Задание на домашнюю работу по курсу «гидрогазодинамика»

Имеется цилиндрическое сопло Лаваля, вид которого показан на рис.1.

По длине сопло условно разделено на 10 участков одинаковой длины. Диаметр входного сечения d₀ равен 3 диаметрам критического сечения, d₁=3 d_кр; d₂=1,4 d_кр. От критического сечения до выходного сечения канал является коническим с постоянным углом расширения.

Задано:

начальные параметры (параметры торможения) давление р₀ и температура t₀;

давление в выходном сечении сопла р_к;

массовый расход газа G₀, кг/с;

рабочий газ – воздух, R = 287 Дж/(кг·K), k = 1,4.

Необходимо:

1. Определить размеры сопла.

2. Скорости, давления, температуру и плотность воздуха в каждом из 11 сечений сопла.

Построить график распределения этих параметров по длине сопла.

Теплообменом с окружающей средой и трением пренебречь.

Методика расчета

Определяющим параметром сопла Лаваля является площадь критического сечения, в котором достигается скорость звука. Эта площадь находится из условия неразрывности потока

, (1)

откуда

. (2)

Здесь  - удельная плотность газа в рассматриваемом сечении сопла; v – скорость газа; S – площадь сечения.

Для критического сечения скорость газа равна скорости звука в этом сечении, рассчитываемой по формуле

. (3)

По известным параметрам (давлению и температуре) для заторможенного потока из уравнения состояния можно найти удельную плотность

. (4)

Плотность газа для движущегося потока рассчитывается по формуле

. (5)

Для критического сечения при  = 1

. (6)

Для сокращения расчетов можно воспользоваться гидродинамической функцией

. (7)

Отсюда

. (8)

Тогда площадь критического сечения

. (9)

Для цилиндрического сопла диаметр критического сечения

. (10)

Вторым характерным размером сопла Лаваля является площадь его выходного сечения S_к. При расчетном режиме работы в этом сечении давление статическое давление в газовом потоке становится равным конечному давлению р_к. Скорость газа в этом сечении можно найти из уравнения

,

откуда

. (11)

Для сокращения вычислений величину _к можно найти по таблице газодинамических функций из условия

. (12)

Скорость газа в выходном сечении сопла

. (13)

Температура газа и его плотность находятся по формулам

,

,

или находятся с помощью таблиц газодинамических функций по формулам

, (14)

. (15)

Площадь выходного сечения сопла и диаметр находятся по уравнениям

, .

Затем вычисляются параметры потока в контрольных сечениях. Сначала определяются диаметры канала. Для дозвуковой части диаметры указаны в задании, для сверхзвуковой части рассчитываются по формуле

. (16)

Здесь х – расстояние от входного сечения сопла до контрольного сечения; L – полная длина сопла; L₁ – длина дозвуковой части сопла.

По найденному диаметру находится площадь сечения канала

.

Параметры потока в контрольном сечении находятся из уравнения неразрывности

,

откуда

или

. (17)

Уравнение (17) требует численного решения последовательными приближениями. Однако его можно представить в виде

. (18)

Здесь - газодинамическая функция, значения которой приводятся в таблицах. По известной величине можно найти значение приведенной скорости _х и затем определить остальные параметры потока.