1.3.2. Задача оптимізації валютного резерву

Валютний резерв створюється з кількох видів валюти. Відомі відносні цінності та кількість кожної валюти в даний період. Потрібно визначити кількість валюти кожного виду, щоб забезпечити найбільшу цінність резерву в майбутній період.

Відомі параметри:

n – кількість валюти, з яких можна створити резерв;

i та j – індекси, тобто N валют;

ν_ij – коефіцієнт переведення, який показує скільки валют і-того виду слід потратити, щоб одержати одиницю валюти j-того виду.

Некеровані параметри:

w_i¹ – майбутня відносна цінність 1 і-тої валюти.

У залежності від того, що ми знаємо про цей параметр (у залежності від його виду) є три варіанти задачі:

1. Детермінований – величина w_i вважається відомою/

2. Варіант ризику – величини w_i¹ невідомі, але ми можемо визначити їх математичні сподівання та дисперсії.

3. Величини w_i¹ (варіант невизначеності) невідомі, відомі тільки їх нижні та верхні межі.

Керовані змінні:

x_ij – кількість валюти і-го виду, яка використовується для придбання валюти j-того виду;

y_j – кількість валюти j-того виду, яка буде в валютному резерві після його переформування;

a_i - кількість валюти і-того виду, яка знаходиться в валютному резерві до переформування;

v – загальна цінність переформованого резерву.

Ситуація ризику

У цій ситуації значення цінностей w_j¹ невідомі, але є статистичні дані за кілька періодів на основі яких для кожного виду валюти ми можемо визначити математичне сподівання та дисперсію відносної цінності цієї валюти.

– математичне сподівання;

σ_j² – дисперсія.

Дана задача є двокритеріальною. Першим критерієм є математичне сподівання загальної цінності. Його бажано зробити найбільшим. Другим критерієм є дисперсія загальної цінності. Її бажано зробити найменшою.

Для розв’язання цієї задачі ми складаємо загальний критерій із двох даних критеріїв.

Розв’язавши дану задачу, ми одержуємо оптимальний план для якого визначене середнє значення і дисперсія.

Одержане рішення передається на затвердження особі, що приймає рішення, яка може або погодитися з цим планом або визначити інші межі для середньої цінності дисперсії.

Позначимо через і ті межі для середнього значення й дисперсії, які одержані від особи, що приймає рішення. Ці межі можуть бути реальними або нереальними. Наше завдання: якщо ці межі реальні – то визначити можливість їх покращення, якщо ж вони нереальні – то ми повинні їх скоригувати так, щоб вони стали реальними, але найближчими до особи, що приймає рішення, а потім розв’язати задачу і передати оптимальний план на затвердження.

Для перевірки даних на реальність ми вводимо додаткову змінну t. Ця змінна характеризує якість плану по відношенню до вимог особи, що приймає рішення. Найбільшим значенням цієї змінної є 1.

t=1 означає, що ми можемо не тільки виконати вимоги замовника, а й досягти максимального середнього значення й мінімальної дисперсії.

Значення t>0 означає, що вимоги замовника реальні і їх можна покращити.

t=0 означає, що вимоги реальні, але покращити їх не можна.

t<0 означає нереальність вимог замовника.

Особливістю змінної t є той факт, що вона включається як до критерію так і до обмеження. Значення цієї змінної визначається як розв’язок такої задачі: