Математический анализтеория рядов

+∞dx

+∞

−λ

1

1−λ

x =+∞

1

1

R n ≤

∫x λ

=

∫

x

dx =

x

=

.

1−λ

x =n

λ −1

nλ−1

n

n

§4. Признак Куммера

Признак Куммера является весьма общим признаком сходимости положительных рядов. Его можно рассматривать как общую схему для получения конкретных признаков. Как частные случаи из него получаются удобные для практического применения признаки сходимости положительных рядов.

Теорема 1 (признак Куммера).

Пусть имеется строго положительный ряд

∞
∑an .	(1)

n=1

Пусть {cn}n N - последовательность положительных чисел, произвольная, но такая, что ряд

			∞		1
			∑					(2)
					c
			n=1 n
	расходится. Составим для ряда (1) переменную
	K	n	= c		an		−c	+1
				a
			n				n
					n+1

( Kn - переменная Куммера). Тогда:

1. Если, начиная с некоторого места, т.е. для n ≥ N* ( N* N ), оказывается

Kn ≥ s ,	(3)
где s >0 - определенное число, то ряд (1) сходится.	( N** N ),
2. Если, начиная с некоторого места, т.е. для n ≥ N**
оказывается
Kn <0 ,	(4)
то ряд (1) расходится.

* 1а. Рассмотрим сначала случай, когда неравенство (3) выполняется для n =1, 2, 3,K (т.е. для любого n N ). Но тогда (cnan −cn+1an+1 ) ≥ san+1 >0 для любого n N cnan >cn+1an+1 для любого n N {cnan}n N - монотонно убывающая последовательность. Ясно, что эта последовательность ограничена

21

снизу, например, числом	0	(cnan >0 для всех		n N ). Значит, существует
конечный предел l = lim (c a			).
n→∞	n n
Введем теперь в рассмотрение ряд
			∞
			∑(cnan −cn+1an+1 ).	(5)

n=1

Пусть sn - n-ая частичная сумма ряда (5). Имеем

sn = (c1a1 −c2 a2 ) +(c2 a2 −c3a3 ) +K+(cn−1an−1 −cnan ) +(cnan −cn+1an+1 ) = = (c1a1 −cn+1an+1 )

lim sn = lim (c1a1 −cn+1an+1 ) = (c1a1 −l ) существует, конечный. Значит, ряд

n→∞ n→∞

(5) сходится.

У нас

(cnan −cn+1an+1 ) ≥ san+1

для любого n N .

По первому признаку

∞

сравнения,

из

сходимости ряда

(5) следует

сходимость ряда

∑san+1

∞

n=1

сходимость ряда ∑san сходимость ряда (1).

n=1

1б. В случае, когда неравенство (3) выполняется для n > N* , где N* N ,

вместо ряда (1) следует рассматривать его

остаток

после

N* -го

члена,

а

именно ряд

∞

~

∑an .

( 1 )

~

n=N * +1

У

уже

все члены,

начиная

с

первого,

будут удовлетворять

ряда ( 1 )

~

неравенству (3). А тогда по доказанному выше ряд ( 1 ) будет сходящимся, а

значит, будет сходиться и ряд (1), так как ряд и его остаток после N* -го члена

сходятся или расходятся одновременно.

an

2. По условию K

n

<0 для всех n ≥ N

**

( N

**

N ), т.е. c

−c

<0

a

n

n+1

1

n+1

an+1 >

cn

an+1 >

cn+1

для всех n ≥ N**

( N** N ). А тогда по третьему

an

cn+1

an

1

cn

признаку сравнения из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1).

22

Замечание. Условие теоремы 1, что ряд (2) расходится, используется лишь при доказательстве пункта 2.

Теорема 2 (признак Куммера в предельной форме). Пусть имеется строго положительный ряд

∞
∑an .	(1)

n=1

Пусть {cn}n N - последовательность положительных чисел, произвольная, но такая, что ряд

					∞
					∑	1			(2)
						c
				an	n=1		n
	расходится. Пусть K	n	= c		−c		. Пусть существует конечный		или
				a
			n		n+1
				n+1

бесконечный предел l = lim Kn . Тогда:

n→∞

1.Если l >0 , то ряд (1) сходится.

2.Если l <0 , то ряд (1) расходится.

*

1а. Пусть l >0 , конечное. Возьмем

ε >0

любое, но такое, что l −ε >0 . По

0

l−ε

l +ε

l

условию l = lim Kn

взятому ε >0

n→∞

отвечает номер N*

такой, что l −ε < Kn <l + ε, если n > N*

в частности,

Kn >l −ε, если n > N*

( N* N ). Но тогда по теореме 1

заключаем, что ряд

(1) сходится (в роли числа s >0 выступает число l −ε).

1б. Пусть l = +∞. Имеем

lim Kn = +∞. Это означает,

что любому числу

n→∞

M >0

отвечает номер

N* такой, что Kn >M , если

n > N* ( N* N ). Но

тогда по теореме

1 заключаем, что ряд (1) сходится

(в роли числа s >0

выступает число M >0 ).

2а.

Пусть l <0 ,

конечное. Возьмем

число ε >0 любое, но такое, что l + ε <0 .

l−ε

l +ε

0

l

По условию l = lim Kn

взятому ε >0

n→∞

отвечает номер N** такой, что l −ε < Kn <l + ε, если n > N**

в частности,

Kn <l + ε ( <0), если n > N** . Но тогда по теореме 1 заключаем, что ряд (1) расходится.

23

∑∞ c1

n=1 n

2б. Пусть l = −∞. Имеем lim Kn = −∞. Это означает, что любому числу

n→∞

M >0 отвечает номер N** такой, что Kn < −M ( <0), если n > N** . Но тогда по теореме 1 заключаем, что ряд (1) расходится.

Замечание. Если lim Kn = 0 , то признак Куммера не дает ответа на вопрос

n→∞

о поведении ряда (1).

Покажем теперь, как при помощи признака Куммера можно получить некоторые важные признаки сходимости положительных рядов как частные случаи его.

1. Пусть cn =1, для любого n N . Ряд

=1+1+1+K+1+K

					∞
	расходится, так что условие,			чтобы ряд ∑		1	расходился, соблюдено. Имеем
						c
		an		an	n=1 n
	Kn =		−1. Положим Dn =		( Dn - переменная Даламбера). Тогда
		an+1		an+1
				Kn = Dn −1.			(6)

Пусть существует конечный или бесконечный предел

l = lim Dn .

n→∞

Видим из (6):

1) если l >1, то lim Kn >0 и, следовательно, ряд (1) сходится.

n→∞

2) если l <1, то lim Kn <0 и, следовательно, ряд (1) расходится.

n→∞

3) если l =1, то ничего определенного о поведении ряда (1) сказать нельзя. Получен, таким образом, признак Даламбера.

Пусть имеется строго положительный ряд

		∞
		∑an .	(1)
	an	n=1
Пусть Dn =		. Пусть существует конечный или бесконечный предел
	an+1

l = lim Dn .

n→∞

Тогда:

1)если l >1, то ряд (1) сходится.

2)если l <1, то ряд (1) расходится.

24

∞

∞

2. Пусть

cn = n

для любого n N . Ряд ∑

1

= ∑n1

расходится (это -

c

гармонический ряд). Имеем

n=1 n

n=1

an

an

K

= c

−c

= n

−(n +1) = n

an

−1

−1.

n

n a

n+1

a

a

n+1

n+1

n+1

an

Положим R

n

= n

−1

( R

n

- переменная Раабе). Тогда

a

n+1

Kn = R n −1.

(7)

Пусть существует конечный или бесконечный предел

l = lim R n .

n→∞

Из (4.7) следует:

1) если l >1, то lim Kn >0 и, следовательно, ряд (1) сходится;

n→∞

2) если l <1, то lim Kn <0 и, следовательно, ряд (1) расходится;

n→∞

3) если l =1, то ничего определенного о поведении ряда (1) сказать нельзя. Получен, таким образом, признак Раабе.

Пусть имеется строго положительный ряд

						∞
						∑an .	(1)
						n=1
					an
	Пусть	R	n	= n		−1 . Пусть существует конечный или бесконечный предел
				a
					n+1

l = lim R n . Тогда:

n→∞

1)если l >1, то ряд (1) сходится;

2)если l <1, то ряд (1) расходится.

Замечание. Имеем

	R n = n(Dn −1) .	(8)
Из (8) следует:
1) если lim Dn >1, то lim R n = +∞;
n→∞	n→∞
2) если lim Dn <1, то lim R n = −∞.
n→∞	n→∞

Видим, что всего лишь двумя значениями предела переменной Раабе, а именно

lim R n = +∞ и	lim R n = −∞, охватываются все случаи, когда признак
n→∞	n→∞

25

Даламбера дает ответ на вопрос о поведении ряда (1). Следовательно, признак Раабе значительно сильнее признака Даламбера.

∞

∞

1

3. Пусть cn = n ln n . Ряд

∑

1

= ∑

расходится (это было показано

c

n ln n

n=2

n

n=2

ранее, см. §3, пример 2). Имеем:

K

n

= c

an

−c

= n ln n

an

−(n +1)ln (n +1) =

a

n a

n+1

n+1

n+1

a

1

= n ln n

n

−(n +1)ln

n 1

+

=

a

n

n+1

= n ln n

a

1

n+1

a

1 n+1

n

−(n

+1)ln n

−ln 1

+

n

= ln n

n

n

−1

−1

−ln 1

+

.

a

a

n

n+1

n+1

Положим B

= ln n

n

an

−1

−

1

( B

- переменная Бертрана). Тогда

n

a

+1

n

n

n+1

Kn = Bn

1

(9)

−ln 1+

n

.

Пусть существует конечный или бесконечный предел

l = lim Bn .

1 n+1

n→∞

+

Так как lim ln 1

=1, то из (9) следует:

n→∞

n

1)	если l >1, то lim Kn >0 и, следовательно, ряд (1) сходится;
				n→∞
2)	если l <1, то lim Kn <0 и, следовательно, ряд (1) расходится;
				n→∞
3)	если l =1, то ничего определенного о поведении ряда (1) сказать нельзя.
Получен, таким образом, признак Бертрана.
Пусть имеется строго положительный ряд
								∞
								∑an .	(1)
								n=1
Пусть B			= ln n		n	an	−1	−1 . Пусть существует конечный	или
		n			a
						n+1
бесконечный предел l = lim B n . Тогда:
						n→∞
1)	если l >1, то ряд (1) сходится;

26

2)	если l <1, то ряд (1) расходится.
Замечание. Имеем		B n = ln n (R n −1) .	(10)
Из (10) следует:
1)	если lim R n >1, то lim Bn = +∞;
	n→∞	n→∞
2)	если lim R n <1, то lim Bn = −∞.
	n→∞	n→∞

Видим, что всего лишь двумя значениями предела переменной Бертрана, а

именно lim Bn = +∞ и lim Bn = −∞, охватываются все случаи, когда признак

n→∞ n→∞

Раабе дает ответ на вопрос о поведении ряда (1). Следовательно, признак Бертрана значительно сильнее признака Раабе.

4. Признак Гаусса.

Пусть имеется сторого положительный ряд

∞

∑an .

(1)

an

n=1

Пусть отношение

представимо в виде:

a

n+1

an

µ

θn

= λ +

+

,

(11)

a

n

nα

n+1

где λ, µ, α - некоторые числа, причем α >1;

θn

- ограниченная переменная,

т.е. существует число M >0 такое, что

θn

≤ M , для любого n N . Тогда:

1)если λ >1 (µ - любое), то ряд (1) сходится;

2)если λ <1 (µ - любое), то ряд (1) расходится;

3)если λ =1, а µ >1, то ряд (1) сходится;

4) если λ =1, а µ ≤1, то ряд (1) расходится.

α)

Пусть

λ ≠1.

Из

(11)

следует lim

an

= λ (при

любом

µ)

по

n→∞ a

n+1

признаку Даламбера ряд (1) сходится,

если λ >1 (µ - любое), и расходится,

если λ <1 (µ - любое).

β) Пусть λ =1, а µ ≠1. В этом случае соотношение (11) имеет вид

an

an

µ

θn

θn

=1+ µ

+ θn

−1 =

+

n

an

−1 = µ +

,

a

a

n

nα

nα−1

n

nα

a

n+1

n+1

n+1

27

т.е. R

n

= µ +

θn

lim R

n

= µ.

nα−1

n→∞

если µ >1 ( λ =1) и

По признаку Раабе заключаем: ряд

(1)

сходится,

расходится, если µ <1 ( λ =1).

γ) Пусть λ =1, µ =1. В этом случае соотношение (11) имеет вид

an

1

θn

θn

=1+

+

n

an

−1 −1 =

a

n

nα

nα−1

a

n+1

n+1

после умножения обеих частей равенства на ln n получаем

an

θn ln n

= θn ln n .

ln n

n

−1 −1

=

, т.е. B

a

nα−1

n

nα−1

n+1

1

ln x

1

1

Имеем lim

= lim

x

= lim

= 0

в частности,

x α−1

x →+∞ x α−1

x →+∞ (α −1)x α

−2

x →+∞ α −1

lim

ln n

= 0 . А тогда из (12) следует, что lim B

n

= 0 ( <1). Значит, ряд (1)

n→∞ nα−1

µ =1.

n→∞

расходится, если λ =1,

Пример. Исследовать сходимость ряда

∞

(2n −1)!! p

1

∑

.

n

q

Имеем:

n=1

(2n)!!

(2n −1)!! (2n +2)!! p

a

1

(n

q

n

=

(2n)!! (2n

+1)!!

+1)

a

nq

n+1

(12)

(13)

a

2n +2 p

n +1 q

1 p

1 q

n

=

= 1

+

1

+

.

a

+1

2n +1

n

2n +1

n

n

По формуле Тейлора

1+

А тогда

2n1+1 p =1+

	+	1 q
1			=1+
		n

p

1 p( p −1)

1

+

+

ο

,

2n +1

2!(2n

+1)2

n2

q

+

1 q(q −1)

+ο

1

.

n

2! n2

n2

28

1

p

1 q

1

+

1

+

=

2n +

1

n

;

q

p

1 q(q −1)

pq

1

p( p −1)

1

=1+

+

+

+

+

+ο

n

2n +1

2 n2

n

(2n +

1)

2

(2n +1)2

n2

p

p

p

так как

=

2

−

2

, то

2n +1

n(2n +1)

n

p

1

p

1 q

q +

θn

2

1+

1

+

=1+

+

,

n

n

n

2n +1

2

an

q +

p

θn

где θ

n

- ограниченная переменная. Итак,

=1+

2

+

. По признаку

a

n

n2

n+1

Гаусса ряд (13) сходится, если q + 2p >1, и расходится, если q + 2p ≤1.

29

Замечание. Из признака Куммера были получены признаки Даламбера, Раабе, Бертрана. Следует отметить, что эта цепочка все более и более тонких признаков может быть продолжена.

			§5. Признак Коши
	Теорема 1. Пусть имеется положительный ряд
			∞
			∑an .	(1)
			n=1
1.			Если начиная с некоторого места, т.е. для n > N*	( N* N ) оказывается
n	a	≥1, то ряд (1) расходится.
	n		Если начиная с некоторого места, т.е. для n > N*	( N* N ) оказывается
2.

nan ≤q , где 0 <q <1, то ряд (1) сходится.

1. По условию, n	a	≥1, для любого n N , n > N	*	a ≥1, для любого
	n			n

n N , n > N* an не может стремиться к нулю при n → ∞ ряд (1) расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

2. По условию,	n			≤q , для любого n N , n > N					a ≤qn , для
		a						*
		n							n
любого n N , n > N* , т.е.					≤qN * +1;		≤qN * +2 ; K .
	a			+1		a
		N *				N * +2
Но ряд qN * +1 +qN * +2 +K - геометрический, сходящийся,									так как 0 <q <1. А

тогда по первому признаку сравнения будет сходиться ряд aN * +1 +aN * +2 +K , а

значит, будет сходится ряд (1) (если сходится остаток ряда после N* -го члена,

то сходится и сам ряд). Теорема 2 (признак Коши в предельной форме).

Пусть имеется положительный ряд

∞
∑an .	(1)

n=1

Пусть существует конечный или бесконечный предел l = lim n an . Тогда

n→∞

1)если l >1, то ряд (1) расходится;

2)если l <1, то ряд (1) сходится.

1a) Пусть l >1, конечное. Возьмем ε >0 - любое, но такое, что l −ε >1.

По условию	l = lim n		взятому ε >0 отвечает номер N		такой, что
		a		*
	n→∞	n

30