Математический анализтеория рядов

Теорема 1. Пусть имеется ряд

∞
∑un ( x ), x E .	(1)

n=1

Пусть s ( x ) , x E , - сумма ряда (1). Пусть un ( x ) C(E ) . Тогда: если ряд (1) сходится равномерно на E, то s ( x ) C(E ).

По условию un ( x ) C(E ) частичные суммы ряда (1) s1( x ) , s2 ( x ) , ...

, sn ( x ) , ... есть функции непрерывные на E как суммы конечного числа

непрерывных функций. По условию имеем также s ( x ) →s ( x ), x E . Но

n → n→∞

тогда по теореме 1 предыдущего параграфа о непрерывности предельной функции заключаем, что s ( x ) C(E ).

Замечание 1. Равномерная сходимость ряда (1) на E достаточна для непрерывности на E суммы ряда s ( x ) , но она не необходима. Например, у

∞	], x (−∞, +∞) , сумма s ( x ) ≡ 0,
ряда ∑[nxe−nx 2 −(n −1)xe−( n−1)x 2

n=1

x(−∞, + ∞) , а значит, s ( x ) C ((−∞, ∞)), хотя этот ряд и не является

равномерно сходящимся на промежутке (−∞, +∞) (это будет показано ниже).

Замечание 2. Если члены ряда (1) есть функции непрерывные на E, а сумма s ( x ) этого ряда оказывается функцией разрывной на E, то ряд (1) будет

неравномерно сходящимся на E.

Рассуждаем от противного. Допустим, что ряд (1) сходится равномерно на E. Но тогда по теореме 1 сумма s ( x ) этого ряда должна быть непрерывной на

E, а это не так.					u ( x ) = (1− x ) x n есть
В нашем	примере 2		члены	ряда			функции
непрерывные на промежутке (−1,1],					n
				а сумма s ( x )		этого ряда есть функция
						∞
разрывная на	промежутке		(−1,1].	Значит, ряд		∑(1− x ) x n	сходится
неравномерно на промежутке (−1,1].						n=0
3°. О почленном интегрировании ряда.
Теорема 2. Пусть имеется ряд
			∞				~
			∑un ( x ), x [a, b].				( 1 )
	(	)	n=1			~
n
						( 1 ) сходится равномерно
Пусть u ( x ) C [a, b] ( n =1, 2,K ). Тогда: если ряд

на промежутке [a, b], то его можно почленно интегрировать, т.е.

71

b

∞

∞

b

n

∫

∑ n

∑∫

u ( x ) dx =

u (x )dx .

a

n=1

~

n=1 a

~

sn ( x )

Пусть s ( x ) - сумма ряда ( 1 ),

- n-я частичная сумма ряда ( 1 ).

Отметим,

что

s ( x ) C([a, b])

как

сумма

равномерно сходящегося ряда

b

непрерывных функций. Значит,

s ( x ) R ([a, b]), т.е. ∫s( x )dx существует (т.е.

a

b

∞

~

∫

∑ n

существует). По условию,

ряд ( 1 )

сходится равномерно на

u ( x ) dx

a

n=1

s ( x )

→s( x )

промежутке [a, b]. Значит,

,

x

[a, b]. По теореме о

n

→

n→∞

предельном переходе под знаком интеграла (см. теорему 2 предыдущего параграфа)

			b					b
		limn→∞ ∫sn (x )dx = ∫s (x )dx .									(4)
			a					a
	b
(Заметим, что	∫	s ( x )dx	существует,					ибо s ( x ) C [a, b]			как сумма
		n						n	(	)
	a
конечного числа непрерывных функций.) Имеем
	b		b
	∫sn ( x )dx = ∫[u1( x ) +u2 ( x ) +K+un ( x )]dx =
	a		a
b		b				b		n b
= ∫u1(x )dx + ∫u2 (x )dx +K+ ∫un (x )dx = ∑∫uk ( x )dx = σn .
a		a				a		k =1 a
Здесь σn - n-я частичная сумма ряда
			∞	b
			∑	∫un ( x )dx .							(5)
			n=1 a
Соотношение (4) в новых обозначениях имеет вид
						b
			lim σ	n	=	∫	s ( x )dx .				(6)
			n→∞
						a
			b
Было подчеркнуто выше,			что ∫s( x )dx					существует.	Значит,		существует

a

конечный предел σ = lim σn , а это означает, что ряд (5) сходится и его сумма

n→∞

72

										b
равна			σ.	Таким				образом,	получили:	∫s( x )dx = σ,	т.е.
b						b				a
	∞	n			∞		n
∫	∑				∑∫
		u ( x ) dx =					u (x )dx .
a	n=1				n=1 a					~
	*	Замечание			1.
						Условие равномерной сходимости ряда ( 1 ) является

достаточным для допустимости почленного интегрирования функционального ряда, но оно не необходимо.

	∞
* Пример. Рассмотрим ряд ∑(1− x ) x n ,		x [0,1]. Этот ряд сходится на
	n=0	x [0,1)
промежутке [0,1]	1,		. Видим, что члены
	, и его сумма s ( x ) =	x =1
	0,

данного ряда есть функции непрерывные на промежутке [0,1], а сумма s ( x )

есть функция	разрывная на этом промежутке.	Значит, наш ряд сходится
	1	1
неравномерно	на промежутке [0,1]. Имеем ∫s( x )dx = ∫1 dx =1. Имеем,
далее,	0	0

1

∫un ( x )dx

0

А тогда

1

1

x n+1

x n+2

x =1

1

1

= ∫(1− x ) x

n

dx = ∫( x

n

n+1

− x

)dx =

−

=

−

.

0

0

n +1

n +2

x =0

n +1

n +2

∞

1

∞

1

1

∑∫un ( x )dx = ∑

−

.

+

1

n

n=0 0

n=0

n

+2

Пусть σn

- n-ая частичная сумма ряда (7). Имеем:

1

1

1

1

1

1

1

1

1

=1−

1

σ

n

= 1−

+

−

+

−

+K+

−

+

−

2

2 3

3 4

n −1

n

n +1

n n +1

1

σ = lim σ

= lim 1−

=1.

Видим, таким образом, что

n→∞

n

n→∞

n +1

1

∞

∞

1

un (x )dx ,

∫

∑un ( x ) dx = ∑

∫

n=0

n=0

1442443

142443

0

0

=1

=1

хотя исходный ряд был неравномерно сходящимся.

(7)

73

Замечание 2. Если оказывается, что

то исходный ряд

[a, b].

~

b	∞			∞ b	u (x )dx ,
	∑	u ( x ) dx ≠		∑∫
∫		n			n
a	n=1			n=1 a

( 1 ) не является равномерно сходящимся на промежутке

Рассуждаем от противного. Допустим, что ряд ~ сходится равномерно на

( 1 )

промежутке [a, b]. Но тогда должно быть, по теореме 2,

b

∞

n

∞

b

n

∫

∑

∑∫

u ( x ) dx =

u (x )dx ,

а это не так.

a

n=1

n=1 a

Пример. Рассмотрим ряд

∞

∑[nxe−nx 2 −(n −1)xe−( n−1)x 2 ],

x [0,1].

(8)

n=1

Раньше было показано, что сумма s ( x )

этого ряда равна нулю на промежутке

(−∞, + ∞).

Следовательно,

в

частности,

s( x ) ≡ 0 , x [0,1].

Значит,

1

1

∫s( x )dx = ∫0 dx = 0 . Имеем, далее,

0

0

1

1

∫un ( x )dx = ∫[nxe−nx 2 −(n −1)xe−( n−1)x 2 ]dx =

0

0

= 1

1

2 ]− 1

1

∫e−( n−1)x 2 d[−(n −1)x

∫e−nx 2 d[−nx 2 ] =

2

0

[e

]

2

0

=

1

−

( n−1)x 2

−e

−nx 2

x =1

=

1

1

−

1

.

n−1

n

Таким образом,

2

1

x =0

2 e

e

∞

1

∞

1

1

∑

∫un ( x )dx =

∑

−

.

(9)

n−1

e

n

n=1 0

2 n=1

e

Обозначим через σn n-ю частичную сумму ряда (9). Имеем:

		1			1	1		1					1		1			=	1	−	1
σn	=		1	−		+	−				+K+			−					1
		2						e	2				n−1		e	n					e	n
					e	e					e								2

74

					1				1		=	1
σ = lim σ			= lim		2	1−						2	.
Видим, что	n→∞	n	n→∞						en
1	∞				∞	1	un (x )dx .
	∑un ( x ) dx ≠ ∑
∫ n=1					n=	∫
1442443				142443
0						0
	=0						=	1
								2

Вывод: ряд (8) сходится на промежутке [0,1] неравномерно. (Значит, он сходится неравномерно на промежутке (−∞, +∞).)

4°. О почленном дифференцировании функционального ряда.

Теорема 3. Пусть имеется ряд

∞	~
∑un ( x ), x [a, b].	( 1 )

n=1

~

Пусть этот ряд сходится на промежутке [a, b]. Пусть члены ряда ( 1 ) имеют в [a, b] непрерывные поизводные un′( x ). Тогда: если ряд, составленный из производных,

∞

∑un′( x ).

(10)

n=1

~

сходится равномерно на промежутке [a, b], то исходный ряд ( 1 ) можно в

промежутке [a, b] дифференцировать почленно, т.е.

∞

′

∞

x [a, b].

∑un

(x )

= ∑un′( x ),

n=1

n=1

~

Обозначим суммы рядов ( 1 ) и (10) через s ( x ) и σ( x ) соответственно.

Отметим, что σ( x ) C([a, b])

как сумма равномерно сходящегося ряда

непрерывных функций. Следовательно, σ( x ) R ([a, b])

σ(t ) R ([a, x ]),

∞

где x - любое,

удовлетворяющее

условию:

a < x ≤ b .

Для

ряда

∑un′(t ) ,

t [a, x ],

n=1

выполнены

условия

теоремы о

почленном

интегрировании

функционального ряда. Поэтому

x

∞

∞

x

∞

t =x

∞

∑ n

∑

∫ n

∑ n

∑

n

n

∫

=

t =a

=

(11)

u′(t ) dt

u′(t )dt =

u (t )

[u ( x ) −u (a)].

a

n=1

n=1 a

n=1

n=1

75

∞	∞
Так как ряды ∑un ( x ) и	∑un (a) сходятся и имеют суммы s ( x )	и	s (a)
n=1	n=1
	∞
соответственно, то ряд	∑[un ( x ) −un (a)] сходится и его сумма		равна
	n=1
(s ( x ) − s (a)). Равенство (11) может быть записано, следовательно, в виде
x	x
∫σ(t )dt = s ( x ) − s (a) s ( x ) = s (a) + ∫σ(t )dt .			(12)
a	a
Равенство (12) установлено нами для x (a, b]. Нетрудно видеть,		что оно

верно и при x = a . В правой части равенства (12) мы имеем интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. По теореме Барроу

	x		′
s (a) + ∫σ(t )dt			= σ( x ) для любого x [a, b].
	a	x

Но тогда для любого x [a, b] существует производная по x и от левой части равенства (12), т.е. s′( x ) , причем s′( x ) = σ( x ) .

Последнее равенство равносильно равенству

76

	∞		′	∞
	∑un ( x )			= ∑un′( x ) , x [a, b].
	n=1		x	n=1
5°. Признаки равномерной сходимости функционального ряда.
1) Критерий Коши.
	∞
Пусть имеется ряд ∑un ( x ),			x E (1). Пусть s ( x ) и sn ( x ) - сумма и n-я

n=1

частичная сумма ряда (1) соответственно. Мы знаем, что ряд (1) называется

равномерно сходящимся на множестве E, если	sn	→	x E . Но по
		( x ) → s( x ) ,
		n→∞

критерию Коши равномерной сходимости последовательности функций мы имеем: для того, чтобы последовательность {sn ( x )}n N , x E , имела на E предельную функцию s ( x ) и чтобы эта последовательность сходилась к s ( x ) равномерно на E, необходимо и достаточно, чтобы любому ε >0 отвечал номер N, зависящий только от ε, такой, что как только n > N , так сейчас же при любом p N и сразу для всех x E было

sn+p ( x ) − sn ( x ) < ε.

Так как sn+p ( x ) − sn ( x ) =un+1( x ) +un+2 ( x ) +K+un+p ( x ) , то критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда может быть сформулирован и так:

Теорема 4. Для того, чтобы ряд (1) сходился равномерно на множестве E, необходимо и достаточно, чтобы любому ε >0 отвечал номер N, зависящий только от ε, такой, что как только n > N , так сейчас же при любом p N и сразу для всех x E было

un+1( x ) +un+2 ( x ) +K+un+p ( x ) < ε.

Замечание (необходимое условие сходимости функционального ряда). * Теорема 5. Если ряд (1) сходится равномерно на множестве E, то

u ( x ) →0 , x E .

n → n→∞

(13)

(14)

Действительно, так как ряд (1) сходится равномерно на E, то неравенство

(13) при n > N	и сразу для всех x E	выполняется при любом p N , в
частности, и	при p =1. Получаем,	следовательно: для любого ε >0

существует номер N, зависящий только от ε, такой, что как только n > N , так

сейчас же				un+1( x )		< ε сразу для всех x из E. Последнее означает, что
un	→	0	, x E .
	( x ) n→∞
	→

77

Соотношение	un	→	0 ,	x E , является необходимым условием
		( x ) n→∞
		→

равномерной сходимости на E ряда (1).

∞

Теорема 6. Пусть ряд ∑un ( x ) (1) сходится равномерно на множестве E.

n=1

Пусть v ( x ) есть функция, ограниченная на E. Тогда ряд

∞
∑v ( x ) un ( x )	(15)

n=1

сходится равномерно на множестве E.

По условию, функция v ( x ) - ограниченная на множестве E. Значит, существует число M >0 такое, что

v ( x )		≤M , x E .	(16)

Возьмем ε >0 - любое.

По условию, ряд (1) сходится равномерно на E. Следовательно, взятому

ε >0 отвечает номер N,

зависящий только от ε, такой, что как только n > N ,

так сейчас же при любом p N и сразу для всех x E будет

u

( x ) +u

( x ) +K+u

( x )

<

ε

(17)

n+1

n+2

n+p

M

Имеем:

v ( x ) un+1(x ) +v ( x ) un+2 ( x ) +K+v ( x ) un+p ( x )

=

= v ( x ) un+1(x ) +un+2 (x ) +K+un+p ( x )

принимая во внимание (16) и (17), будем иметь при n > N , при любом p N и сразу для всех x из E:

v ( x ) un+1(x ) +v ( x ) un+2 ( x ) +K+v ( x ) un+p (x ) < ε

по критерию Коши заключаем, что ряд (15) сходится равномерно на множестве E.

Теорема 7 (признак Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости

∞

функционального ряда). Пусть имеется ряд ∑un ( x ), x E (1). Пусть

∞	n=1
∑cn	(18)

n=1

-числовой, положительный, сходящийся ряд. Тогда, если при любом n N и

сразу для всех x E оказывается

un ( x )		≤cn ,	(19)

78

то ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на E.

По условию, un ( x ) ≤cn при любом n N и при всех x из E. Так как ряд

(18) сходится, то, по первому признаку сравнения числовых положительных

∞

рядов, ряд ∑un ( x ) сходится при каждом x из E. Значит, ряд (1) сходится

n=1

абсолютно на множестве E.

Покажем теперь, что ряд (1) сходится равномерно на множестве E. Для этого возьмем ε >0 - любое. Так как ряд (18) сходится, то взятому ε >0 отвечает номер N такой, что как только n > N , так сейчас же при любом

p N

cn+1 +cn+2 +K+cn+p

< ε, или, так как

cn+1, cn+2 ,K, cn+p

будет

-

положительные,

cn+1 +cn+2 +K+cn+p < ε.

(20)

∞

Заметим, что число N найдено с помощью числового ряда ∑cn и потому

оно не зависит от x, а зависит только от ε. Имеем

n=1

un+1( x ) +un+2 ( x ) +K+un+p ( x )

≤

un+1( x )

+

un+2 ( x )

+K+

un+p ( x )

≤

для любых n и

≤cn+1 +cn+2 +K+cn+p ,

p N и для всех x E . А тогда, в силу (20), при n > N , при

любом

p N и сразу для всех x E

un+1( x ) +un+2 ( x ) +K+un+p ( x )

< ε.

по критерию Коши заключаем, что ряд (1) сходится равномерно на множестве

E.

Замечание. 1) Не следует думать, что равномерная сходимость ряда всегда сопровождается его абсолютной сходимостью.

	∞	1			1	,1
	Например, ряд ∑(−1)n−1		сходится в промежутке				равномерно, но
		x			2
	n=1	n

неабсолютно.

То, что данный ряд сходится в промежутке 21 ,1 , следует из теоремы

Лейбница о знакочередующемся ряде. Но этот ряд сходится неабсолютно; действительно, ряд из абсолютных величин членов данного ряда имеет вид

	∞	1
	∑		, и при всех x ≤1 он, как мы знаем, расходится.
		x
	n=1	n

79

1

Докажем теперь, что данный ряд сходится в промежутке

2

,1

равномерно.

Для этого возьмем ε >0 - любое. Мы знаем,

что для суммы остатка ряда,

удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, справедлива оценка

R

( x )

u

( x )

1

1

1

< 1

≤

=

(−1)n

=

≤

,

n

1

n+1

(n +

1)x

(n +

1)x

(n +1)1 2

n

для всех x

,1 .

2

1

Рассмотрим неравенство

< ε. Это неравенство выполняется при всех n

n

1

( n N ), удовлетворяющих условию n > N ,

где N = E

. (Отметим, что N

ε2

зависит только от ε; от x N не зависит.) Но тогда и подавно

R n ( x )

< ε сразу

1

> N .

для всех x

,1 , если только n

2

1
Вывод: данный ряд сходится равномерно на промежутке	,1 .
2
2) Возможны также случаи, когда функциональный	ряд сходится

∞

абсолютно, но неравномерно. Например, ряд ∑x n (1− x ) в промежутке [0;1]

n=0

сходится абсолютно, но неравномерно. Было показано ранее (см. пример 2),

что этот ряд на промежутке	[0;1]	1,	x [0	;1)	.
		сходится, и его сумма s ( x ) =	x =1
		0,

Так как члены ряда неотрицательны на [0;1], то он и абсолютно сходящийся.

Так как сумма ряда непрерывных функций оказалась разрывной функцией на [0;1], то ряд сходится неравномерно на [0;1].

Таким образом, приходим к выводу, что связи между равномерной и абсолютной сходимостью ряда в общем случае нет.

* Теорема 8 (признак Дирихле). Пусть имеется ряд вида

∞
∑un ( x ) vn ( x ) , x E ,	(21)

n=1

80