Решение:

Так как требуется разложить в ряд косинусов, то надо продолжить функцию четным образом, то есть ее график будет симметричен относительно оси (оу). На рисунке 7 изображен график полученной четной функции: на заданном интервале (0; ) – сплошной линией, на интервале (–; 0) – пунктиром .

Рис. 7.

Найдем коэффициенты Фурье по формулам (1.17)–(1.18):

= = = = 0

а_n = = = =

= + nx dx = – = – (–1)ⁿ =

= [ 1 – (–1) ⁿ] =

а_2n+1 = k =0,1,2, …

Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:

f(x) = – = .

§ 8. Разложение в ряд Фурье функций с “двойной симметрией”.

Опеделение 14. Если функция f(x) периода 2ℓ четная или нечетная и удовлетворяет условию f(ℓ–x) = f(x), то говорят, что f(x) обладает двойной симметрией.

В этом случае, если f(x) – четная, то ее коэффициенты Фурье приобретают вид:

а_2n= x ) cos dx; а_2n+1 = 0 ( n = 0,1,2,…), b_n = 0 ( n = 0,1,2,…).

Если же f(x) – нечетная, то ее коэффициенты Фурье определяются так:

а_n = 0 ( n = 0,1,2,…), b_2n = 0 , b_2n+1 = x ) sin dx, ( n = 0,1,2,…).

§ 9. Интеграл Фурье.

2.1. Интеграл Фурье и двойной интеграл Фурье.

Определение 15. Функция f(x) называется кусочно-гладкой на отрезке [а,b], если: 1) она непрерывна на этом отрезке или имеет конечное число точек разрыва первого рода; 2) этот отрезок можно разбить на конечное число частичных отрезков, на каждом из которых f(x) обладает непрерывной производной, т.е. является гладкой.

Определение 16. Функция f(x) называется абсолютно интегрируемой на всей числовой оси, если сходится несобственный интеграл от ее модуля

Теорема 11. Если f(x) имеет на каждом конечном интервале не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на (-∞, ∞), то в каждой точке x, в которой f(x) дифференцируема, имеем:

f(x) = . (2.1)

Правая часть формулы (2.1) называется двойным интегралом Фурье функции f(x).

Так как cos u(t–x) = cos ut ·cos ux + sin ut · sin ux, то (после внесения множителя 1/π) внутренний интеграл в формуле (2.1) можно преобразовать так:

где

u ≥ 0, (2.2)

u ≥ 0. (2.3)

Тогда (2.1) принимает вид:

(2.4)

Определение 17. Выражение, стоящее в правой части формулы (2.4), называется интегралом Фурье для функции f(x).

Таким образом, функция f(x) представляется своим интегралом Фурье во всех точках дифференцируемости. В точках разрыва левая часть формулы (2.4) должна быть заменена на ].

Замечание. В теореме 13 сформулировано достаточное условие представимости функции своим интегралом Фурье. Оно не является необходимым, представимость интегралом Фурье будет иметь место и при более общих условиях.

Формула (2.4) показывает, что интеграл Фурье можно рассматривать как континуальный аналог ряда Фурье: вместо суммирования по индексу n, пробегающему целые значения, мы имеем интегрирование по непрерывно изменяющемуся переменному u; вместо коэффициентов Фурье, зависящих от целого индекса n, мы имеем функции a(u), b(u) от непрерывно изменяющегося переменного u, определяемые формулами (2.2), (2.3).

Пример 8. Представить интегралом Фурье функцию