- •1.Взаємо-однозначна відповідність. Еквів. Множин.
- •2. Потужність множин. Порівняння потужностей.
- •3. Теорема Кантора-Бернштейна.
- •4. Поняття зчисленної множини. Найпростіші властивості.
- •5. Об'єднання зчисленної кількості зчисленних множин
- •6. Зчисленність множин цілих, раціональних чисел.
- •7. Алгебраїчні числа. Зчисленність мн-ни алг. Чисел.
- •8. Незчисленність чисел відрізку [0;1]
- •10. Підмножини даної множини. Існування потужності, вищої від даної.
- •11. Граничні точки множини. Замкнені множини, властивості замкнених множин.
- •12. Внутрішні точки множини. Відкриті множини. Властивості відкритих множин.
- •13. Критерій відкритої підмножини дійсних чисел
- •14. Критерій замкненої підмножини дійсних чисел.
- •15. Побудова канторової множини дійсних чисел
- •16. Властивість касторової множини(непорожність, замкненість, потужність множини кінців суміжніх інтервалів.)
- •17.Потужність точок канторової множини
- •18.Зовнішня міра Лебега лінійної множини.
- •19. Приклади скінченних, зчисленних множин та їх міри Лебега.
- •21. Вимірність обмеженої відкритої множини
- •22. Вимірність обмеженої замкненої множини
- •23. Вимірність канторової множини, її міра Лебега
- •24. Вимірні функції
- •25. Властивості вимірних функцій: вимірність суми, різниці, добутку та частки вимірних функцій.
- •26. Інтеграл Рімана. Критерій інтегрованості функції за Ріманом.
- •26. Інтеграл Рімана. Критерій інтегрованості функції за Ріманом.
- •27. Прості функції, інтеграл Лебега від простої функції.
- •28. Інтеграл Лебега, його найпростіші властивості
- •20.Властивості міри Лебега.
- •9.Множини потужності континуум та їх властивості.Потужність множини дійсни числ.
- •29. Рівність функцій майже всюди та інтеграл Лебега.
- •30. Зв'язок інтеграла Рімана та інтеграла Лебега. Інтеграл Рімана .
- •31. Граничний перехід під знаком інтегралу Лебега
- •33. Нерівність Чебишева
- •34. Наслідок з нерівності чебишева. Простори
- •35. Звязок інтегралів Рімана та Лебега
30. Зв'язок інтеграла Рімана та інтеграла Лебега. Інтеграл Рімана .
Інтеграл Рімана . Цей інтеграл не належить від способу вибору відмічених точок . Вводиться для обмеженої на [a; b] f(x) cуми Дарбу , де . ,де
Теорема.(критерій інтегрованості f(x)): інтеграл Рімана від обмеженої f(x) на [a; b]
Теорема 1(критерій інтегрованості за Ріманом): інтеграл Рімана від обмеженої f(x) на [a; b] ∃⇔ міра Лебега всіх точок розриву f(x) на [a; b] рівна 0.
Випадки:1) f(x) неперервна на [a; b], тоді точок розриву на [a; b] не буде інтегрована за Ріманом на [a; b]. 2) f(x) на [a; b] має скінчену кільк. точок розриву , тоді кусково неперервна f(x) інтегрована за Ріманом на [a; b]. 3) функція Діріхле D(x)= . Якщо - деяка точка, то в її околі буде безліч рац. точок, так і іррац. А) візьмемо послідов. , і - рац. точки .
Тоді D(x)=0 . Б) , і -іррац. точки . Тоді D(x)=1 . Точки розриву функцій Діріхле – це всі точки числової прямої. Якщо розглядати , то . Тоді ,
Теорема. Якщо ф-я f(x) обмежена на [a; b] і інтеграл Рімана , то тоді інтеграл Лебега [a;b] .
31. Граничний перехід під знаком інтегралу Лебега
Теорема (Лебега про граничний перехід під знаком -інтеграла). Нехай , причому -скрізь на E. Тоді , 0 і, якщо p = 1 або , то
Зауваження. Нерівність можна вимагати | |- скрізь на E.
Розглянемо тепер послідовність ( ) функцій , яка збігається – скрізь на Е до функції , причому , а функція . Вирішимо питання про – інтегрованість функції і відповідну рівність .
Спочатку вважаємо, що . Тоді можна утворити . Зрозуміло, що
утворимо також функції
які задовольняють нерівності
І тому З іншого боку,
За наслідком кожна функція Тому за теоремою Бенно Леві . Звідси, враховуючи нерівності
та умову, що – скрізь на Е, знову за теоремою Бенно Леві дістаємо, що і, коли додатково p=1 або , то
Аналогічно доводимо, що . Тому з нерівностей за властивістю монотонності –інтеграла дістаємо, що , коли p=1 або |μ|(E)<+∞.
Нехай тепер , де Ф – довільний бананів простір. Тоді , коли m і n –скрізь на Е, оскільки і –скрізь на Е. Крім того, . Тому за доведенням для будь-яких послідовностей і .
Звідси випливає, що , коли m і n , тобто послідовність фундаментальна у просторі . Тепер, як і при доведенні теореми Бенно Леві, доводимо, що і, коли p=1 або , то
32. Теореми Б.Леві та Фату
33. Нерівність Чебишева
Якщо на мн. А і , то тоді
Дов. , тоді
. і ці ддві множини не перетинаються
Ділисо на с ,маємо
.
34. Наслідок з нерівності чебишева. Простори
Якщо , то тоді f(x)=0 майже всюди на множині А.
Дов. і с= ,
для всіх
Остаточно
Зауваження.
– множина всіх f(x) для яких існує
А) для всіх f є , при чому f=0.
Простори і т. п. з інтегралом Лебега при переверці 1-ї аксіоми норми
на А т. т
Наслідок 2. Якщо
Дов. аналогічне доведення
Зауваження.