов относительно центральной оси этого сечения всех сил, приложенных слева от сечения, то есть

М = - 20 кНм.

Рассчитанные таким образом на участке АВ эпюры N, Q, M показаны на рис. 10 и 11.

3.3. Расчет необходимого по прочности двутавра

Из эпюры изгибающих моментов (рис.11) находим максимальный момент

М_max = 48 кНм = 48000 Нм.

Момент сопротивления, определяемый из условия прочности по максимальным нормальным напряжениям (5), равен

По таблице ГОСТ 8239—89 [1] выбираем двутавр № 27 с моментом сопротивления , моментом инерции J_x = 5010 см⁴.

Найдем максимальное напряжение, соответствующее выбранному профилю:

.

Вычислим недогрузку

.

3.4. Определение перемещений

Расчет горизонтального перемещения сечения А

Для определения горизонтального перемещения сечения А следует приложить горизонтальную единичную силу в этом сечении (рис.12) и построить эпюру моментов от такой силы.

Рис.12. Эпюры моментов от горизонтальной единичной силы:

а - на сжатом волокне; б - на растянутом волокне

Реакции опор найдем из уравнений равновесия рамы, подобно тому, как это делалось в разделе 3.1 (рис.12):

;

;

.

Далее, используя метод сечений так же, как это делалось в разделе 3.2, строим эпюру изгибающего момента (рис.12).

Горизонтальное перемещение сечения А определяется с помощью интегралов Мора, а сами интегралы вычисляем по правилу Симпсона, рассматривая последовательно участки СD и CB. При вычислении используем рисунки 11 и 12, а также учитываем, что модуль упругости равен Е = 210¹¹ Па, момент инерции выбранного двутавра равен J_x = 501010^-8 см⁴ и изгибающий момент М переводим из килоньютонов, умноженных на метр, в ньютоны, умноженные на метр:

Таким образом, при заданной нагрузке сечение А перемещается вправо на 36,7 мм.

Расчет вертикального перемещения сечения А

Для определения вертикального перемещения сечения А следует приложить в этом сечении вертикальную единичную силу и построить эпюру моментов от такой силы (рис.13).

Рис.13. Эпюры моментов от вертикальной единичной силы:

а - на сжатом волокне; б - на растянутом волокне

Расчет реакций опор и ординат эпюры абсолютно аналогичен приведенному выше расчету эпюры , и поэтому мы его не приводим.

Вертикальное перемещение сечения А определяется с помощью интегралов Мора, а сами интегралы вычисляем по правилу Симпсона, рассматривая последовательно участки АС и CB (рис. 11 и 13):

Отрицательная величина вертикального перемещения означает, что направление перемещения противоположно направлению вертикальной единичной силы, то есть при заданной нагрузке сечение А перемещается вверх на 2,19 мм.

Полное перемещение сечения А равно

Расчет угла поворота сечения В

Для определения угла поворота сечения В следует приложить единичный момент в сечении В и построить эпюру изгибающих моментов , возникающих в раме при таком нагружении (рис 14).

Рис.14. Эпюры моментов от единичного момента:

а - на сжатом волокне; б - на растянутом волокне

Угол поворота сечения В определяется с помощью интеграла Мора, который вычисляем на участке CB по правилу Симпсона (рис. 11 и 14):

Таким образом, под действием заданной нагрузки сечение В повернется против часовой стрелки (т. е. по направлению единичного момента) на угол, равный 0,107 градуса.