- •Раздел 1
- •1. Предмет математического программирования
- •1.1. Модель задачи математического программирования
- •1.2. Классификация методов математического программирования
- •2. Линейное программирование
- •2.1. Виды задач линейного программирования
- •Задача о наилучшем использовании ресурсов
- •Задача о раскрое материалов
- •Задача о смесях
- •2.2. Формы записи задач линейного программирования
- •Переход к канонической форме
- •Переход к симметричной форме
- •2.3. Геометрическая интерпретация и графическое решение злп
- •Графический метод решения злп
- •Свойства решений злп
- •Симплексный метод
- •2.5.1. Построение начального опорного плана
- •Нахождение оптимального опорного плана. Переход к нехудшему опорному плану
- •Переход к нехудшему опорному плану
- •3. Двойственность в линейном программировании
- •3.1. Понятие двойственности. Построение двойственных задач
- •Правило построения двойственной задачи
- •Соответствия между неизвестными в паре взаимно двойственных задач
- •Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание
Задача о смесях
В различных отраслях производства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, горючих и смазочных смесей, смесей для получения бетона в строительстве и т.д. Высокий уровень затрат на исходные материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигают на первый план следующую задачу: получить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.
Модель задачи о наилучшем составе смеси рассмотрим на примере задачи о диете.
Имеются пищевые продукты, известные под номерами . Они содержат различные питательные вещества, обозначаемые номерами (углеводы, белки, жиры, витамины, микроэлементы и др.). Единица -го продукта содержит единиц -го питательного вещества. Для нормальной жизнедеятельности в заданный промежуток времени нужно потреблять не менее единиц -го питательного вещества. Обозначим через стоимость единицы продукта -го вида. Требуется выбрать рацион минимальной стоимости, содержащий необходимое количество питательных веществ.
Получаем следующую математическую модель: найти план выпуска количество продуктов каждого вида, обеспечивающих необходимое количество питательных веществ при минимальных затратах на исходные продукты
(2.8)
при ограничениях
, (2.9)
и условиях неотрицательности
, (2.10)
где
– вектор цен, т.е. стоимость единицы каждого вида продукта;
количество единиц -го питательного вещества в единице -го вида продукта;
потребность в питательных веществах каждого вида.
К задачам линейного программирования относится также и транспортная задача, формулировка и математическая модель которой будут приведены позже.
Рассмотрим примеры задач линейного программирования.
Пример 2.1. При изготовлении изделий и используются токарные и фрезерные станки, а также сталь и цветные металлы. По технологическим нормам на производство единицы изделия требуется 300 и 200 единиц соответственно токарного и фрезерного оборудования (в станко-часах), 10 и 20 единиц стали и цветных металлов (в килограммах). Для производства единицы изделия требуется 400, 100, 70 и 50 соответствующих единиц тех же ресурсов. Цех располагает 12400 и 6800 станко-часов оборудования, 640 и 840 кг материалов. Прибыль от реализации единицы изделия составляет 6 тыс. ден. ед., – 16 тыс. ден. ед. Требуется:
1) свести исходные данные в таблицу, удобную для построения модели;
2) составить математическую модель задачи (показатель эффективности – прибыль).
Решение.
1) Обозначим через число изделий , через – изделий , через – суммарную прибыль от реализации производственных изделий. Исходные данные удобно представить в виде таблицы.
Ресурсы |
Затраты на единицу изделия |
Объем ресурса |
Вид ограничений |
|
|
|
|||
Станки, станко-ч токарные фрезерные Сталь, кг Цветные маталлы, кг |
300 200 10 20 |
400 100 70 50 |
12400 6800 640 840 |
≤ ≤ ≤ ≤ |
Прибыль, тыс. ден. ед. |
6 |
16 |
f |
|
План выпуска, шт. |
x1 |
x2 |
|
2) Так как каждое изделие дает прибыль 6 тыс. ден. ед., а таких изделий изготавливается ед., то все изделия дадут прибыль ; аналогично изделия обеспечат прибыль . Суммарную прибыль можно записать в виде целевой функции, которая максимизирует прибыль
.
Токарного оборудования на выпуск одного изделия требуется 300 станко-часов, на изделие – 400 станко-часов. Тогда для изготовления изделий и изделий потребуется токарного оборудования (станко-часов). Так как общий фонд рабочего времени токарных станков не может превышать 12400 станко-ч, должно выполняться неравенство
.
Аналогично можно записать условия, налагаемые на фонд рабочего времени фрезерных станков:
,
и лимитирующие материалы: по стали
,
по цветным металлам
.
Итак, искомый план задачи . Тогда математическая модель задачи определяется следующим образом.
Целевая функция
.
Система ограничений
Переменные и не могут быть выражены отрицательными числами, поэтому
.
Пример 2.2. На предприятии имеется листовой материал, представляющий прямоугольники размера 70110 см2. Требуется выкроить прямоугольные заготовки типов , число которых соответственно равно 220, 120 и 80. Размеры заготовок следующие: .
Требуется:
1) составить возможные варианты раскроя;
2) построить математическую модель раскроя материала, минимизирующую отходы и удовлетворяющую потребность в заготовках типов .
Решение.
1) Составим хотя бы четыре возможных варианта раскроя листового материала. Заштрихованные места – это отходы, полученные при разрезе листов.
2) Для построения математической модели раскроя листового материала, полученные варианты заносим в таблицу.
Вид заготовки |
Размеры заготовки, см2 |
Способы раскроя |
Потребность в заготовках, шт. |
|||
М1 |
М2 |
М3 |
М4 |
|||
А1 А2 А3 |
3530 3040 4540 |
2 3 1 |
4 1 1 |
2 1 2 |
2 4 0 |
220 120 80 |
Отходы, см2 |
200 |
500 |
800 |
800 |
|
Пусть план задачи, где число листов, раскраиваемых соответствующими способами и . Получаем следующую математическую модель задачи:
,