Задача № 5

Визначити перехідний струм при включенні кола рис. Р13.6 на постійну напругу , якщо ; ; .

Рішення

1. Відповідно до полярності прикладеної напруги вказуємо на схемі (рис. Р8.6) позитивний напрямок перехідного струму.

2. На підставі закону Ома складемо вираз для перехідного струму в операторній формі:

.

3. З а допомогою теореми розкладання за знайденим операторним струмом знайдемо перехідний струм

.

Знайдемо корні рівняння ,

, ,

Обчислимо значення похідної при знайдених коренях

,

,

.

Знайдемо значення :

.

Підставимо у формулу розкладання числові значення величин:

.

При необхідності будь-яку перехідну напругу на ділянці кола можна знайти відразу, не обчислюючи струм. Наприклад:

Застосувавши до цього виразу теорему розкладання, знайдемо .

Задача № 6

Розрахувати перехідний процес при відключенні кола рис. Р13.7 від джерела постійної напруги, якщо

Рішення

При вимиканні рубильника S утвориться коло з послідовним з’єднанням R, та , до якого можна застосувати закон Ома для ненульових початкових умов.

1. Задамося напрямками перехідних струму, напруги на конденсаторі та обходу контуру (рис. Р13.7).

2. Визначимо значення струму в котушці та напруги на конденсаторі в колі до комутації з врахуванням вибраного напряму перехідного процесу:

, "+" – тому, що співпадає з ;

u_c(0)= - U= - 150 B.

3. Складемо вираз для операторного перехідного струму за законом Ома для ненульових початкових умов:

.

так як немає джерела енергії в контурі після комутації.

4. За допомогою теореми розкладання за операторним струмом знайдемо перехідний струм:

.

Визначимо корені рівняння

, , , ,

.

Визначимо похідну та її значення при знайдених коренях:

.

,

.

Знайдемо значення :

,

Підставивши у формулу розкладення числові значення величин, отримаємо:

5. Зробимо перевірку

1. На відповідність початковим умовам:

при t=0 .

2. На відповідність усталеним значенням:

при .

Умови задачі задовольняються.

4. Побудуємо криву перехідного струму (рис. Р13.8). При побудові складових перехідного струму враховуємо, що а .

Задача № 7

Розрахувати класичним методом перехідний струм в резисторі R₃ (рис. 13.9) а також інші перехідні струми та напругу на конденсаторі, якщо: U=10 B, R₁ =50 Ом, R₂ =16,67 Ом, R₃ =33,33 Ом, С=1 мкФ.

Розв’язок.

1. Аналізуємо схему. Бачимо, що в усталеному режимі до комутації струм через R₃ не протікав, а після комутації в усталеному режимі він дорівнює струму І₂. Для розрахунку перехідного процесу задаємо напрями перехідних струмів і₁, і₂, і₃, напруги на конденсаторі u_с та обходу контурів.

За класичним методом перехідний струм і₃ в резисторі R₃ (як і інші перехідні струми та напруги) знаходимо як суму вільної та усталеної складових:

і₃= і_3у+ і_3в.

2. Визначаємо початкові умови.

Спершу із кола до комутації (рис. 13.9,а) визначаємо незалежні початкові умови, в даному колі це напруга на конденсаторі u_с(0). Конденсатор представлений розривом вітки, тому що постійний струм по ньому не протікає.

u_с(0)= І₂ R₂, де І₂=І₁=U/(R₁+ R₂)=0,15 А, тому u_с(0)=2,5 В.

Тепер визначаємо залежні початкові умови із схеми після комутації (рис. 13.9,б) з урахуванням незалежних початкових умов:

із контуру І маємо:

і₃(0₊)= і₂(0₊)= u_с(0)/(R₃+ R₂)=0,05 А,

із зовнішнього контуру :

і₁(0₊)=(U - u_с(0))/ R₁=0,15 А,

за І законом Кірхгофа:

і_с(0₊)= і₁(0₊) - і₂(0₊)=0,1 А.

3. Для кола після комутації складаємо за законами Кірхгофа систему рівнянь перехідного процесу і вирішуємо її відносно і₃ чи будь-якої іншої невідомої величини. В нашому випадку це краще зробити відносно u_c.

і₁= і₂+ і_c, і_c =С d u_c / dt,

u_c – U + і₁ R₁ =0, → і₁=(U - u_c )/ R₁,

u_c – і₂ (R₂+R₃ ) =0, → і₂=- u_c /( R₂+ R₃ ).

Підставивши значення струмів в перше рівняння, отримаємо:

R₁ (R₂+R₃ ) С d u_c / dt +(R₁ +R₂+R₃ ) u_c = U (R₂+R₃ ).

Рішення цього неоднорідного диференціального рівняння першого порядку за класичним методом шукаємо в вигляді:

u_c = u_{c у}+ u_{c в}= u_{c у}+ = u_{c у}+ .

Аналогічно знаходимо і всі струми, наприклад:

і₃= і_3у+ і_3в= і_3у+ = і_3у+ ,

де:

р – корінь характеристичного рівняння;

– стала часу.

Корінь характеристичного рівняння р знаходимо з характеристичного рівняння, записаного на основі отриманого уже однорідного диференціального рівняння (праву частину прирівнюємо нулю) шляхом заміни

d u_c / dt → р, u_c → 1.

Маємо

­ – характеристичне рівняння.

Характеристичне рівняння можна також скласти за методом комплексного опору. Наприклад, за комплексним вхідним опором кола після комутації (можна відносно розімкнутих затискачів будь-якої гілки)

шляхом заміни на р та прирівнявши Z(p) до нуля маємо:

, ,

­ – характеристичне рівняння,

звідки:

.

Стала часу

.

В колі першого порядку (з одним внутрішнім накопичувачем енергії) вільна складова перехідної напруги u_{c в} чи перехідного струму в резисторі R₃ (як і будь-якого іншого) буде дорівнювати:

; ,

або через сталу часу:

; .

Тому процес знаходження вільної складової в колі першого порядку можна спростити, знаючи, що в колі з R, L

τ=L/R_екв,

а в колі з R, С

τ= R_екв С,

визначивши сталу часу τ не складаючи характеристичного рівняння. Для цього достатньо знайти еквівалентний активний опір кола R_екв відносно затискачів індуктивної котушки чи конденсатора.

В нашому прикладі R_екв відносно затискачів конденсатора дорівнює:

R_екв= Ом.

Тоді τ= R_екв С =25 10^-6 с.

4. Визначимо усталені складові перехідних струмів та напруг із кола після комутації

і_3у= і_2у= і_1у=І= U/(R₁+ R₂+ R₃ )=0,1 А, і_с.у=0,

u_с.у= І (R₂+ R₃ )=5 В.

5. Визначимо сталі інтегрування із початкових умов. При t=0 для струму і₃ маємо:

і₃(0)= і_3у(0)+ і_3в(0)= і_3у(0)+А₃,

звідки

А₃= і₃(0)-і_3у (0),

Оскільки в колах першого порядку і_в(0)=Ае⁰=А,

тому завжди А= і(0)-і_у(0),

тоді рішення за класичним методом (11.1) можна записати так:

і=і_у+ [і(0)-і_у (0)] . (11.2)

Це є загальна форма рішення диференційного рівняння, що описує перехідний процес в лінійному колі з одним накопичувачем енергії.

В колах постійного струму значення і_у(0)= і_у, а в колах змінного струму і_у(0) треба визначати, тому що залежить від початкової фази синусоїди.

6. Записуємо кінцеві вирази перехідних струмів та напруг:

і₃=і_3у+ [і₃(0)-і_3у(0)] =0,1+(0,05-0,1) =0,1- 0,05 А, і₂ = і_3,

і₁= і_1у+ [і₁(0)-і_1у(0)] =0,1+(0,15-0,1) =0,1+ 0,05 А,

u_c= u_c.у+ [u_c(0)-u_c.у(0)] =5+(2,5-5) =5-2,5 B,

і_с= і_с.у+ [і_с(0)-і_с.у(0)] =0+(0,1- 0) =0,1 А,

або

і_с=Cdu_c /dt=0,1 А.

7. Побудуємо графік перехідного струму і₃, для чого графічно складемо усталену та вільну складові струму (рис. 13.9,в).

У сталена складова і_3у – це пряма лінія, паралельна вісі часу. Вільну складову і_3в побудуємо за значеннями в моменти часу, кратні сталій часу τ= 25 10^-6 с. Пам’ятаємо, що за час τ вільна складова зменшується в е = 2,71…раз.

8. Перевірка.

Перевірку правильності розрахунку проведемо за допомогою балансу енергії для вільних складових.

Енергія, що витрачається на тепло:

.

Енергія електричного поля конденсатора:

.

Таким чином .

Перевірку можна зробити за відповідністю знайдених перехідних струмів і напруг початковим та кінцевим умовам. Наприклад, перехідна напруга на конденсаторі

при t=0:

u_c(0)=5-2,5е⁰ =2,5 В,

при t= ∞:

u_c(∞)= u_с.у =5-2,5е ^{- ∞} =5 В,

що співпадає з раніше знайденими значеннями.