1. Основные понятия теории вероятностей: событие (случайное, достоверное, невозможное, противоположное), совместные и несовместные события, равновозможные события.
Под событием понимается некоторое явление, которое возможно в результате выполнения некоторого комплекса условий. Под комплексом условий будет пониматься опыт или испытание в предположении что то испытание может повториться сколь угодно большое число раз при неизменных условиях.
Случайным называется событие, если оно может появиться или не появиться в результате испытания. Под событием подразумеваем случайное. Обозначение: A, B, C,…
Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате испытания.
Событие называется невозможным, если оно не может появиться в результате испытания.
Событие, которое заключается в не
наступлении события А в результате
испытания называется противоположным
событием событию А. Обозначение:
.
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого.
Два события называются не совместными, если появление одного из них, не важно какого, исключает появление другого.
Несколько событий называются совместными в совокупности, если появление одного из них не исключает появления остальных.
События называются равновозможными, если появление любого из них происходит при одинаково возможных условиях как остальных.
2. Операции над событиями (сумма, произведение, разность).
Суммой нескольких событий
называется событие, которое заключается
в наступлении хотя бы одного из этих
событий. Обозначение:
или
Произведением нескольких событий
называется
событие, которые заключается в совместном
появлении всех этих событий. Обозначение:
или
Разностью событий A и B называется событие, которое заключается в наступлении события А и не наступлении события В. Обозначение: A – B
Диаграмма Венна – геометрическая интерпретация.
A+B AB A-B
3. Элементарное событие. Генеральная совокупность.
Каждый равновозможный не совместный с остальными исход испытания будем называть элементарным исходом или элементарным событием.
Совокупность всевозможных элементарных
исходов будем называть генеральной
совокупностью. Обозначение:
4. Классическое определение вероятности.
Вероятность – это объективная мера появления события в испытании.
Вероятность события А называется
отношение числа исходов, составляющих
событие А (благоприятных исходов) к
числу всех возможных элементарных
исходов. Обозначение:
,
К – число благоприятных исходов, N
– число всевозможных элементарных
исходов.
Замечания: 1) Пусть есть a
объектов. Выбрать b
объектов из а не учитывая порядок можно
способами. 2) Выбрать b
объектов из a учитывая
порядок можно
способами. 3) Всего существует a!
способов упорядочить a
объектов.
5. Свойства вероятности.
1. Вероятность достоверного события = 1.
Док-во: Пусть А – достоверное событие,
N – общее число всех
исходов, K – число
благоприятных исходов. По определению
достоверного события все исходы –
благоприятные.
2. Вероятность невозможного события = 0.
Док-во: Пусть А – невозможное событие,
N – общее число всех
исходов, K – число
благоприятных исходов. По определению
невозможного события число благоприятных
исходов равно 0.
3. Для любого события А
Док-во: Пусть А – событие, N
– общее число всех исходов, K
– число благоприятных исходов,
.
;
;