- •Часть 2
- •2011-2012 Учебный год
- •I. Программа дисциплины «Математический анализ. Часть 2»
- •IV. Интегральное исчисление функций одной переменной
- •V. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •VI. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •VII. Ряды
- •II. Структура зачета
- •Методика расчета зачетных баллов
- •III. Содержание зачета Теоретические вопросы (а)
- •Теоретические вопросы (б) Интегральное исчисление
- •Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •Примеры задач
- •1.Интегральное исчисление функции одной переменной
- •2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •3. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •IV. Образцы билетов для зачета Вариант 1
- •Вариант 2
- •V. Ответы Примеры задач
- •1.Интегральное исчисление функции одной переменной
- •2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •3. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •Образцы экзаменационных билетов
- •VI. Рекомендуемая литература
Теоретические вопросы (б) Интегральное исчисление
Докажите, что если и – первообразные функции на интервале , то , где – некоторая постоянная.
Докажите, что .
Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
Докажите формулу замены переменной для неопределенного интеграла.
Докажите, что если функция непрерывна на отрезке , то функция , , является ее первообразной на этом отрезке.
Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона-Лейбница.
Применив замену переменной в определенном интеграле, докажите, что для любой четной непрерывной на отрезке функции справедливо равенство . В чем состоит его геометрический смысл?
Применив замену переменной в определенном интеграле, докажите, что для любой нечетной непрерывной на отрезке функции справедливо равенство . В чем состоит его геометрический смысл?
Сходится ли интеграл ? Ответ обоснуйте.
Сходится ли интеграл ? Ответ обоснуйте.
При каких значениях сходится интеграл ? Ответ обоснуйте.
Сходится ли интеграл ? Ответ обоснуйте.
При каких значениях сходится интеграл ? Ответ обоснуйте.
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
Дайте определение расстояния между точками . Сформулируйте и докажите свойства функции .
Дайте определение открытого множества в . Является ли множество открытым? Ответ обоснуйте.
Дайте определение замкнутого множества в . Является ли множество замкнутым? Ответ обоснуйте.
Дайте определение открытого множества в . Является ли множество открытым? Ответ обоснуйте.
Дайте определение предельной точки множества. Приведите примеры: а) множества, содержащего все свои предельные точки, б) множества, для которого существует предельная точка, ему не принадлежащая.
Дайте определение сходящейся последовательности точек в . К какой точке в сходится последовательность ? Ответ обоснуйте.
Дайте определение сходящейся последовательности точек в . К какой точке в сходится последовательность ? Ответ обоснуйте.
Дайте определение предела функции двух переменных в точке. Найдите предел функции в точке . Ответ обоснуйте.
Дайте определение предела функции двух переменных в точке. Докажите, что функция не имеет предела в точке .
Дайте определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Является ли функция непрерывной в точке ? Ответ обоснуйте.
Докажите, что функция непрерывна в точке .
Дайте определение частной производной функции по в точке . Найдите , если .
Дайте определение частных производных функции в точке . Найдите, исходя из определения, частные производные функции в точке .
Дайте определение дифференцируемости функции в точке . Докажите, что если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Дайте определение дифференциала функции в точке . Какая функция называется дифференцируемой в точке ? Приведите пример.
Как связаны производная по направлению и градиент дифференцируемой функции ? Чему равна производная по направлению, перпендикулярному градиенту?
Дайте определение градиента функции в точке . Докажите, что в направлении градиента происходит наиболее быстрый рост функции. Чему равна скорость этого роста?
Дайте определение однородной функции степени . Является ли функция однородной? Если да, то какой степени?
Дайте определение однородной функции нескольких переменных. Приведите пример однородной функции степени 3, не являющейся рациональной функцией.
Дайте определение однородной функции степени . Выведите формулу Эйлера для однородной функции трех переменных.
Дайте определение локального экстремума функции двух переменных. Является ли равенство нулю частных производных функции в некоторой точке достаточным условием ее локального экстремума в этой точке?
Дайте определение локального экстремума функции двух переменных. Имеет ли функция локальный экстремум в точке ? Ответ обоснуйте.
Дайте определение локального экстремума функции двух переменных. Имеет ли функция локальный экстремум в точке ? Ответ обоснуйте.
Сформулируйте достаточное условие локального экстремума функции двух переменных. Имеет ли функция в точке локальный экстремум? Ответ обоснуйте.
Докажите, что функция : а) не имеет локального экстремума в точке , б) имеет в этой точке условный локальный экстремум при наличии связи .
Найдите наименьшее значение функции .
Рассмотрев линии уровня функции , выяснить, в каких точках круга она принимает наибольшее и наименьшее значения, найти эти значения.