14.7. Перша форма суперпозиційного інтегралу Дюамеля

Нехай складне пасивне лінійне електричне коло з нульовими початковими умовами вмикається до джерела, напруга якого змінюється за довільним законом u(t):

Визначимо перехідний струм в колі в довільний момент часу t. Цей час обирається довільно, фіксується і вважається постійною величиною – параметром відліку. Плинний час позначимо τ, причому 0≤ τ ≤ t. Часову вісь розбиваємо на інтервали ∆τ.

Для розрахунку перехідного процесу суперпозиційним методом сигнал u(t) заміняємо приблизно ступінчастою функцією, яка складається із низки ступінчастих сигналів, які слідують з інтервалом часу ∆τ (рис.14.9). Величини цих сигналів позначимо

U(0), ∆U₁, ∆U₂,_…, ∆U_n.

До максимуму напруги u(t) стрибки вхідного сигналу є позитивними, після максимуму – негативні.

Визначимо складові вихідного сигналу для кожного ступінчастого вхідного сигналу [Y(t)=Ah(t)]:

U(0)h(t) – складова вихідного сигналу від першого ступінчастого сигналу;

∆U₁ h(t-Δτ) – від другого ступінчастого сигналу, де h(t-Δτ) – перехідна характеристика кола для одиничної функції, яка запізнюється за часом на ∆τ;

∆U₂ h(t-2∆τ) – від третього ступінчастого сигналу і т. д.

Тоді для t=n∆τ згідно принципу накладання вихідний сигнал в колі приблизно дорівнює

i(t)≈U(0)h(t)+∆U₁ h(t-∆τ)+…+ ∆U_n h(t-n∆τ)= U(0)h(t) + ∆U_k h(t-k∆τ).

Помножимо суму на ∆τ/∆τ та перейдемо до lim∆τ=0 при n→ ∞, тоді отримаємо

i(t)≈U(0)h(t)+ ∆U_k /∆τh(t-k∆τ)∆τ.

В ліміті сума в правій частині цього рівняння перетворюється в інтеграл, а саме рівняння із приблизного – в точне.

Враховуючи, що h(t)=y(t), перехідний струм в колі для часу t буде дорівнювати

i(t)=U(0)y(t)+ u^’(τ)y(t-τ)dτ. (14.1)

Це є перша форма суперпозиційного інтегралу Дюамеля, тут:

U(0) – величина вхідної напруги при t=0,

y(t) – перехідна провідність,

τ – плинний час,

u^’(τ) – похідна від напруги u(t), в який t замінюється на плинний час τ.

14.8. Послідовність розрахунку перехідних процесів за допомогою інтегралу Дюамеля

1. Знаходимо аналітичний вираз для вхідного сигналу (рис.14.10) з вказівкою інтервалів його існування.

2. Визначаємо перехідну характеристику h(t)[y(t)] для кола. що досліджується – y(t). Визначаємо перехідний процес при нульових ПУ для одиничної U.

3. Записуємо загальне рівняння для перехідного струму або напруги в колі для заданого моменту часу t.

Якщо вхідна напруга кола є неперервною функцією часу, то закон зміни перехідного струму знаходиться відповідно з рівнянням (14.1).

Якщо вхідна напруга є кусочно-неперервною функцією часу, то закон зміни перехідного струму необхідно знаходити для кожного інтервалу часу окремо, враховуючі попередні.

Для даного випадку:

1) при 0≤ t≤ t₁ перехідний струм обумовлений стрибком напруги U₁(0) та напругою u₁(t)

i=i₁(t)=U₁(0)y(t)+ u^’₁(τ)y(t-τ)dτ. (І)

2) при t₁ ≤ t≤ t₂ перехідний струм обумовлений перехідними струмами на першому та другому інтервалах

i(t)=i₁(t)+i₂(t),

де i₁(t)=U₁(0)y(t)+ u^’₁(τ)y(t-τ)dτ – перехідний струм на першому інтервалі,

i₂(t)=∆U₂y(t-t₁)+ u^’₂(τ)y(t-τ)dτ – перехідний струм на другому інтервалі. Цей струм обумовлений стрибком напруги ∆U₂=u₂(t₁)-u₁(t₁) при t=t₁ та напругою u₂(t).

Тоді перехідний струм на другій ділянці дорівнює:

i(t)=i₁(t)+i₂(t)= U₁(0)y(t)+ u^’₁(τ)y(t-τ)dτ + ∆U₂ y(t-t₁)+ u^’₂ (τ)y(t-τ)dτ. (ІІ)

3) при t₂≤ t≤ ∞ перехідний струм складається з суми перехідних струмів на двох попередніх інтервалах та перехідного струму, який обумовлений стрибком напруги на третьому інтервалі ∆U₃=0 - u₂(t₂) при t=t₂:

i(t)= U₁(0)y(t)+ u^’₁ (τ)y(t-τ)dτ + ∆U₂ y(t-t₁)+ u^’₂ (τ)y(t-τ)dτ +U₃ y(t-t₂). (ІІІ)

Таким чином, перехідний струм i(t) буде визначатися відповідно до часу t одним із рівнянь (І)-(ІІІ).

4. Визначаємо перехідну характеристику (провідність) кола y(t-τ). Для цього в y(t) заміняємо t на t-τ.

5. Знаходимо u^’(τ), для цього визначаємо похідну від заданої напруги u(t) та заміняємо t на τ.

6. Підставляємо значення, що отримані, в одну із формул (І)-(ІІІ) в залежності від конкретного значення t та інтегруємо за змінною τ.

(Приклад розрахунку [1] стор.192)