2.2.1. Конструирование схем на основе логических (булевых) выражений

П усть задано булево выражение A+B+C=Y и необходимо построить схему, которая реализует эту логическую функцию. Очевидно, что для получения нужного результата на выходе Y каждый вход следует объединить с другими входами функцией ИЛИ. Это можно сделать, использовав один элемент ИЛИ с тремя входами, или два элемента с двумя входами как показано на рис.2.11.

Допустим теперь, что нам задано следующее логическое выражение (оно читается так: не А и В, или А и не В, или не В и С равно выходу Y). Необходимо сконструировать схему, выполняющую опер ации, соответствующие этому выражению. Легко заметить, что в нем требуется выполнить логическую операцию ИЛИ над тремя слагаемыми. На рис.2.12,а показана одна из возможных схем, соответствующая данному выражению. Заметим, что конструирование схем целесообразно начинать с выхода, постепенно переходя к ее входам. Если вводятся ограничения на элементы схемы (например, каждый элемент обладает только двумя входами), то схема будет иметь другой вид (рис.2.12,б). Таким образом, одному логическому выражению могут соответствовать различные схемы.

Б улевы выражения встречаются в двух основных формах. Одну из них-сумму произведений мы уже видели на рис.2.12. Вторая форма булева выражения-произведение сумм например, . Булево выражение в виде суммы произведений в технической литературе называю дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), а булево выражение в виде произведения сумм называют конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Пусть задано логическое (булево) выражение в конъюнктивной нормальной форме . Для получения выходной величины Y сомножители и должны быть связаны функцией И. В свою очередь, каждый из сомножителей получается путем использования функции ИЛИ. В результате схема, соответствующая данному выражению, может иметь вид, показанный на рис.2.13. Обратим внимание на то, что при составлении логических схем были использованы элементы И, ИЛИ и НЕ. Отметим, что любые комбинационные схемы можно построить, использую универсальные логические элементы только И-НЕ или только ИЛИ-НЕ.

Логические схемы можно построить в дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной форме. В первом случае получаются логические схемы типа И-ИЛИ, а во втором – схемы типа ИЛИ-И (имеется в виду расположение элементов схемы в направлении от выхода к входу).

2.2.2. Таблицы истинности для логических (булевых) выражений

Б улевы выражения являются удобным инструментом для описания принципа работы логического устройства. Таблица истинности – это другой точный метод описания того, как работает логическая схема. Они встречались выше при описании работы логических элементов.

Р ассмотрим таблицу истинности, представленную на рис.2.14. Только две из восьми возможных комбинаций двоичных сигналов на входах дают на выходе логическую единицу. Эти две возможные комбинации представлены выражениями и . Таким образом, логическая единица получается на выходе в том случае, когда реализуется или одна или другая их этих комбинаций. Следовательно, булево выражение, соответствующее данной таблице истинности, связывает эти комбинации функцией ИЛИ и имеет следующий вид

В большинстве случаев конструирование логических схем начинают с составления таблицы истинности. Для преобразования информации, представленной таблицей истинности, в булево выражение необходимо искать те комбинации переменных, которые дают логическую единицу для выходной величины, как это было проделано выше.

Иногда приходится выполнять обратную процедуру, т.е. по известному булеву выражению восстанавливать таблицу истинности. Рассмотрим следующее булево выражение

Ф ормула показывает, что только две комбинации входных переменных дают на выходе логическую единицу. Этим двум комбинациям будут соответствовать две строки в таблице истинности, как показано на рис.2.15. Все другие выходы дают в таблице истинности 0. Как таблица истинности, так и соответствующее булево выражение, исчерпывающим образом описывают действие некоторой логической схемы.

Д опустим, задано логическое выражение, и необходимо восстановить соответствующую ему таблицу истинности. Особенность данного примера состоит в том, что первое слагаемое является неполным, т.к. содержит только две из трех входных переменных. Это приводит к тому, что неполной комбинации соответствуют две строки в таблице истинности, в которых выходная величина равна 1. Соответствующая таблица истинности приведена на рис.2.16. Таким образом, при восстановлении таблиц истинности из булевых выражений необходимо внимательно рассматривать неполные комбинации переменных, имея в виду, что таким комбинациям могут соответствовать несколько строк в таблице истинности.