1 Основная часть

1.1 Анализ задачи

Пусть заданы три прямые: DE, FG, HI координатами точек принадлежащих им отрезков. Если никакие из заданных прямых не параллельны, то имеется три точки их взаимного пересечения – А, В и С. Эти точки являются вершинами треугольника (рис. 1).

Рис. 1. Постановка задачи

В любой треугольник всегда можно вписать окружность. Следовательно, для построения первой окружности данных достаточно. Вторая окружность вписывается в угол при вершине треугольника. Для нее необходимо дополнительно задать номер вершины.

1.2 Последовательность поиска решения

Рассмотрим поставленную задачу и разобьем ее на ряд блоков, каждый из которых будет выполнять определенное действие:

1) Проверка прямых на параллельность.

2) Определение точек пересечения прямых – координат вершин треугольника.

3) Расчет координат центра вписанной окружности.

4) Определение координат второй окружности

5) Расчет площади фигуры.

6) Штриховка фигуры.

При решении задачи будут использоваться уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и окружности с заданными координатами центра и радиусом.

Расчет во всех вычислительных блоках, за исключением блока вычисления площади, используется метод бисекций. При вычислении площади будем использовать формулу трапеций для численного интегрирования.

1.3 Математические зависимости

Уравнение прямой

Прямую можно задать различными способами. Уравнение

y = kx + b

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. Любая прямая, не перпендикулярная оси OX, может быть определена этим уравнением. Прямая же, перпендикулярная оси абсцисс, задается уравнением x = x₀. Отметим, что вертикальная прямая не является графиком функции.

Итак, уравнением y = kx + b можно описать не любую прямую. Этого недостатка нет у так называемого общего уравнения прямой

ax + by = c      (a² + b² ≠ 0).

Если b = 0, то – получаем уравнение вертикальной прямой. Если же b ≠ 0, то . Таким образом, угловой коэффициент прямой в этой системе обозначений задается как .

Зафиксируем на графике линейной функции точку A (x₀; y₀). Пусть B (x; y) – произвольная точка графика. Из треугольника ABC легко увидеть, что . Уравнение

y = y₀ + k (x – x₀)

называется уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку.

Зафиксируем теперь на графике линейной функции две точки: A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂). Из треугольника ABC следует, что . Таким образом, уравнение

задает прямую, проходящую через две заданные точки.

Уравнение окружности

Уравнение окружности ω(A; R) имеет вид

(x – a)² + (y – b)² = R²,

где a и b – координаты центра A окружности ω(A; R).

Пусть задана окружность ω(A; R) на плоскости Oxy, где точка A, центр окружности – имеет координаты a и b. По определению окружности для любой точки B(x; y), лежащей на окружности ω(A; R), верно AB = R. Но в соответствии с Пифагора  AB² = (x – a)² + (y – b)². Таким образом, координаты x и y любой точки окружности ω (A; R) удовлетворяют уравнению

(x – a)² + (y – b)² = R².

Обратно: любая точка B(x; y), координаты которой удовлетворяют уравнению, принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки A(a; b) равно R. Отсюда по определению данное уравнение – уравнение окружности ω(A; R).

Формула трапеций:

Формула означает, что площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из n трапеций (рис. 2); при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной.

Метод половинного деления

Предположим, что найден отрезок [а, b] такой, что F(а)F(b) < 0. Тогда, согласно теореме Больцано-Коши, внутри отрезка [а, b] существует точка , в которой F() = 0. Далее необходимо убедиться, что найденная точка  единственная на отрезке [а, b].

Рис. 2. Формула трапеций

Hа практике предполагаемые корни уточняют различными специальными вычислительными методами. Одним из них можно назвать метод дихотомии (бисекции, половинного деления), относящийся к итерационным. Он состоит в построении последовательности вложенных отрезков, на концах которых F(х) имеет разные знаки. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Этот процесс построения последовательности вложенных отрезков позволяет найти нуль функции (F(х) = 0) с любой заданной точностью.

Опишем подробно один шаг итерации. Пусть на k-м шаге найден отрезок [а_k , b_k], на концах которого F(х) меняет знак. Заметим, что обязательно [а_k, b_k]  [а, b]. Разделим теперь отрезок [а_k, b_k] пополам и выделим F(), где  - середина [а_k , b_k]. Здесь возможны два случая: первый, когда F() = 0, тогда мы говорим, что корень найден; второй, когда F()  0, тогда сравниваем знак F() с F(а_k) и F(b_k) и из двух половин [а_k, ] и [, b_k] выбираем ту, на концах которой функция меняет свой знак. Таким образом, а_k = а, b_k = , если F()F(а_k) < 0 , и а_k =  , b_k = b, если F()F(b_k) < 0.

При заданной точности  деление пополам продолжают до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше , тогда координата середины последнего найденного отрезка и есть значение корня требуемой точности.

Метод дихотомии — простой и надежный метод поиска простого корня уравнения F(х) = 0. Он сходится для любых непрерывных функций F(х), в том числе и недифференцируемых. Недостатки метода: проблема определения отрезка, на котором функция меняет свой знак; не применим к корням четной кратности; для корней нечетной, но высокой кратности метод неустойчив, дает большие ошибки; медленно сходится. Для достижения  необходимо выполнить N итераций, т.е. для получения 3 верных цифр ( = 0.0005) надо выполнить около 10 итераций, если отрезок имеет единичную длину.