Лабораторная работа № 3

Специальные приемы решения задач (рекурсия и построение

вычислительных схем специального вида)

Цель работы: изучение технологии построения компьютерных моделей с использованием рекуррентного определения функции и приобретение практических навыков построения специфических числительных схем.

Содержание

Изучаются вопросы:

1. Понятие рекуррентного определения функции.

2. Технология построения компьютерных моделей с пользованием рекуррентного определения функции.

Выполняется вариант задания.

Указания

Пусть требуется решить следующие задачи.

Задача 1. Определить ряд сумм, образующихся на депозитном счете в банке, на конец каждого из N месяцев при условиях: 1) в начале первого месяца на счет была положена сумма Р₀, а в конце каждого из N месяцев - соответственно суммы А1, ..., A_N,; 2) месячная процентная ставка фиксированная и составляет р%, 3) начисление идет по схеме простых процентов.

Требуется:

1. Разработать компьютерные модели решения задачи.

2. Ввести конкретные значения параметров и решить задачу.

Первый способ решения

Математические основы решения задачи. Математическая модель решения по простому проценту при фиксированной процентной ставке и однократном вложении средств общеизвестна и представляет ой выражение вида:

F=P₀(l+nr).

Исходя из условия задачи, имеем следующие равенства:

F₀ = P_0(l+nr),

F₁ = P₁(l+nr),

F„ = A_m

где F₀ - будущая стоимость начальной суммы Р₀, F_k - будущая стоимость суммы А_к на конец n-го интервала начисления процентов.

Следовательно,

F = F_l = Po(1+nr) + A ₁ (1+ (n-1)r) + ...+A_n

Реализовать такую функцию в OpenOffice.org Calс непосредственно затруднительно, поскольку с увеличением N (срока) увеличивается количество слагаемых, т.е. для каждого следующего значения N требуется добавлять в формулу еще одно слагаемое. Автоматизировать такой процесс можно только с помощью рекуррентного определения функции.

Рекуррентное определение функции F имеет вид:

Построение компьютерной модели и решение задачи. В рамках OpenOffice.org Calс подготовим модель решения. В ячейку А1 введем текст Исходная сумма, в ячейку А2 — текст Проц. ставка, в ячейку A3 - текст Срок, в ячейку А4 — Доп. вклады, в ячейку А5 - Буд. стоимость. Построим последовательность 0 1 2 3 4 5 в интервале B3:G3 и последовательность вкладов 40 50 60 70 80 в интервале C4:G4. Реализуем рекуррентную схему определения функции, задающую будущую стоимость: в ячейку B4 введем формулу =В1, в ячейку С5 - формулу вида:

=B5+($B$1+SUM($B$4:B4)*$B$2+C4)

. Последнюю формулу скопируем в интервал D5:G5. В результате получим следующую модель решения (рис. 85).

Рис. 85. Модель решения задачи ^^^^^^^

Введем конкретные значения параметров задачи. В ячейку В1 н........

значение Р₀ - 1000, в ячейку В2 - значение р = 10%. В результате получим решение задачи (табл. 57).

Таблица I

	А		с	D	Е	F	G
1 2	Исходная сумма Проц. ставка
А	Срок	0	1	2	3	4	1
4	Доп. вклады		40	50	60	70	hi
^ъ	Буд. стоимость	1000	114Q	1294	1463	1648	Ш

А4:А8 В4:В8

215 Второй способ решения

В рамках Excel подготовим модель решения. Положим N = 4, о = 1000 и значения дополнительных вкладов в виде |>следовательности: 30 40 50 60. Объединим ячейки A1:G1 в одну и исдем в нее текст Вычислительная схема решения специального вида, в и-йку А2 - текст Проц. ставка, в ячейку A3 - текст Срок, в ячейку А9 -jkct Буд. стоимость. Построим в интервалах ячеек C3:G3 и оследовательность: 0 1 2 3 4, в интервале ячеек пеледовательность: 1000 40 50 60 70.

В ячейку С4 введем формулу вида (1) в алфавите языка формул Excel исциального вида: =$В4*(1+(С$3-$А4)*$В$2) и скопируем ее «следовательно в ячейки D5, Е6, F7 и G8.

Скопируем формулы, полученные в ячейках С4, D5, Е6, F7 и G8, с (пользованием Автозаполнителя соответственно в интервалы ячеек: 4G4; E5:G5; F6.G6; G7:G7.

Построим в ячейке С9 формулу суммирования содержимого итервала ячеек С4:С8 вида: =СУММ(С4:С8), затем скопируем iпервая D9:G9.

Получим следующую модель решения (рис. 86).

Введем конкретные значения параметров задачи. В ячейку начение р = 10%.

В результате получим решение задачи (табл. 58).

ее в

В2

	А Вы	В G		D зешения с	Е Г F		G
		числителы	<ая схема		пециапьного вида
1
2	Проц. ставка	ю%;
3	Срок		t о] =$В4*(1+(	11 2		3	4
				:-J3-JA4)*JBJ2)|
4	о| юоц
5	1 40
R	2	50
7	3	60
8	4	70
ч			=СУММ(С4:(
<п

Рис. 86. Модель решения задач

Таблица 58

	А	В	С	о	Е I F		G
1	Вычислительная схема решения специального вида
2	Проц. ставка	10%
3	Срок		0	1	2	3	4
4	С	1000	1000	1100	1200	1300	1400
5	1	40		40	"44	48	52
0	2	50			50	55	6С
7	3	60				60	66
8	4	70					70
9	Буд. стоимость		1000	1140	1294	1463	1648

216 Задача 2. Определить ряд сумм, образующихся на депозитном i чем в банке, на конец каждого из N месяцев при условиях: 1) в ним 11 первого месяца на счет была положена сумма Р₀, а в конце каждою >■ месяцев - одна и та же сумма, равная А; 2) месячная процентная i < нефиксированная и составляет р,% в /-м месяце, 3) начисление ид< схеме простых процентов.

Первый способ решения

Математические основы решения задачи. Исходя из усл(.....ч

задачи, в общем случае имеем следующие соотношения:

F₀=/>

f

F₀ = A_t\l+Јr_l . '=3 J

F„ = A„.

n ( n

Отсюда получаем: F = £ F_i, = P₀ 1 + ]T/,

/=0 I M J

При условии А ] = A₂ = ... = A„ = А имеем:

+ A

i+Zi

i-2 J

+ ... + A„

1=0

/=i

^F=t/_i=Po\l + tr_i}+A-_{n +} A({_n-l)r_n+... _{+ r2}).

Непосредственное построение такой формулы в рамках I ' затрудненно, поэтому удобнее пользоваться рекуррам определением: Ш

^=^-₁+(/^>о+4*-0Ь+^

см

Построение компьютерной модели и решение задачи. В рам

Excel подготовим модель решения. Пусть N = 5. Разместим исхо данные задачи в первых трех строках электронной таблицы: \тп 0 12 3 4 5в интервале ячеек B2:G2, ряд процентных сташм 10% 20% 30% 40% 50% в интервале B3:G3 (табл. 59).

Объединим ячейки A4:G4 в одну и введем в нее текст Рекурреи вычислительная схема решения, в ячейку А5 - текст Исходная сумм,. | ячейку А6 - текст Доп. вклад, в ячейку А7 - текст Срок, в ячейку А8 - i ■ i