- •Основные понятия, используемые в математической обработке психологических данных Признаки и переменные
- •Шкалы измерения
- •Математическая статистика. Первоначальные понятия математической статистики
- •Измерение значений психологических признаков
- •Разные виды случайных выборок
- •Статистическое распределение выборки.
- •Типы выборки
- •Эмпирическая функция распределения.
- •Гистограмма
- •Статистические оценки параметров распределения.
- •Групповая и общая средние
- •Групповая, внутри групповая, межгрупповая и общая дисперсии
- •Интервальные оценки.
- •Доверительные интервалы для оценки среднеквадратического отклонения нормального распределения
- •Характеристики вариационного ряда
- •Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты
- •Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частоты
- •Асимметрия и эксцесс
- •Метод моментов.
- •Метод наибольшего правдоподобия.
- •Элементы теории линейной корреляции.
- •Статистическая проверка гипотез о виде и о параметрах распределений.
- •Статистический критерий проверки нулевой гипотезы
- •Критерий Пирсона проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
- •Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
- •Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки)
- •Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки)
- •Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки)
- •Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности
- •Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом
- •Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних
- •Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)
- •Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события
- •Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений
- •Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта
- •Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена
- •Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции
- •Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверка гипотезы о его значимости
- •Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверка гипотезы о его значимости
- •Критерий Вилкоксона и проверка гипотезы об однородности двух выборок
- •Однофакторный дисперсионный анализ Сравнение нескольких средних. Понятие о дисперсионном анализе
- •Общая факторная и остаточная суммы квадратов отклонений
- •Общая, факторная и остаточная дисперсии
- •Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа
- •Критические точки распределения
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения f Фишера — Снедекора
- •Критические точки распределения Кочрена
- •Критические точки распределения Кочрена (продолжение)
- •Критические точки критерия Вилкоксона
- •Критические точки критерия Вилкоксона (продолжение)
- •Критические точки критерия Вилкоксона (продолжение)
Интервальные оценки.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает неизвестный параметр распределения.
Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания a нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней при известном среднеквадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал
где - точность оценки, а n - объем выборки. Значение переменной t находится из уравнения .
Отметим, что для решения последнего уравнения можно использовать стандартную таблицу значений функции .
В случае, когда среднеквадратическое отклонении неизвестно, доверительный интервал для оценки (с надежностью ) математического ожидания a нормально распределенного количественного признака выглядит следующим образом
,
где s – исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение.
Известно, что величина имеет распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы. Таким образом определяется как решение уравнения . Для нахождения решения которого, используется таблица распределения Стьюдента.
Следует отметить тот факт, что при неограниченном возрастании объема выборки распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n > 30 можно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением. Однако важно подчеркнуть, что для малых выборок (n<30 ), в особенности для малых значений n замена распределения нормальным приводит к грубым ошибкам, а именно к неоправданному сужению доверительного интервала, т. е. к повышению точности оценки.
То обстоятельство, что распределение Стьюдента при малой выборке дает не вполне определенные результаты (широкий доверительный интервал), вовсе не свидетельствует о слабости метода Стьюдента, а объясняется тем, что малая выборка, разумеется, содержит малую информацию об интересующем нас признаке.
Доверительные интервалы для оценки среднеквадратического отклонения нормального распределения
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднеквадратическое отклонение по “исправленному” выборочному среднеквадратическому отклонению s. Поставим перед собой задачу найти доверительные: интервалы, покрывающие параметр с заданной надежностью , т. е. потребуем, чтобы выполнялось соотношение .
Для нахождения при данном значении и n используют таблицу значений функции . Найденное значение подставляют в следующую формулу , в случае если и в формулу (поскольку всегда число неотрицательное), если .
Найденный интервал позволяет оценивать точность проведенных , в некотором опыте, измерений. Как известно в теории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью среднеквадратического отклонения случайных ошибок измерений. Для оценки используют “исправленное” среднеквадратическое отклонение s. Поскольку обычно результаты измерений взаимно независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае равноточных измерений), то доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения теория, применим для оценки точности измерений.