Решение:

Данная функция является кусочно-гладкой, так как она состоит из трех гладких частей: y = 0 на (-∞; 0), y = 1 на (0;1) и y = 0 на (1; ∞) и имеет две точки разрыва первого рода при x = 0, x = 1. Она абсолютно интегрируема на всей числовой оси, так как вне отрезка [0;1] она равна нулю, и интеграл от нее по всей числовой оси сведется к интегралу по отрезку [0;1]. Следовательно, такая функция может быть представлена интегралом Фурье.

По формуле (2.1) имеем

f(x) = =

В точках x = 0, x = 1, где функция терпит разрыв, полученное представление сохраняется, так как в этих точках ] = = f(x). В частности, при x = 0 получим

что равносильно равенству

2.2. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций.

Если f(x) – четная функция, то , (2.5)

и ее представление интегралом Фурье имеет вид: (2.6)

Или в виде двойного интеграла Фурье: f(x)= (2.7)

Если f(x) – нечетная функция, то , (2.8)

и ее представление интегралом Фурье имеет вид: (2.9)

Или в виде двойного интеграла Фурье:

f(x)= . (2.10)

Пример 9. Представить интегралом Фурье функцию f(x) = продолжив ее четным образом для отрицательных значений.

Решение:

Заданная четная функция, очевидно, удовлетворяет указанным выше условиям представления в виде интеграла Фурье, поэтому к ней можно применить формулу (2.7), в которой интегрировать f(t) надо только по отрезку [0,2], так как вне этого отрезка она равна нулю. По формуле (2.7) имеем:

f(x) = .

Вычислим отдельно внутренний интеграл (по частям):

Следовательно, f(x) = ;

в частности, при x = 0 получаем f(0) = 1 = , то есть .

Пример 10. Представить интегралом Фурье функцию f(x) =

Решение:

Рис. 8.

Данная функция является кусочно-гладкой, так как состоит из двух гладких частей и имеет разрыв первого рода в точке x = 0. (См. рис. 8) Проверим, что f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси. Для этого убедимся, что сходится интеграл:

= (1 – 0) – (0 – 1) = 2.

Следовательно, функцию можно представить интегралом Фурье, а поскольку она является нечетной, то можно воспользоваться формулой (2.10):

f(t) = .

Интегрированием по частям найдем внутренний интеграл

.

Вторично интегрируя по частям, получим:

откуда

Таким образом, представление интегралом Фурье функции имеет вид:

2.3. Комплексная форма интеграла Фурье.

Определение 18. Если f(x) – имеет на каждом конечном интервале лишь конечное число точек разрыва первого рода и абсолютно интегрируема на всей числовой оси, то в каждой точке x, в которой f(x) дифференцируема, выполняется равенство

(2.11)

Где (2.12)

Функцию c(u) называют преобразованием Фурье функции f(t), или (учитывая физические соображения) спектральной характеристикой функции f(t). называется амплитудным спектром функции f(t). Выражение f(x) по формуле (2.11) называют комплексной формой интеграла Фурье (или обратным преобразованием Фурье).

Подстановка (2.12) в (2.11) приводит к двойному интегралу Фурье в комплексной форме:

(2.13)

Пример 11. Найти спектральную функцию и амплитудный спектр функции

a > 0.

Представить f(x) комплексной формой интеграла Фурье.