- •Содержание.
- •1Введение
- •2Модели систем массового обслуживания
- •2.1Предметная область теории телетрафика
- •2.1.1Информационные процессы и конфликты обслуживания
- •2.1.2Основные определения теории систем массового обслуживания
- •2.1.3Модели потока требований
- •Нестационарный пуассоновский поток.
- •Примитивный поток.
- •Поток с ограниченным последействием.
- •Поток Эрланга
- •2.1.4Поток освобождений серверов.
- •2.2 Модели систем массового обслуживания.
- •2.2.1Математическое введение в теорию цепей Маркова. (Markov’s chain )
- •2.2.2Классификация систем массового обслуживания.
- •2.2.3Формула Литтла (Little).
- •2.3Анализ систем массового обслуживания с марковскими потоками требований.
- •2.3.1Система м/m/1. Анализ.
- •2.3.2Cистема с конечным накопителем: m/m/1:n
- •2.3.3Система с несколькими серверами: m/m/m
- •2.3.4С истема обслуживания с m серверами и с явными потерями: m/m/m:Loss
- •2.3.5Система обслуживания m/m/m:k/m конечное число источников нагрузки, m серверов и конечный накопитель.
- •2.3.6Система типа m/m/m:m.
- •2.4Вероятность занятия серверов.
- •2.5Сравнительные характеристики моделей Эрланга и Энгсета
- •2.6Примеры анализа систем связи.
- •2.7 Системы с неполнодоступным включением серверов.
- •2.8Основы марковской теории сетей массового обслуживания.
- •2.8.1Анализ систем массового обслуживания без явных потерь.
- •2.8.2Анализ сетей массового обслуживания с блокировками. Метод вероятностных графов Ли.
- •3Анализ и оптимизация коммутационных систем
- •4Анализ систем с произвольным законом распределения времени обслуживания
- •5Сравнение характеристик качества обслуживания в сетях с коммутацией каналов и коммутацией пакетов.
- •5.1Анализ времени доставки сообщений в сети с коммутацией каналов.
- •5.2Анализ времени доставки сообщений в сетях с коммутацией пакетов.
- •6 Анализ характеристик каналов с интеграцией речи и данных
- •6.1 Метод производящих функций
- •6.2 Модели интеграции речи и данных.
- •6.2.1Интеграция на основе обслуживания в порядке поступления.
- •6.2.2 Интеграция с абсолютным приоритетом.
- •6.2.3 Интеграция на основе стратегии подвижной границы.
- •7Система типа g/g/1.
- •8Анализ систем массового обслуживания с приоритетами
- •8.1Дисциплины обслуживания. Модель с приоритетами.
- •8.2Основная модель расчета среднего времени ожидания
- •8.3Дисциплины обслуживания с приоритетами, зависящими от времени
- •8.4 Оптимизация назначения приоритетов
- •Список используемой литературы.
2.3.6Система типа m/m/m:m.
Как видно из обозначения, мы рассматриваем систему, имеющую одинаковое число входных линий и обслуживающих серверов, например выходных линий. Очевидно, что блокировка в такой системе невозможна. Диаграмма интенсивностей переходов состояний может быть представлена в виде совокупности несвязных m простейших подсистем с двумя состояниями – свободно/занято. ( Рис. 1.20)
Рис. 1.20 Диаграмма интенсивностей переходов состояний для СМО типа M/M/m:m.
Вероятности того, что k подсистем находятся в состоянии «занято», описывается формулой Энгсета:
.
Нетрудно видеть, что в этом случае в знаменателе записан бином Ньютона, и формула для вероятностей может быть существенно упрощена:
Полученное распределение вероятностей носит название биноминального или распределения Бернулли. Величина a определяет вероятность занятости сервера, а величина (1-a) – вероятность его простоя. Поскольку таких серверов m , то распределение вероятностей будет таким же, как для классической задачи о бросании m монет. Следует отметить также что
2.4Вероятность занятия серверов.
Найдем теперь вероятность занятия определенных, выбранных заранее серверов. Эта задача часто встречается при определении нагрузки на определенные выходы в коммутаторах каналов телефонных сетей. Будем исходить из того, что в результате применения модели Эрланга или Энгсета или Бернулли найдены вероятности занятия любых k серверов pk .
Зафиксируем определенные i серверов из m доступных. Предположим, что занятие серверов происходит равновероятно. Тогда если в системе с вероятностью занято точно i + j серверов, то вероятность занятия одной конкретной комбинации будет в число таких сочетаний раз меньше, т.е. .
Поскольку отмеченные i серверов могут быть заняты совместно с любыми другими j серверами в соответствующем числу сочетаний из m по j комбинациях, где j любое число от 0 до m-i , то можно получить формулу для вероятности занятия фиксированных i серверов в системе с M входами:
.
Для модели Эрланга тогда получим:
.
Для модели Энгсета формула будет отличаться:
.
Для системы с одинаковым числом входов и выходов (серверов) имеет место модель Бернулли и соответствующие вероятности занятия фиксированных серверов будут:
.
2.5Сравнительные характеристики моделей Эрланга и Энгсета
Мы будем сравнивать модели по получаемым с их помощью характеристик качества обслуживания (QoS).
Напомним сразу, что входной поток в модели Эрланга полагается Пуассоновским λn=λ а в модели Энгсета – примитивным λn=(M-n) .
Вероятность потерь по времени
Это вероятность занятости всех m серверов в системе при интенсивности нагрузки на входе А для модели Эрланга и максимальной нагрузке МА для модели Энгсета.
Модель Эрланга Модель Энгсета
Вероятность потерь вызова
Это отношение средних интенсивностей потоков потерянных и поступивших вызовов, т.е. вероятность того, что поступивший вызов застает систему в заблокированном состоянии.
Обозначим вероятности того, что вызов поступает при условии, когда система заблокирована (условная)
безусловную вероятность поступления вызова
вероятность блокировки
вероятность потери вызова
Из известных соотношений теории вероятностей имеем:
.
Модель Эрланга.
Вероятность попадания вызова на заблокированную систему не зависит от состояния системы и в результате вероятность потери вызова совпадает с вероятностью блокировки по времени:
.
Модель Энгсета.
Здесь для примитивного потока можно записать вероятности через интенсивности
Последняя строка задает среднюю интенсивность вызовов по всем состояниям. Теперь вероятность потерь вызова может быть записана через интенсивности и далее вычислена через функцию Энгсета:
Как видно, .
Если рассмотреть предел при стремлении числа входов к бесконечности, так что суммарная интенсивность потока останется постоянной, т.е. , , то модель Энгсета превратится в модель Эрланга.
Интенсивность обслуженной нагрузки
Модель Эрланга Модель Энгсета
Интенсивность потенциальной нагрузки
Модель Эрланга Модель Энгсета