- •1.Взаємо-однозначна відповідність. Еквів. Множин.
- •2. Потужність множин. Порівняння потужностей.
- •3. Теорема Кантора-Бернштейна.
- •4. Поняття зчисленної множини. Найпростіші властивості.
- •5. Об'єднання зчисленної кількості зчисленних множин
- •6. Зчисленність множин цілих, раціональних чисел.
- •7. Алгебраїчні числа. Зчисленність мн-ни алг. Чисел.
- •8. Незчисленність чисел відрізку [0;1]
- •10. Підмножини даної множини. Існування потужності, вищої від даної.
- •11. Граничні точки множини. Замкнені множини, властивості замкнених множин.
- •12. Внутрішні точки множини. Відкриті множини. Властивості відкритих множин.
- •13. Критерій відкритої підмножини дійсних чисел
- •14. Критерій замкненої підмножини дійсних чисел.
- •15. Побудова канторової множини дійсних чисел
- •16. Властивість касторової множини(непорожність, замкненість, потужність множини кінців суміжніх інтервалів.)
- •17.Потужність точок канторової множини
- •18.Зовнішня міра Лебега лінійної множини.
- •19. Приклади скінченних, зчисленних множин та їх міри Лебега.
- •21. Вимірність обмеженої відкритої множини
- •22. Вимірність обмеженої замкненої множини
- •23. Вимірність канторової множини, її міра Лебега
- •24. Вимірні функції
- •25. Властивості вимірних функцій: вимірність суми, різниці, добутку та частки вимірних функцій.
- •26. Інтеграл Рімана. Критерій інтегрованості функції за Ріманом.
- •26. Інтеграл Рімана. Критерій інтегрованості функції за Ріманом.
- •27. Прості функції, інтеграл Лебега від простої функції.
- •28. Інтеграл Лебега, його найпростіші властивості
- •20.Властивості міри Лебега.
- •9.Множини потужності континуум та їх властивості.Потужність множини дійсни числ.
- •29. Рівність функцій майже всюди та інтеграл Лебега.
- •30. Зв'язок інтеграла Рімана та інтеграла Лебега. Інтеграл Рімана .
- •31. Граничний перехід під знаком інтегралу Лебега
- •33. Нерівність Чебишева
- •34. Наслідок з нерівності чебишева. Простори
- •35. Звязок інтегралів Рімана та Лебега
10. Підмножини даної множини. Існування потужності, вищої від даної.
Множина A називається підмножиною множини B (записується A B або B A) тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини A належить також множині B. Кажуть також, що множина A міститься у множині B. Знаки і називаються знаками включення.
Неважко переконатись, що A=B тоді і тільки тоді, коли одночасно виконуються два включення: A B і B A. Крім того, якщо A B і B C, то A C. Останні два факти часто використовуються при доведенні тверджень про рівність двох заданих множин.
Якщо A B, однак A B, то пишуть A B і називають множину A власною (строгою або істинною) підмножиною множини B. Знак (або ), на відміну від знака (або )), називається знаком строгого включення.
Очевидно, що для будь-якої множини A виконується A A. Крім того, прийнято вважати, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини A, тобто A (зокрема, ).
Слід чітко розуміти різницю між знаками і і не плутати ситуації їхнього вживання. Якщо {a} M, то a M, і навпаки.
Однак із включення {a} M, взагалі кажучи, не випливає {a} M. Для будь-якого об’єкта x виконується x . Наприклад, для множини D (1.1) і її елементів виконуються такі співвідношення: {a,b} D, {{a,b},{b,c}} D, a {a,b}, {c} {a,c}, {a} {a,b}.
11. Граничні точки множини. Замкнені множини, властивості замкнених множин.
Озн. Точка а – гранична точка множини М, якщо деякий окіл точки а (деяка відкрита множина, що містить а) має нескінченну кількість елементів множини М.
Озн. Множина називається замкненою, якщо М містить всі свої граничні точки.
Властивості замкнених
Переріз замкнених множин – замкнена множина.
Дов. (Fn= замкнена множина) (Fn – відкрита мн.) буде відкрита замкнена C( )= .
Об’єднання скінченної кількості замкнених – замкнена мн.
жодної точки не має, і граничної точки, тому замкнена.
Весь простір – замкнена мн. (бо містить всі точки, зокрема і граничні.)
Якщо F – замкнена мн., то тоді доповнення CF – відкрита мн..
12. Внутрішні точки множини. Відкриті множини. Властивості відкритих множин.
Множина X R наз. відкритою, якщо кожна точка цієї множини x0 X має інтервал (а; b), якому вона належить x0 (a; b) і (а; b) Х.
Властивості відкритих множин.
Об’єднання відкритих множин є відкрита множина.
Дов. Якщо x0 знайдеться неперервне n0, таке що, x0 і – відкрита множина, т.т. знайдеться I=(a; b), таке що, x0 (a; b) і (а; b) , тоді і (а; b) і x0 (a; b)
Переріз скінченної кількості відкритих множин – відкрита множина.
відкрита
Увесь простір R – відкрита множина.
Дов. Якщо дана x0 R, то тоді і x0 ( )=R, т.т. R – відкрита множина.
Якщо А – відкрита множина, то її доповнення до усього простору – замкнена множина.
13. Критерій відкритої підмножини дійсних чисел
Точка х називається внутрішньою точкою множини М, якщо існує окіл (х) цієї точки, який цілком міститься в М.
Множина, всі точки якої внутрішні, наз. Відкритою.
Теорема. Якщо множина М була відкрита, необхідно і достатньо, щоб її доповнення R\M до всьогопростору R було замкнуте.
Доведення: Якщо М відкрита, то кожна точка х з М має окіл, який повністю належить М, тобто такий що не має жодної спільної точки з R\ M. Отже , жодназ точок, які не належать R\M, не може бути точкою дотику для R\M, тобто R\M замкнуте. Навпаки, якщо R\M замкнуте, то будь-яка точка М має окіл, який повністю лежить в М, тобто М відкрита.
Оскільки порожня множина і всі R замкнуті і водночас є доповненнями одна одної, то порожня множина і всі R відкриті.
Теорема. Сума будь-якого числа і перетин будь-якого скінченного числа відкритих множин є відкиті множини.
Теорема. Доповнення відкритої множини є множина замкнена.
E={[1;2]}-замкнена,
CE={(- )(2;+ )}- відкрита.
Теорема. Обєднання будь-якої кількості відкритих множин, множина відкрита.
Теорема. Переріз скінченної кількості відкритих множин, множина відкрита.
Теорема. Будь-яка відкрита множина на числовій прямій є сумою скінченного або зліченного числа інтервалів, які попарно не перетинаються