3.5.1. Устойчивость систем со звеном чистого запаздывания

С

истемы со звеньями чистого запаздывания относятся к иррациональным системам, поэтому они не поддаются анализу алгебраическими критериями устойчивости. Наиболее применимый метод анализа – частотный метод (метод Найквиста).

Характеристическое уравнение такой системы:

Предположим, что разомкнутая система – устойчивая. Звено чистого запаздывания не вносит изменений по амплитуде, а изменяет только фазу.

Г

рафически это означает поворот любой точки годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы на угол по часовой стрелке.

Поскольку при амплитуда достаточно мала, то годограф амплитудно-фазовой характеристики всей системы (т.е. со звеном чистого запаздывания) закручивается вокруг начала координат

.

С

троится годограф системы со звеном чистого запаздывания. Определяется точка пересечения данного годографа с окружностью единичного радиуса, и соответствующая данной точке частота. Берется запас устойчивости  и определяется величина _.

Вывод: звено чистого запаздывания ухудшает характеристики по отношению к устойчивости и может возникнуть такая ситуация, что при времени чистого запаздывания ₀ годограф пересечет т.[-1,0], т.е. меняя , мы можем выводить систему на устойчивое состояние:

- система устойчивая;

- система на границе устойчивости;

- система неустойчива.

или

Здесь ₀ - критическое время чистого запаздывания.

Кроме того, звено чистого запаздывания уменьшает запас устойчивости системы.

3.6. Структурно устойчивые и структурно неустойчивые системы

Структурно устойчивой системой называется система, устойчивости которой можно добиваться, изменяя параметры звеньев, при этом тип звеньев и их соединения остаются неизменными.

З

десь К_ОС – коэффициент обратной связи.

Устойчивость такой системы достигается путем изменения коэффициентов усиления.

Структурно неустойчивой системой называется система, устойчивость которой может быть достигнута при изменении структуры (замена типов звеньев и характеров соединений).

3.7. Влияние параметров на устойчивость системы. D-разбиение по одному параметру

Теория устойчивости позволяет не только определить устойчивость данной системы, но и влияние некоторых параметров системы на ее устойчивость. Данное влияние определяется с помощью процедуры D-разбиения.

Предположим, что известно характеристическое уравнение системы:

В системе есть некоторый параметр (коэффициент k), который можно изменять, который входит линейно в характеристическое уравнение.

Тогда характеристическое уравнение можно разбить на 2 части:

где М(р) – члены характеристического уравнения, не содержащие параметр k, а D(p) – члены характеристического уравнения, содержащие коэффициент k линейно.

На комплексной плоскости строится кривая с , при этом левая часть штрихуется. Только замкнутая область D определяет пределы изменения данного параметра, при которых система является устойчивой. При изменении ,САУ остается устойчивой.

Если подобных областей разбиения не оказывается, то система считается структурно неустойчивой и вывести ее установившееся состояние возможно, только лишь изменив структуру.

Вывод: теория устойчивости решает следующие вопросы:

1. Определение устойчивости системы (с помощью критериев устойчивости)

2. Влияние отдельных параметров системы на устойчивость системы в целом (метод D-разбиения).

3. Определение структуры неустойчивых систем (можно решить с помощью D-разбиения или алгебраических критериев).