Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта

Пусть генеральные совокупности распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены независимые выборки, вообще говоря, различных объемов (некоторые объемы могут быть одинаковыми; если все выборки имеют одинаковый объем, то предпочтительнее пользоваться критерием Кочрена). По выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии .

Требуется по исправленным выборочным дисперсиям при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

.

Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дисперсии.

Рассматриваемую здесь гипотезу о равенстве нескольких дисперсий называют гипотезой об однородности дисперсий.

Назовем числом степеней свободы дисперсии число , т. е. число, на единицу меньшее объема выборки по которой вычислена дисперсия. Обозначим через среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы: , где .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы об однородности дисперсий примем критерий Бартлетта – случайную величину , где

, .

Бартлетт установил, что случайная величина B при условии справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно как с степенями свободы, если все . Учитывая, что , заключаем, что объем каждой из выборок должен быть не меньше 4.

Критическую область строят правостороннюю, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости: .

Критическую точку находят по соответствующей таблице, по уровню значимости  и числу степеней свободы , и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия гипотезы – неравенством .

Обозначим значение критерия Бартлетта, вычисленное по данным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий нормальных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Бартлетта и по таблице критических точек распределения найти критическую точку .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 1. Не следует торопиться вычислять постоянную . Сначала надо найти и сравнить ; если окажется, что , то подавно (так как ) и, следовательно, вычислять не нужно.

Замечание 2. Критерий Бартлетта весьма чувствителен к отклонениям распределений от нормального, поэтому к выводам, полученным по этому критерию, надо относиться с осторожностью.

Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена

Пусть генеральные совокупности распределены нормально. Из этих совокупностей извлечено независимых выборок одинакового объема n и по ним найдены исправленные выборочные дисперсии , все с одинаковым числом степеней свободы .

Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

.

Другими словами, требуется проверить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дисперсии.

В рассматриваемом случае выборок одинакового объема можно по критерию Фишера—Снедекора сравнить наибольшую и наименьшую дисперсии; если окажется, что различие между ними незначимо, то подавно незначимо и различие между остальными дисперсиями. Недостаток этого метода состоит в том, что информация, которую содержат остальные дисперсии, кроме наименьшей и наибольшей, не учитывается.

Можно также применить критерий Бартлетта. Однако, предпочтительнее использовать критерий Кочрена, распределение которого найдено точно.

Итак, в качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем критерий Кочрена – отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий:

.

Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы и количества выборок .

Критическую область строят правостороннюю, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости: .

Критическую точку находят по таблице значений соответствующей функции, и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – неравенством .

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить гипотезу об однородности дисперсий нормально распределенных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по соответствующей таблице найти критическую точку.

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. Если требуется оценить генеральную дисперсию, то при условии однородности дисперсий целесообразно принять в качестве ее оценки среднюю арифметическую исправленных выборочных дисперсий.