3.3.2.Матрицы проекционных преобразований и проекций

Аксонометрия является параллельной проекцией. В табл.3.3 первыми приводятся матрицы ортографических проекций на координатные плоскости, полученные из их определений.

Табл.3.3.Матрицы проектирующих преобразований и проецирования

Ортографическая проекция на XOY		Ортографическая проекция на YOZ
Ортографическая проекция на XOZ		Ортографическая проекция на плоскость x=p
Матрица триметрического преобразования на плоскость XOY
Матрица изометрического преобразования на плоскость XOY
Матрица изометрического проецирования на плоскость XOY
Матрица косоугольной проекции на XOY	Матрица свободной проекции на XOY
Матрица кабинетной проекции на XOY	Матрица перспективного преобразования с одной точкой схода (картинная плоскость перпендикулярна оси абсцисс)
Матрица перспективного преобразования с одной точкой схода (картинная плоскость перпендикулярна оси ординат)		Матрица перспективного преобразования с одной точкой схода (картинная плоскость перпендикулярна оси аппликат)
Матрица перспективного преобразования с двумя точками схода (картинная плоскость параллельна оси ординат)		Матрица перспективного преобразования с тремя точками схода (картинная плоскость произвольного положения)

Изометрия, диметрия и триметрия получаются комбинацией поворотов, за которыми следует проекция из бесконечности. Если нужно описать проекцию на плоскость XOY, то сначала необходимо осуществить преобразование поворота на угол относительно оси ординат, затем на уголотносительно оси абсцисс. В табл.3.3 приведена матрица триметрического преобразования. Для получения матрицы диметрического преобразования, при котором, например, коэффициенты искажения по осям абсцисс и ординат будут равными, взаимосвязь между углами поворотов должна подчиняться зависимости

То есть, выбрав угол , можно вычислить уголи определить матрицу диметрической проекции. Для изометрического преобразования взаимосвязь этих углов превращается в строго определенные значения, составляющие:

В табл.3.3 приведена матрица изометрического преобразования, а также матрица изометрического проецирования на плоскость XOY. Необходимость в матрицах первого типа заключается в их использовании в алгоритмах удаления невидимых элементов.

В косоугольных проекциях проектирующие прямые образуют с плоскостью проекции угол, отличный от 90 градусов. В табл.3.3 приведена общая матрица косоугольной проекции на плоскость XOY, а также матрицы свободной и кабинетной проекций, в которых:

Перспективные проекции (табл.3.3) также представлены перспективными преобразованиями и перспективными проекциями на плоскость XOY. V_X, V_Y и V_Z являются центрами проецирования - точками на соответствующих осях. –V_X, -V_Y, -V_Z будут точками, в которых сходятся пучки прямых, параллельных соответствующим осям.

Система координат наблюдателя представляет собой левую систему координат (рис.3.3), в которой ось z_e направлена из точки зрения вперед, ось x_e направлена вправо, а ось y_e – вверх. Такое правило принято для совпадения осей x_e и y_e с осями x_s и y_s на экране. Определение значений координат экрана x_s и y_s для точки Р приводит к необходимости деления на координату z_e. Для построения точного перспективного образа необходимо выполнять деление на координату глубины каждой точки.

В табл.3.4 приведены значения дескриптора вершин S(X,Y,Z) модели (рис.2.1), подвергнутой преобразованиям поворотов и изометрическому преобразованию.

Табл.3.4.Дескрипторы вершин модели

Исходная модель				M(R(z,90))xM(R(y,90))
S	X	Y	Z	X’	Y’	Z’	X’	Y’	Z’
s1	10	60	10	10	10	-60	70a	70b	-40c
s2	10	60	60	60	10	-60	120a	20b	10c
s3	60	20	60	60	60	-20	80a	80b	100c
s4	60	60	10	10	60	-60	70a	170b	10c
s5	10	10	10	10	10	-10	20a	20b	10c
s6	60	10	10	10	60	-10	20a	120b	60c
s7	60	60	50	50	60	-60	110a	190b	50c