2. Расчет цепи методом узловых и контурных уравнений

2.1. Поскольку в данной рабочей схеме 3 ветви, надо найти 3 тока. Для этого надо составить систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными ( т.е. токами ).

В данном методе используют узловые и контурные уравнения. Узловые уравнения составляют на основании 1-го закона Кирхгофа, контурные – 2-го.

Вначале составляют узловые уравнения как более простые. Число узловых уравнений на одно меньше числа узлов. В данной схеме – 2 узла ( точки А и В на рис. 4 ), значит, узловых уравнений – одно.

2. Составим узловое уравнение для любого из узлов, пример, для узла А. Для этого

предварительно зададимся произвольно выбранными направлениями токов. Поскольку истинное направление токов неизвестно, можно для любого тока выбрать любое направление.

Истинное направление каждого тока выяснится в конце расчета: если значение тока положительно, значит, его истинное направление совпадает с произвольно выбранным в начале расчета. И наоборот, если значение тока по расчету получится отрицательным, значит, его истинное направление противоположно выбранному в начале расчета.

Пусть все 3 тока, I , I и I , направлены снизу вверх, как на рис. 4. Тогда для узла А узловое уравнение получится таким:

I + I + I = 0 ( 1 ).

2. Теперь составим недостающие контурные уравнения, их должно быть 3 – 1 = 2.

В качестве 1-го контура выберем контур, состоящий из левой средней ветви, в качестве 2-го – средней и правой.

Прежде чем приступить к составлению уравнений, надо задаться произвольно выбранными направлениями обхода каждого контура. Пусть обход каждого из этих 2-х контуров будет совершаться по часовой стрелке, как на рис. 4.

При составлении уравнений используем 2 правила, одно – для определения знака ЭДС, второе – для определения знака падения напряжения.

Если при обходе контура:

1. направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС внутри источника

( напомним, что ЭДС внутри источника направлена от отрицательного вывода к положи

тельному ), то такая ЭДС вносится в левую часть контурного уравнения со знаком “плюс”, и наоборот;

2. направление обхода контура совпадает с направлением тока в резисторе, то падение напряжения на этом резисторе U = I*R, вызванное током, вносится в правую часть контурного уравнения со знаком “плюс”, и наоборот.

2. При обходе левого контура по часовой стрелке направление обхода контура совпадает с направленим ЭДС Е и противоположно направлению ЭДС Е , потому левая часть

уравнения получится такой: (Е - Е ).

Аналогично, при обходе этого контура по часовой стрелке направление обхода контура совпадает с направлением тока I , поэтому знак падения напряжения I *R будет положительным.

В то же время направление обхода контура противоположно направлению тока I ,

поэтому знак падения напряжения I *R будет отрицательным.

Потому правая часть контурного уравнения получится такой: ( I *R - I *R ).

Сведем обе части уравнения вместе, тогда получим:

Е - Е = I *R - I *R ( 2 ) .

2. Рассуждая аналогично, составим контурное уравнение для 2-го контура:

Е - Е = I R - I R ( 3 ).

2.6. Сведем уравнения ( 1 ), ( 2 ) и ( 3 ) в систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными:

I + I + I = 0 ( 1 ),

Е - Е = I *R - I *R ( 2 ),

Е - Е = I R - I R ( 3 ).

2. Эти же уравнения, после подстановки известных по условию значений ЭС и сопро

тивлений резисторов:

I + I + I = 0 ( 4 ) ,

130 – 140 = 2,2 I - 3,2 I , или –10 = 2,2 I - 3,2 I ( 5 ),

140 – 70 = 3,2 I - 24 I , или 70 = 3,2 I - 24 I ( 6 ).

2.7. Полученную систему можно решить несколькими способами, например, методом Гаусса, исключением, подстановкой, при помощи матриц, и т.д.

Способ решения выбирает сам студент. В данном примере удобно воспользоваться достаточно простым и быстрым способом подстановки.

При таком способе решения из уравнения ( 5 ) найдем ток

I = ( - 10 + 3, 2 I ) / 2,2 = - 4,54 + 1,45 I ( 7 ),

а из уравнения ( 6 ) ток

I = ( 3,2 I - 70 ) / 24 = 0,133 I - 2,91 ( 8 ).

Подставим в левую часть уравнения ( 4 ) вместо токов I и I равные им правые части уравнений ( 7 ) и ( 8 )

• 4,54 + 1,45 I + I + 0,133 I - 2,91 = 0 или I ( 1,45 +1 + 0,133 ) = 4,54 + 2,91

или 2,583 I = 7,45, откуда I = 2,88 А.

Теперь, подставляя I = 2,88 А в уравнения ( 7 ) и ( 8 ), найдем токи I и I :

I = - 4,54 + 1,45 I = - 4,54 + 1,45*2,88 = - 4,54 + 4,176 = - 0,364 А

I = 0,133 I - 2,91 = 0,133*2,88 – 2,91 = 0,383 – 2,91 = - 2,526 А.

8. Поскольку значения токов I и I получились отрицательными, значит, истинные на

правления этих токов противоположны первоначально выбранным.

Иначе говоря, в действительности токи I и I на рис. 4 протекают в направлении сверху вниз. Обозначим на рис. 4 истинные направления токов I и I пунктирными линиями.

8. Проверим правильность решения системы уравнений, для чого составим узловое уравнение токов для узла “А”, с учетом истинных направлений токов:

I = I + I , или в числах, 2,88 ≈ 0,364 + 2,526 = 2,89 ( А ).

Результаты проверки удовлетворительные, токи рассчитаны правильно.

2.10 Решим эту систему методом Гаусса

Метод Гаусса применяется для решения систем однородных и неоднородных

линейных уравнений.

Суть метода состоит в том, что систему уравнений записывают в виде матрицы,

которую путем последовательных преобразований приводят к трапецевидной форме,

позволяющей сразу же найти одно из неизвестных., после чего путем подстановки в неиспользованные строчки матрицы легко находятся остальные неизвестные.

1. Вначале запишем исходные уравнения, полученные на основе 1-го и 2-го законов Кирхгофа в виде системы уравнений

I + I + I = 0 ( 1 ) ,

–10 = 2,2 I - 3,2 I ( 2 ),

70 = 3,2 I - 24 I ( 3 ).

2. перепишем эту систему в каноническом виде, при котором в каждой строчке неизвестные расположены в одинаковой последовательности, а свободные члены перенесены в правую часть каждого уравнения:

I + I + I = 0

2,2 I - 3,2 I = - 10

3,2 I - 24 I = 70.

3. составим расширенную матрицу системы

1 1 1 0

2, 2 - 3,2 0 - 10 ( - 2,2 ) + II

0 3,2 - 24 70 ~

3. вычтем из каждого члена средней строки число ( - 2,2 )

1 1 1 0

0 - 5,4 - 2,2 - 10 х 2

0 3,2 - 24 70 ~

5. умножим каждый член нижнего уравнения на число ( 2 )

1 1 1 0

0 - 5,4 - 2,2 - 10 II + III

0 6,4 - 48 140 ~

6. запишем среднюю строку в виде суммы средней и нижней строк

1 1 1 0

0 1 - 50,2 130 х ( - 6,4 )

0 6,4 - 48 140 ~

7. умножим каждый член средней строки на число ( - 6,4 )

1 1 1 0

0 - 6,4 321,28 - 832 II + III

0 6,4 - 48 140 ~

8. сложим среднюю и нижнюю строку и результат запишем в нижнюю строчку

1 1 1 0

0 - 6,4 321,28 - 832

0 0 273,28 - 692

8. из последней строчки следует: 273,28 I = - 692, откуда I = - 2,53 А

9. подставляем найденное значение тока I в среднюю строку

   • 6,4 I + 321,28 I = - 832, откуда I = 3 А

10. для нахождения тока I надо подставить найденные выше значения токов I и I в верхнюю строку. Для упрощения расчета разделим каждый член верхній

строки на ( - 2,2 ) , в результате чего получим уравнение

I + I + I = 0,

откуда I = - ( I + I ) = - ( 3 - 2,53 ) = - 0,47 А.

8. найденные значения токов совпали с ранее рассчитаными методом постановки.