Координаты тетраэдра при принятых допущениях составят

В соответствии с (3.1) получаем

Исходя из (3.21), получаем следующую систему двенадцати уравнений

относительно двенадцати неизвестных элементов матрицы преобразования и величины стороны тетраэдра.

Решение системы (3.23) относительно элементов матрицы требуемого преобразования имеет вид:

3.3.Проецирование

3.3.1.Виды проецирования

В техническом черчении применяются параллельные проекции, а перспективные обычно используются художниками и архитекторами. Черчение с применением перспективных проекций более или менее сложных объектов довольно трудоемко, но использование вычислительной техники позволяет упростить эту процедуру. С помощью вычислительных устройств удалось коренным образом изменить саму постановку проблемы. Алгоритмический аппарат машинной графики позволяет "видеть" объект в перспективе, легко исключая или представляя невидимые элементы изображения.

Задача проецирования, решаемая машинной графикой, заключается в необходимости представления реального трехмерного объекта на устройстве, имеющем двумерную поверхность отображения. Решение ее состоит в получении проекции трехмерного объекта на плоскость. Получение проекции математически можно описать как преобразование. Перспективную проекцию можно представить как последовательность двух преобразований: перспективного преобразования, которое преобразует трехмерное пространство в трехмерное, и следующего за ним преобразования - проектирования на двумерную плоскость для получения требуемого вида объекта.

На рис.3.2 представлена упрощенная классификация типов плоских проекций, реализуемых с помощью аппарата матричных преобразований.

Различают пер­спективные и парал­лельные проекции. Для получения пер­спективной проекции необходимо опреде­лить точки пересече­ния плоскости проек­ции с прямыми, исхо­дящими из центра проектирования и проходящими через все точки объекта. Па­раллельная проекция определяется аналогично, за исключением того, что центр проектирования находится в бес­конечности (все проектирующие прямые параллельны).

Аксонометрической проекцией называется параллельная проекция, у которой порождающие прямые перпендикулярны плоскости проекции. В противном случае будет получена косоугольная проекция.

Среди аксонометрических проекций различают:

• изометрию: в плоскости проекции углы между каждой парой координатных осей равны (коэффициенты искажения по каждой из осей равны);

• диметрию: в плоскости проекции равны между собой два угла между координатными осями;

• триметрию: в плоскости проекции все три угла между координатными осями различны.

Для косоугольных проекций проектирующие прямые составляют с плоскостью проекции угол, отличный от 90 градусов. Различные типы косоугольных проекций характеризуются величиной этого угла. Выделяют два специальных типа косоугольных проекций:

• свободную проекцию: угол между проектирующими прямыми и плоскостью проекции равен 45 градусам;

• кабинетную проекцию: частный случай свободной проекции, в котором масштаб по третьей оси уменьшен в два раза.

При использовании перспективного проектирования стремятся получить такой вид изображаемого объекта, который наиболее реалистично отображал бы его и был бы возможно более близок к восприятию человеческим глазом. При этом используют различные типы перспективного проектирования в зависимости от выбранной поверхности изображения (плоскость, сфера, цилиндр и т.д.).

Для описания преобразований проектирования, так же как и других геометрических преобразований, будут использоваться матрицы и однородные координаты в дескрипторе вершин модели S(X,Y,Z,1). За счет этого достигается унификация алгоритмов машинной графики и геометрического моделирования.