Элементы алгебры
Понятие вектора. Действия над векторами. Проекция вектора на ось. Координаты радиуса-вектора. Координаты вектора заданного двумя точками. Операции над векторами в координатной форме. Коллинеарность и компланарность векторов. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Угол между векторами Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Матрицы. Действия над матрицами. Виды матриц. Обратная матрица. Ранг матрицы. Определители и их свойства. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса, метод Крамара метод Жордана-Гаусса.
Аналитическая геометрия на плоскости
Различные виды уравнений прямой на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Кривые второго порядка. Параллельный перенос и поворот. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
Аналитическая геометрия в пространстве
Различные виды уравнения плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Взаимное расположение плоскостей. Уравнение прямой в пространстве. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямых в пространстве.
Индивидуальное задание №1 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Литература
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.-М.:Высшая школа, 1985 г.
Шипачев В.С. Высшая математика.-М.:Высшая школа, 200 г.
Шипачев В.С. Задачник по высшей математике.-М.:Высшая школа, 2001 г.
Баврин И.И. Курс высшей математики.-М.:Просвещение, 1992 г.
Теоретические вопросы
Определение матриц. Виды матриц
Действия над матрицами
Определители и их свойства
Алгебраические дополнения и миноры
Ранг матрицы. Элементарные преобразование матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду
Обратная матрица. Способы нахождения обратной матрицы
Системы линейных уравнений
Матричный способ решения системы линейных уравнений
Метод Гаусса
Метод Крамера
Система однородных линейных уравнений
Собственные векторы и собственные значения матрицы
Понятие вектора
Линейные операции над векторами
Проекция вектора на ось
Линейно зависимые и независимые системы векторов
Базис
Декартова система координат на прямой, на плоскости и в пространстве
Направляющие косинусы вектора
Линейные операции над векторами в координатной форме
Скалярное произведение векторов и его свойства
Векторное произведение векторов и его свойства
Смешанное произведение векторов и его свойства
Полярные, цилиндрические и сферические координаты
Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой
Параметрическое и каноническое уравнение прямой
Угол между прямыми. Взаимное расположение прямых. Расстояние от точки до прямой.
Контрольные задания
Элементы линейной алгебры
Задание 1.
Даны две матрицы А и В. Найти: а) АВ; б) ВА; в) А-1; г) АА-1; д) А-1А.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Задание 2.
Проверить совместность системы уравнений и решить ее: а) по формулам Крамара; б) матричным методом; в) методом Гаусса.
1)
2)
3)
4).
5).
6).
7).
8).
9).
10).
11).
12).
13).
14).
15).
16).
17).
18).
19).
20).
21).
22).
23).
24).
25).
26).
27).
28).
29).
30).
Задание 3. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:
а) длину стороны АВ;
б) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;
в) угол А;
г) уравнение высоты СD и её длину;
д) уравнение медианы АЕ и координаты точки К, пересечения этой медианы с высотой СD;
1. А(3,4), В(1,2), С(-2,7).
2. А(-7,-5), В(-2,5,), С(3,5).
3. А(1,3), В(-1,4,6), С(8,9).
4. А(2,4), В(-3,-2), С(3,5).
5. А(-5,-3), В(1,4), С(3,2).
6. А(3,4), В(-2,3), С(4,-3).
7. А(-4,6), В(3,-5), С(2,6).
8. А(7,5), В(-4,-5), С(2,-3).
9. А(3,-2), В(-6,-2), С(1,1).
10. А(-5,-4), В(7,3), С(6,-2).
11. А(-3,4), В(-1,2), С(-2,7).
12. А(-7,-5), В(-2,5,), С(3,5).
13. А(-1,3), В(-1,4,6), С(8,9).
14. А(2,4), В(-8,-2), С(-3,5).
15. А(-5,-3), В(-1,4), С(3,2).
16. А(8,4), В(-2,8), С(14,-3).
17. А(-5,6), В(3,-5), С(2,6).
18. А(7,5), В(-6,-5), С(5,3).
19. А(3,2), В(-6,2), С(-1,5).
20. А(5,-4), В(7,5), С(6,-12).
21. А(-3,4), В(-1,-2), С(2,7).
22. А(7,-8), В(-2,-5,), С(5,5).
23. А(-1,3), В(-1,-4,), С(11,9).
24. А(6,4), В(-2,-2), С(2,5).
25. А(-9,-3), В(5,4), С(9,2).
26. А(3,4), В(-4,3), С(-4,-3).
27. А(-7,6), В(-3,-5), С(2,6).
28. А(7,5), В(-14,-5), С(2,-3).
29. А(3,-2), В(-8,-2), С(12,1).
30. А(5,-4), В(-7,3), С(6,-2).
Задание
4.Даны три
вектора
,
,
.
Для векторов, указанных в пунктах а)-д),
выполнить соответственно следующие
операции:
а) вычислить смешанное произведение трёх векторов;
б) найти модуль векторного произведения;
в) вычислить скалярное произведение векторов и угол между векторами;
г) проверить векторы на коллинеарность и ортогональность;
д) проверить, будут ли векторы компланарны.
1.
=(4;5;2), 
=(3;0;1), 
=(-1;4;2).
а)
б)
в)
г)
д)
2.
=(3;-5;2),
=(4;5;1),
=(-3;0;-4).
а)
б)
в)
г)
д)
3. (-2;3;5), =(-1;-3;4), =(7;8;-1).
а)
б)
в)
г)
д)
4. =(1;3;5), =(0;2;0), =(5;7;9).
а)
б)
в)
г)
д)
5. =(2;4;-6), =(1;3;5), =(0;-3;7).
а)
б)
в)
г)
д)
6. =(4;3;-1), =(5;0;4), =(2;1;2).
а)
б)
в)
г)
д)
7. =(3;4;-3), =(-5;5;0), =(2;1;-4).
а)
б)
в)
г)
д)
8. =(-2;1;7), =(3;-3;8), =(5;4;-1).
а)
б)
в)
г)
д)
9. =(1;0;5), =(3;2;7), =(5;0;9).
а)
б)
в)
г)
д)
10. =(2;1;0), =(4;3;-3), =(-6;5;7).
а)
б)
в)
г)
д)
11. =(4;5;2), =(3;0;1), =(-1;4;2).
а) б) в) г) д) 12. =(3;-5;2), =(4;5;1), =(-3;0;-4).
а) б) в) г) д)
13. (-2;3;5), =(-1;-3;4), =(7;8;-1).
а) б) в) г) д)
14. =(1;3;5), =(0;2;0), =(5;7;9).
а) б) в) г) д)
15. =(2;4;-6), =(1;3;5), =(0;-3;7).
а) б) в) г) д)
16. =(4;3;-1), =(5;0;4), =(2;1;2).
а) б) в) г) д)
17. =(3;4;-3), =(-5;5;0), =(2;1;-4).
а) б) в) г) д)
18. =(-2;1;7), =(3;-3;8), =(5;4;-1).
а) б) в) г) д)
19. =(1;0;5), =(3;2;7), =(5;0;9).
а) б) в) г) д)
20. =(2;1;0), =(4;3;-3), =(-6;5;7).
а) б) в) г) д)
21. =(4;5;2), =(3;0;1), =(-1;4;2).
а) б) в) г) д) 22. =(3;-5;2), =(4;5;1), =(-3;0;-4).
а) б) в) г) д)
23. (-2;3;5), =(-1;-3;4), =(7;8;-1).
а) б) в) г) д)
24. =(1;3;5), =(0;2;0), =(5;7;9).
а) б) в) г) д)
25. =(2;4;-6), =(1;3;5), =(0;-3;7).
а) б) в) г) д)
26. =(4;3;-1), =(5;0;4), =(2;1;2).
а) б) в) г) д)
27. =(3;4;-3), =(-5;5;0), =(2;1;-4).
а) б) в) г) д)
28. =(-2;1;7), =(3;-3;8), =(5;4;-1).
а) б) в) г) д)
29. =(1;0;5), =(3;2;7), =(5;0;9).
а) б) в) г) д)
30. =(2;1;0), =(4;3;-3), =(-6;5;7).
а) б) в) г) д)
Задание 5. Вершины пирамиды находятся в точках А, В, С и D. Методами векторной алгебры найти:
а) площадь грани АВС;
б) объем пирамиды АВСD;
в) уравнение плоскости АВС.
г) сделать чертёж.
1. А(3,4,5), В(1,2,1), С(-2,-3,6), D(3,-6,-3) .
2. А(-7,-5,6), В(-2,5,-3), С(3,-2,4), D(1,2,2).
3. А(1,3,1), В(-1,4,6), С(-2,-3,4), D(3,4,-4).
4. А(2,4,1), В(-3,-2,4), С(3,5,-2), D(4,2,-3).
5. А(-5,-3,-4), В(1,4,6), С(3,2,-2), D(8,-2,4).
6. А(3,4,2), В(-2,3,-5), С(4,-3,6), D(6,-5,3).
7. А(-4,6,3), В(3,-5,1), С(2,6,-4), D(2,4,-5).
8. А(7,5,8), В(-4,-5,3), С(2,-3,5), D(5,1,-4).
9. А(3,-2,6), В(-6,-2,3), С(1,1,-4), D(4,6,-7).
10. А(-5,-4,-3), В(7,3,-1), С(6,-2,0), D(3,2,-7).
11. А(3,4,5), В(1,2,1), С(-2,-3,6), D(3,-6,-3) .
12. А(-7,-5,6), В(-2,5,-3), С(3,-2,4), D(1,2,2).
13. А(1,3,1), В(-1,4,6), С(-2,-3,4), D(3,4,-4).
14. А(2,4,1), В(-3,-2,4), С(3,5,-2), D(4,2,-3).
15. А(-5,-3,-4), В(1,4,6), С(3,2,-2), D(8,-2,4).
16. А(3,4,2), В(-2,3,-5), С(4,-3,6), D(6,-5,3).
17. А(-4,6,3), В(3,-5,1), С(2,6,-4), D(2,4,-5).
18. А(7,5,8), В(-4,-5,3), С(2,-3,5), D(5,1,-4).
19. А(3,-2,6), В(-6,-2,3), С(1,1,-4), D(4,6,-7).
20. А(-5,-4,-3), В(7,3,-1), С(6,-2,0), D(3,2,-7).
21. А(3,4,5), В(1,2,1), С(-2,-3,6), D(3,-6,-3) .
22. А(-7,-5,6), В(-2,5,-3), С(3,-2,4), D(1,2,2).
23. А(1,3,1), В(-1,4,6), С(-2,-3,4), D(3,4,-4).
24. А(2,4,1), В(-3,-2,4), С(3,5,-2), D(4,2,-3).
25. А(-5,-3,-4), В(1,4,6), С(3,2,-2), D(8,-2,4).
26. А(3,4,2), В(-2,3,-5), С(4,-3,6), D(6,-5,3).
27. А(-4,6,3), В(3,-5,1), С(2,6,-4), D(2,4,-5).
28. А(7,5,8), В(-4,-5,3), С(2,-3,5), D(5,1,-4).
29. А(3,-2,6), В(-6,-2,3), С(1,1,-4), D(4,6,-7).
30. А(-5,-4,-3), В(7,3,-1), С(6,-2,0), D(3,2,-7).