14.11. Третя форма суперпозиційного інтегралу Дюамеля

Розглянемо електричне коло з нульовими початковими умовами, на вхід якого подається сигнал напруги довільної форми u(t).

u (t)

0 t

2 … n

Визначимо закон зміни перехідного струму , якщо імпульсна характеристика кола дорівнює .

Замінимо прямокутними імпульсами з амплітудою та тривалістю .

Кожний імпульс напруги інтенсивністю , який діє на електричне коло в момент часу , створює складову перехідного струму, яка в момент часу t буде дорівнювати

,

де – імпульсна характеристика (провідність) для імпульсної функції, що запізнюється на час .

Повний перехідний струм буде дорівнювати сумі складових перехідного струму, який обумовлений кожним імпульсом напруги і для моменту часу буде приблизно дорівнювати:

.

Якщо перейти до ліміту при , то отримаємо точне рівняння для перехідного струму:

.

Це рівняння називається третьою формою суперпозиційного інтегралу Дюамеля.

Замінимо на .

В загальному випадку

,

тоді

Це рівняння називається розгорнутою третьою формою інтегралу Дюамеля при .

Для даного випадку , тоді отримаємо

.

Порядок застосування третьої форми інтегралу Дюамеля такий же, як і для першої форми. Для порівняння наводимо рівняння для перехідних струмів, що отримані при використанні третьої форми інтегралу Дюамеля, для того ж закону напруги, який раніше використовувався для першої форми інтегралу Дюамеля

1. при , ,

2. при , ,

3. при , .

Ці рівняння простіші попередніх тому, що не мають доданків, які враховують складові перехідного струму, що обумовлені стрибками напруг.

Крім першої та третьої форм інтегралу Дюамеля для розрахунку перехідних процесів застосовуються друга та четверта форми. При цьому другу форму отримуємо з першої, а четверту – із третьої шляхом заміни в їх підінтегральних виразах на , а на . Тоді друга та четверта форми інтегралу Дюамеля будуть мати вигляд:

,

.

Така заміна часу рівнозначна тому, що результуюча дія ступінчастих або імпульсних сигналів, якими приблизно замінений вхідний сигнал, здійснюється, починаючи з моменту часу та закінчуючи часом , тобто із кінця до початку.

Застосування цих або інших форм інтегралу Дюамеля залежить від конкретного випадку. При краще застосовувати першу або другу форми, а при - третю або четверту форми тому, що в цьому випадку перші доданки обертаються в нуль.

Третю форму інтегралу Дюамеля краще застосовувати тоді, коли вхідна напруга має розриви неперервності першого роду тому, що в цьому випадку немає складових, які обумовлені стрибками напруги.

Приклади розрахунку перехідних процесів Задача № 1

Н а кінці лінії постійного струму в навантаженні відбулося коротке замкнення. Електромагнітне реле захисту від короткого замикання з внутрішніми параметрами R, L, вимкнуло своїми контактами S_p (рис. Р13.1) лінію від джерела енергії, коли струм в ній досяг значення 30 А. Визначити закон зміни струму в лінії і проміжок часу, за який спрацює реле після короткого замикання, якщо R=3 Ом, L=0,2 Гн, R_л=2 Ом, R_н=20 Ом, U=200 B.

Рішення

1. Визначимо контур, в якому протікає перехідний процес.

Після виникнення короткого замикання (ввімкнення вимикача S на рис. Р8.1) перехідний процес буде протікати в контурі, що включає реле з параметрами R, L та контактом S_р, опір лінії R_л та джерело енергії з напругою U.

2. Позначимо напрям перехідного струму та обходу контуру.

3. Визначимо незалежні початкові умови із контуру до комутації з врахуванням вибраного напряму перехідного струму:

i_L(0)=I= .

Такий струм протікав в колі до короткого замикання.

4. Складаємо рівняння перехідного процесу для контуру після комутації:

.

5. Рішення диференціального рівняння шукаємо в вигляді суми двох складових: і=і_ус+і_в.

Для визначення усталеної складової перехідного струму і_ус розрахуємо коло після закінчення перехідного процесу:

i_ус= .

Вільну складову перехідного струму і_в шукаємо як загальне рішення однорідного рівняння:

в вигляді: ,

де р – корінь характеристичного рівняння:

(R+R_л )+ pL=0,

звідки .

Тому ,

де – стала часу кола.

Таким чином і=і_ус+і_в=40+Ае^-25t A.

6. Сталу інтегрування А знаходимо із початкових умов при t=0:

і(0)=і_ус(0)+і_в(0), 8=40+А, А= - 32 А.

Тепер можемо записати кінцевий вираз для перехідного струму:

і=40 - 32е^-25t A. (1)

7. Визначимо проміжок часу t_c, за який спрацює реле після виникнення короткого замикання.

За умовою реле спрацює, коли перехідний струм досягне значення 30А. Підставимо це значення струму в рівняння (1) і розрахуємо його відносно часу t=t_c :

30=40-32 , або 32 =10.

Тоді , .

8 . Побудуємо часову діаграму і(t), для цього спершу окремо побудуємо усталену складову перехідного струму і_ус = 40 А – це пряма, та вільну складову

в масштабі часу, кратному сталій часу кола τ=0,04 с.

Пам’ятаємо, що за інтервал часу τ вільна складова зменшується в е (е=2,71…) раз. Перехідний струм і знаходимо як суму і=і_ус+і_в. За кривою і(t) для струму І=30 А визначаємо час спрацювання реле t_c. (рис. Р13.2).