- •Содержание.
- •1Введение
- •2Модели систем массового обслуживания
- •2.1Предметная область теории телетрафика
- •2.1.1Информационные процессы и конфликты обслуживания
- •2.1.2Основные определения теории систем массового обслуживания
- •2.1.3Модели потока требований
- •Нестационарный пуассоновский поток.
- •Примитивный поток.
- •Поток с ограниченным последействием.
- •Поток Эрланга
- •2.1.4Поток освобождений серверов.
- •2.2 Модели систем массового обслуживания.
- •2.2.1Математическое введение в теорию цепей Маркова. (Markov’s chain )
- •2.2.2Классификация систем массового обслуживания.
- •2.2.3Формула Литтла (Little).
- •2.3Анализ систем массового обслуживания с марковскими потоками требований.
- •2.3.1Система м/m/1. Анализ.
- •2.3.2Cистема с конечным накопителем: m/m/1:n
- •2.3.3Система с несколькими серверами: m/m/m
- •2.3.4С истема обслуживания с m серверами и с явными потерями: m/m/m:Loss
- •2.3.5Система обслуживания m/m/m:k/m конечное число источников нагрузки, m серверов и конечный накопитель.
- •2.3.6Система типа m/m/m:m.
- •2.4Вероятность занятия серверов.
- •2.5Сравнительные характеристики моделей Эрланга и Энгсета
- •2.6Примеры анализа систем связи.
- •2.7 Системы с неполнодоступным включением серверов.
- •2.8Основы марковской теории сетей массового обслуживания.
- •2.8.1Анализ систем массового обслуживания без явных потерь.
- •2.8.2Анализ сетей массового обслуживания с блокировками. Метод вероятностных графов Ли.
- •3Анализ и оптимизация коммутационных систем
- •4Анализ систем с произвольным законом распределения времени обслуживания
- •5Сравнение характеристик качества обслуживания в сетях с коммутацией каналов и коммутацией пакетов.
- •5.1Анализ времени доставки сообщений в сети с коммутацией каналов.
- •5.2Анализ времени доставки сообщений в сетях с коммутацией пакетов.
- •6 Анализ характеристик каналов с интеграцией речи и данных
- •6.1 Метод производящих функций
- •6.2 Модели интеграции речи и данных.
- •6.2.1Интеграция на основе обслуживания в порядке поступления.
- •6.2.2 Интеграция с абсолютным приоритетом.
- •6.2.3 Интеграция на основе стратегии подвижной границы.
- •7Система типа g/g/1.
- •8Анализ систем массового обслуживания с приоритетами
- •8.1Дисциплины обслуживания. Модель с приоритетами.
- •8.2Основная модель расчета среднего времени ожидания
- •8.3Дисциплины обслуживания с приоритетами, зависящими от времени
- •8.4 Оптимизация назначения приоритетов
- •Список используемой литературы.
2.3.3Система с несколькими серверами: m/m/m
Рассмотрим сначала простой случай системы, содержащей два сервера, любой из которых доступен для поступающих на вход заявок. Системы с несколькими серверами такого типа называют полнодоступными. Очевидно, что по сравнению с односерверной системой производительность будет выше. Сразу отметим, что интерес будет представлять сравнение с односерверной системой интенсивность обслуживания в которой в среднем вдвое выше, то есть мы ответим на вопрос что эффективнее удвоение скорости обработки или распараллеливание обработки.
Система M/M/2 может быть представлена как процесс размножения-гибели с параметрами:
Найдем сначала распределение вероятностей в стационарном режиме:
Находя из условий нормировки вероятность простоя (нулевого состояния), находим
Найдем теперь основные характеристики качества обслуживания. Средняя длина очереди составит:
.
Теперь найдем среднее время задержки в системе по формуле Литтла:
.
Таким образом, в системе с двумя серверами время задержки сокращается. Нетрудно убедиться, что производительность системы M/M/2 также выше, поскольку теперь средняя производительность будет определяться вероятностью занятости только одного сервера и незанятости обоих серверов:
.
Получилось, что производительность системы без блокировки также как и для системы с одним сервером совпадает с входной нагрузкой, тогда как максимальная производительность могла равняться 2μ .
Найдем теперь для сравнения характеристики качества обслуживания для односерверной системы с вдвое большей пропускной способностью сервера μ. Воспользуемся формулами для системы M/M/1.
На рис. 1.16 представлены нормированные графики среднего времени задержки в системе с одним и с двумя серверами одной и той же производительности и с одним серверов, работающим с вдвое большей скоростью. Как видно из сравнения, увеличение вдвое скорости работы сервера оказывается более эффективным, чем введение параллельного сервера той же производительности.
Рис. 1.16 Нормированные графики среднего времени задержки в системе с одним и с двумя серверами одной и той же производительности и с одним серверов, работающим с вдвое большей скоростью.
Рассмотрим теперь общий случай СМО с m серверами. Диаграмма интенсивностей переходов для такой системы представлена на рис. 1.17.
Р исунок 1.17. Диаграмма интенсивностей переходов для СМО типа M/M/m.
Интенсивности переходов могут быть определены следующим образом:
Используя основные общие соотношения для процессов гибели-размножения, получим:
Вероятность простоя определяется громоздкой формулой, которая может быть записана через общую входную нагрузку А и удельную нагрузку на один сервер:
.
Полученные здесь соотношения позволяют рассчитать все характеристики QoS, мы приведем только одну формулу, позволяющую найти вероятность того, что поступающее в систему заявка окажется в очереди. Эту формулу широко используют в телефонии: она определяет вероятность того, что поступающий на пучок из m линий вызов, не застанет ни одной свободной линии и будет поставлен в очередь на обслуживание. Эту формулу часто называют С-формулой Эрланга.
Модель СМО, описываемая С - формулой Эрланга называется также Lost Calls Delayed (LCD).