- •1.Взаємо-однозначна відповідність. Еквів. Множин.
- •2. Потужність множин. Порівняння потужностей.
- •3. Теорема Кантора-Бернштейна.
- •4. Поняття зчисленної множини. Найпростіші властивості.
- •5. Об'єднання зчисленної кількості зчисленних множин
- •6. Зчисленність множин цілих, раціональних чисел.
- •7. Алгебраїчні числа. Зчисленність мн-ни алг. Чисел.
- •8. Незчисленність чисел відрізку [0;1]
- •10. Підмножини даної множини. Існування потужності, вищої від даної.
- •11. Граничні точки множини. Замкнені множини, властивості замкнених множин.
- •12. Внутрішні точки множини. Відкриті множини. Властивості відкритих множин.
- •13. Критерій відкритої підмножини дійсних чисел
- •14. Критерій замкненої підмножини дійсних чисел.
- •15. Побудова канторової множини дійсних чисел
- •16. Властивість касторової множини(непорожність, замкненість, потужність множини кінців суміжніх інтервалів.)
- •17.Потужність точок канторової множини
- •18.Зовнішня міра Лебега лінійної множини.
- •19. Приклади скінченних, зчисленних множин та їх міри Лебега.
- •21. Вимірність обмеженої відкритої множини
- •22. Вимірність обмеженої замкненої множини
- •23. Вимірність канторової множини, її міра Лебега
- •24. Вимірні функції
- •25. Властивості вимірних функцій: вимірність суми, різниці, добутку та частки вимірних функцій.
- •26. Інтеграл Рімана. Критерій інтегрованості функції за Ріманом.
- •26. Інтеграл Рімана. Критерій інтегрованості функції за Ріманом.
- •27. Прості функції, інтеграл Лебега від простої функції.
- •28. Інтеграл Лебега, його найпростіші властивості
- •20.Властивості міри Лебега.
- •9.Множини потужності континуум та їх властивості.Потужність множини дійсни числ.
- •29. Рівність функцій майже всюди та інтеграл Лебега.
- •30. Зв'язок інтеграла Рімана та інтеграла Лебега. Інтеграл Рімана .
- •31. Граничний перехід під знаком інтегралу Лебега
- •33. Нерівність Чебишева
- •34. Наслідок з нерівності чебишева. Простори
- •35. Звязок інтегралів Рімана та Лебега
14. Критерій замкненої підмножини дійсних чисел.
Множина М, що лежить у просторі R, називається замкнутою, якщо вона збігається з своїм замиканням: [M] = M . Інакше кажучи множина наз замкнутою, якщо вона містить всі свої граничні точки.
Теорема. Перетин будь-якого числа і сума будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнуті множини.
Доведення: Нехай F∩ -перетин замкнутих множин і нехай х- гранична точка для F. Це означає, що будь-який її окіл (х) має нескінченно багато точок з F. Але тоді тим більше (х) має нескінченно багато точок з , і отже, бо всі замкнуті, точка х належить кожній , отже хє F∩ -, тобто F замкнута.
Нехай тепер F – сума скінченного числа замкнутих множин: F і нехай точка х не належить F. Покажемо, що х не може бути граничною для F. Справді, х не належить жодній з замкнутих множин Fі , отже не є граничною ні для жодної із них. Тому для кожної і можна знайти окіл (х) точки х, яка має не більше як скінченне число точок з Fі . Взявши з околів (х),…, (х) найменший, дістанемо окіл (х) точки х, що містить не більше як скінченне число точок з F.
Отже, якщо точка х не належить F, то вона не може бути граничною для F, тобто F замкнута. Теорему доведено.
Теорема1: Похідна будь-якої замкненої множини є множина замкнена.
Замиканням множини М наз. Об’єднання цієї множини з похідною множиною.
Теорема 2. (A B)
Теорема 3. Об’єднання скінченної кількості замкнених множин , множина замкнена.
Теорема 4. Переріз будь-якої кількості замкнених множин, множина замкнена
М cE=R
Теорема 5. Доповнення замкненої множини є множина відкрита.
Замкнута множина- це доповнення відкритих, то звідси випливає, що будь-яка замкнута множина на прямій утворює викидання з прямої скінченного або зліченного числа інтервалів.
15. Побудова канторової множини дійсних чисел
16. Властивість касторової множини(непорожність, замкненість, потужність множини кінців суміжніх інтервалів.)
Нехай F0-відрізок [0,1].Викинемо з нього інтервал ( , ), решту замкнуту множину позначимо F1. Потім викинемо з F1 інтервал ( , ) і ( , ), а замкнуту множину, яка залишилася(з 4-х рідрізків), позначимо F2, у кожному з 4-х відрізків викинемо середній інтервал довжиною ( )3 і т.д.
Продовжуючи цей процес, дістанемо спадну послідовність замкнутих множин Fn.
Припустимо, що F= , F- замкнута множина(як перетин замкнутих). Вона утворюється з відрізка [0,1]викиданням зліченного числа інтервалів.
Розглянемо структуру множини F. Їй належать точки 0,1, , , , , , -кінці інтервалів, які викидають. Однак множина F не вичерпується цими точками.Точки відрізка [0,1], які входять у множину F, охарактеризуємо так. Кожне з чисел x, 0 1 в трійковій системі x= + + +….. , де можуть набувати значень 0,1,2. Як і у випадку десяткових дробів числа допускають запис = + + +…..= + +…+ +…..Множині F належить числа x, 0 1 , які можна записати хочаб одним способом , у вигляді трійкового дробу так, щоб послідовність ,…., (2) , де . Сукупність таких послідовностей утворює множину потужності континууму.
У цьому можна впевнитись, поставивши у відповідність кожній послідовності (2 ) послідовність ,…., (3) де 0 і =1, якщо =2. Послідовність (2) можна розглядати як запис деякого дійсного числа у, 0 1 , у вигляді двійкового дробу. Отже, ми дістанемо відображення множини F на весь відрізок [0,1]. Звідси випливає, що F має потужність континууму. Оскільки множина точок (1) зчисленна , то ці точки не можуть вичерпувати всю F.
Теорема: Після вилучення з численної прямої скінченної або зчисленної кількості інтервалів, які перетинаються одержимо замкнену множину.