§2. Гармонические колебания.

Определение 4. Простым гармоническим колебанием называется простейшее периодическое явление, в котором расстояние S колеблющейся точки от положения равновесия является функцией времени t: S = Asin(t + ₀), где A – амплитуда колебания,  – круговая частота; t – время; ₀ –начальная фаза ( при t = 0); (t + ₀) – фаза колебания; Т = 2/ – период колебаний.

– частота колебания, она показывает, сколько периодов укладывается в единицу времени, то есть частоту явления. – круговая частота, она показывает, сколько раз явление повториться за 2 единиц.

Определение 5. График простого гармонического колебания, описываемого уравнением S = Asin(t+₀), называется простой гармоникой.

Пример. Уравнение гармонического колебания имеет вид S = 3sin(2t + ). Амплитуда А = 3, круговая частота  = 2, начальная фаза – , период .

Определение 6. Колебания, получающиеся в результате наложения нескольких простых гармонических колебаний, называется сложными гармоническими колебаниями, а их графики сложными гармониками.

Например, в случае наложения двух простых гармонических колебаний, получаем:

S = A₁sin(₁t + ₁) + A₂sin(₂t+ ₂ ).

Если ₁ = ₂ , то результирующее колебание будет снова простым гармоническим колебанием с той же частотой и тем же периодом.

Пусть ₁ ≠ _{2 .} Периоды простых колебаний равны Если существует такое число Т, что Т = r₁T₁, T = r₂T₂, то результирующее колебание будет периодическим (r₁, r₂ – целые числа). Отсюда вытекает, что Следовательно, частоты ₁ и ₂ должны быть соизмеримы. Если частоты несоизмеримы, результирующее колебание не является периодическим. Если частоты соизмеримы, то можно положить ₁ = r₁₁ , ₂ = r₂₂.

Сложное колебание S = A₁sin(r₁t + ₁) + A₂sin(r₂t + ₂) будет периодическим с периодом Т = 2/.

Пусть . Частоты колебаний, из которых составляется это сложное колебание, образуют гармоническую последовательность, т.е. частоты всех составляющих сложное колебание кратны основной частоте 1/Т. Колебание с частотой 1/Т называется первой гармоникой, с частотой 2/Т – второй и т.д.

Пусть  = 1, тогда Т = 2. К этому всегда можно прийти, изменив масштаб по оси t, т.е. положив t = t ^/. Суммы простых колебаний( = 1) при различных значениях параметров А_k, _k и целых чисел r_k и n приводят к разнообразным периодическим функциям.

Примеры из фэпо

Пример 1. Гармоническое колебание с амплитудой А, частотой  и начальной фазой  описывается законом…

Варианты ответов: 1) , 2) , 3) , 4) .

Решение.

Пример 2. Гармоническое колебание общего вида с начальной фазой описывается функцией…. Варианты ответов:1) , 2) , 3) , 4) .

Решение.

Пример 3. Определить абсолютную величину сдвига по фазе между гармониками и . Варианты ответов: 1) –2, 2) 0, 3) 6, 4) 4.

Решение.

Пример 4. Амплитуда гармонического колебания равна 0,07. За 2 минуты совершается 240 колебаний. Начальная фаза колебаний равна радиан. Тогда уравнение гармонического колебания имеет вид: 1) , 2) , 3) .

Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид . Из условия А = 0,07; . 2 мин = 120 сек, тогда период равен . Найдем круговую частоту из формулы . Следовательно, уравнение гармонического колебания имеет вид .

Пример 5. Функция , представленная как сумма гармоник, имеет вид…. Варианты ответов: 1) , 2) , 3) .

Решение.

Выше было показано, что наложение простых гармонических колебаний создает разнообразие периодических движений, отнюдь не похожих на простые гармонические колебания. Подобрать простые гармонические колебания так, чтобы их наложение вызвало заранее данное периодическое движение, то есть представить всякое периодическое движение как сложное гармоническое колебание, можно, если привлечь к рассмотрению бесконечные суммы простых гармоник, а именно ряды.

Удобнее рассматривать представление периодических функций в виде тригонометрического ряда или его частичной суммы с достаточной степенью точности. Следовательно, если требуется разложить на простые гармоники функцию с периодом 2π, необходимо, чтобы каждая из этих простых функций имела 2π в качестве одного из своих периодов, т.е. необходимо, чтобы ω = n, где n – целое. Это означает, ч то в качестве составляющих следует брать гармоники с целыми частотами.

Для решения ряда практических задач обычно требуется разложить сложную периодическую функцию периода Т на простые периодические функции вида (a cos ωx+b sin ωx), имеющие период .