Решение

1. Для заданного набора данных построим линейную модель множественной регрессии.

Y_х = а + b₁Х₁ + b₂Х₂ + b₃Х₃ + b₄Х₄ + 

Таблица №2

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-63,12339216	24,03915584	-2,625857272	0,016639889	-113,4379235	-12,80886085
X1	0,495117715	0,036188344	13,68169026	2,74417E-11	0,41937464	0,570860789
X2	0,983476231	0,175264351	5,611387733	2,06783E-05	0,616643729	1,350308734
X3	-1,307234046	1,445807723	-0,904154837	0,377235119	-4,333344382	1,71887629
X4	1,087907312	0,291987593	3,725868289	0,001432703	0,476770258	1,699044365

Параметры модели рассчитаем методом наименьших квадратов:

а = - 63,12, b₁ = 0,5, b₂ = 0,98, b₃ = -1,31 и b₄ = 1,09

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

Y_х = - 63,12 + 0,5Х₁ + 0,98Х₂ – 1,31Х₃ + 1,09Х₄ + 

Оценим точность полученной модели. Вычислим парные коэффициенты корреляции используя формулу:

r_{yxi =}

Сводные результаты корреляционного анализа представим в таблице:

Таблица №3

	Y	X1	X2	X3	X4
Y X1 X2 X3 X4	1 0,967 0,048 0,469 0,947	1 - 0,191 0,384 0,862	1 0,184 0,209	1 0,646	1

Для оценки адекватности построенного уравнения регрессии заполним следующую таблицу:

Таблица №4

Регрессионная статистика
Множественный R	0,997719294
R-квадрат	0,99544379
Нормированный R-квадрат	0,994484588
Стандартная ошибка	2,729949461
Наблюдения	24

Коэффициент множественной корреляции показывает, что факторы Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, объясняют вариацию признака Y на 99,8%, а необъясненные факторы 0,2%.

С помощью t-критерия Стьюдента оценим значимость коэффициентов уравнения регрессии а, b₁, b₂, b₃ и b₄:

Таблица №5

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-63,12339216	24,03915584	-2,625857272	0,016639889
X1	0,495117715	0,036188344	13,68169026	2,74417E-11
X2	0,983476231	0,175264351	5,611387733	2,06783E-05
X3	-1,307234046	1,445807723	-0,904154837	0,377235119
X4	1,087907312	0,291987593	3,725868289	0,001432703

Табличное значение t - критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (24 – 4 – 1 = 19) составляет 2,09, условие выполняется для коэффициентов b₁, b₂ и b₄ , значит они существенны (значимы), соответственно коэффициент b₃ не значим.

На основе вычисления F-критерия Фишера произведем проверку значимости полученного уравнения регрессии с вероятностью 0,95:

F = *

F = * = 945

получили F  F_табл= 2,90 для  = 0,05; m₁ = m = 4, m₂ = n – m – 1 = 19.

Поскольку F_рас  F_табл, уравнение множественной регрессии следует признать адекватным.

2. Исключим несущественные факторы Х₃ и построим уравнение зависимости (балансовой прибыли) от объясняющих переменных Х₁, Х₂, и Х₄.

Построим уравнение регрессии со статистически значимыми факторами.

Y = a + b₁X₁+ b₂X₂+ b₄X₄+ 

Методом наименьших квадратов найдем параметры модели:

а = - 80,81, b₁ = 0,51, b₂ = 1,06, b₄ = 0,90

Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:

Y_х = - 80,81 + 0,51Х₁ + 1,06Х₂ + 0,90Х₄ + 

Таблица № 6

Регрессионная статистика
Множественный R	0,997621047
R-квадрат	0,995247754
Нормированный R-квадрат	0,994534917
Стандартная ошибка	2,717465246
Наблюдения	24
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	30930,73724	10310,24575	1396,178737	2,16904E-23
Остаток	20	147,6923473	7,384617364
Итого	23	31078,42958
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-80,80788211	13,91182082	-5,808576977	1,10503E-05	-109,827432	-51,78833248
X1	0,514732775	0,028832194	17,85270937	9,33007E-14	0,454589873	0,574875677
X2	1,055202046	0,155568647	6,782870859	1,35061E-06	0,730691534	1,379712557
X4	0,896552042	0,200239952	4,477388412	0,000230607	0,478858822	1,314245261

Оценим точность и адекватность полученной модели.

Коэффициент детерминации: R² = 0,995.

Коэффициент корреляции: r_ху = 0,997.

Остаточная сумма квадратов: С = 147,69

На основе вычисления F-критерия Фишера произведем проверку значимости полученного уравнения регрессии с вероятностью 0,95:

F =

F = = 945

получили F  F_табл= 3,10 для  = 0,05; m₁ = m = 3, m₂ = n – m – 1 = 20.

Поскольку F_рас  F_табл, уравнение множественной регрессии следует признать значимым.

Экономическая интерпретация параметров модели.

b₁ = 0,51, значит при увеличении только денежных доходов населения на 1 млрд. руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 0,51 млрд. руб.

b₂ = 1,06, значит при увеличении только доли доходов, используемых на покупку товаров и услуг, на 1 млрд. руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 1,06 млрд. руб.

b₄ = 0,9, значит при увеличении только официального курса рубля по отношению к доллару на 1 руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 0,9 млрд. руб.

Рассчитаем частные коэффициенты эластичности:

_

Х₁ 185,81

Э₁ = b₁ — = 0,51 * ———— = 0,83

Y 114,3

_

Х₂ 79,49

Э₂ = b₂ — = 1,06 * ——— = 0,74

Y 114,3

_

Х₄ 17,39

Э₄ = b₄ — = 0,9 * ——— = 0,14

Y 114,3

Они показывают, на сколько процентов изменяется зависимая переменная Y при изменении фактора Х_i на один процент.

3. Применим тест Голдфельда-Квандта для проверки гомоскедастичности остатков в полученной модели.

Упорядочим наблюдения в порядке возрастания переменной Х₁ и, исключив из рассмотрения 6 центральных наблюдения, разделим совокупность из оставшихся 18 наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора Х₁). Определим по каждой из групп уравнение регрессии и остаточной суммы квадратов.

Проверка линейной регрессии на гомоскедастичность.

Таблица № 7

Уравнения регрессии	Х1	Х2	Х4	Y	Ŷ	E	E^2
Первая группа с первыми 9 месяцами Y = -23,13 + 0,23Х1- 0,69Х2+ 1,97Х4 r = 0,997 F = 318,9	117,7	81,6	6,026	72,9	71,69	1,21	1,4748
	123,1	77,3	6,164	69,8	70,22	-0,42	0,1800
	123,8	73,2	6,072	67	67,38	-0,38	0,1438
	126,7	76	6,198	69,1	70,21	-1,11	1,2432
	126,9	75,3	6,106	69,7	69,60	0,10	0,0105
	129,3	84,7	7,905	80,1	80,15	-0,05	0,0029
	130,4	76,6	6,238	70,7	71,55	-0,85	0,7202
	134,1	71,3	6,133	70	68,53	1,47	2,1486
	145,4	92,4	16,065	105,2	105,16	0,04	0,0015
Сумма							5,93
Вторая группа с последними 9 месяцами Y = - 122,45 + 0,64Х1+ 2,17Х2– 2,17Х4 r = 0,991 F = 97,5	219,4	76,1	24,23	129,8	130,90	-1,10	1,2003
	223,3	78,1	24,22	136,3	137,76	-1,46	2,1253
	223,6	79,8	24,19	139,7	141,70	-2,00	3,9894
	227,2	70,9	20,65	134,8	132,43	2,37	5,6191
	236,6	82,1	24,75	151	153,83	-2,83	7,9921
	236,6	83,2	25,08	154,6	155,49	-0,89	0,7963
	248,6	80,8	26,05	160,2	155,91	4,29	18,4012
	253,4	81,8	26,42	163,2	160,36	2,84	8,0601
	351,4	68,3	27	191,7	192,93	-1,23	1,5104
Сумма							49,69

Получаем R = 49,69 / 5,93 = 8,38, т.к. R больше табличного значения F-критерия 5,05 при 5%-ном уровне значимости для числа степеней свободы 5 для каждой остаточной суммы квадратов ((24 – 6 – 4*2) / 2), то условие Голдфельда-Квандта не выполняется, т.е. не подтверждается гомоскедастичность остатков.

4. Проверим полученную модель на наличие автокорреляции остатков помощью теста Дарбина-Уотсона.

Построим вспомогательную таблицу:

Таблица №8

ei	ei-1	(ei - ei-1)^2	(ei)^2
1,790689805			3,20657
1,212351757	1,79069	0,334474898	1,469797
0,405921312	1,212352	0,650330062	0,164772
1,045605195	0,405921	0,40919547	1,09329
0,095870732	1,045605	0,901995551	0,009191
-1,4064696	0,095871	2,257026466	1,978157
-2,27200717	-1,40647	0,749155294	5,162017
-1,84562984	-2,27201	0,18179763	3,40635
-0,77494548	-1,84563	1,146365005	0,60054
-0,23304391	-0,77495	0,293657307	0,054309
1,829073393	-0,23304	4,252327772	3,345509
5,919066869	1,829073	16,72804664	35,03535
-1,1740676	5,919067	50,31255666	1,378435
-1,26067668	-1,17407	0,007501132	1,589306
-0,67087525	-1,26068	0,347865725	0,450074
-4,35852294	-0,67088	13,59874549	18,99672
-1,41641823	-4,35852	8,655980107	2,006241
-2,79134265	-1,41642	1,89041716	7,791594
-1,30987375	-2,79134	2,194750123	1,715769
0,551649133	-1,30987	3,465267431	0,304317
2,84153927	0,551649	5,243596841	8,074345
4,066646367	2,841539	1,500887399	16,53761
3,56552621	4,066646	0,251121412	12,71298
-3,81006694	3,565526	54,39937426	14,51661
	СУММА	169,7724358	141,5999

При проверке независимости уровней ряда остатков определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей. Это проверяется с помощью d – критерия Дарбина-Уотсона, в соответствии с которым вычисляется коэффициент d:

.

d = 1,198959

По таблице критических точек распределения Дарбина–Уотсона для заданного уровня значимости , числа наблюдений и количества объясняющих переменных m определить два значения: d_н- нижняя граница и d_в - верхняя граница.

В нашем случае модель содержит 3 объясняющие переменные (m=3), нижняя и верхняя границы равны соответственно d_н = 1,10 и d_в = 1,66.

Расчетное значение d-статистики лежит в интервале 0≤d≤d_н. Следовательно, в ряду остатков существует положительная автокорреляция.

4. Проверим адекватность предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Для проверки предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле применим тест Чоу.

Разделим совокупность наблюдений на две группы: первые 12 наблюдений и последние 12 наблюдений. Определим по каждой из групп уравнение регрессии и остаточной суммы квадратов.

Таблица №9

Уравнения регрессии	Х1	Х2	Х4	Y	Ŷ	E	E^2
Первая группа с первыми 12 месяцами Y = - 68,82+0,52Х1 + 0,87Х2 - 1,08Х3	117,7	81,6	6,026	72,9	70,17	-2,73	7,4513
	123,8	73,2	6,072	67	66,12	-0,88	0,7754
	126,9	75,3	6,106	69,7	69,60	-0,10	0,0095
	134,1	71,3	6,133	70	69,93	-0,07	0,0052
	123,1	77,3	6,164	69,8	69,41	-0,39	0,1501
	126,7	76	6,198	69,1	70,21	1,11	1,2213
	130,4	76,6	6,238	70,7	72,71	2,01	4,0254
	129,3	84,7	7,905	80,1	80,97	0,87	0,7499
	145,4	92,4	16,065	105,2	104,90	-0,30	0,0892
	163,8	80,3	16,01	102,5	103,97	1,47	2,1539
	164,8	82,6	17,88	108,7	108,51	-0,19	0,0362
	227,2	70,9	20,65	134,8	134,01	-0,79	0,6218
Сумма							17,29
Вторая группа с оставшимися 12 месяцами Y = - 180,51+0,48Х1+ 1,48Х2 + 3,88Х3	164	89,9	22,6	116,7	118,64	1,94	3,7566
	183,7	81,3	22,86	117,8	116,28	-1,52	2,3051
	195,8	83,7	24,18	128,7	130,73	2,03	4,1131
	219,4	76,1	24,23	129,8	130,90	1,10	1,2075
	209,8	80,4	24,44	133,1	133,52	0,42	0,1723
	223,3	78,1	24,22	136,3	135,68	-0,62	0,3783
	223,6	79,8	24,19	139,7	138,23	-1,47	2,1529
	236,6	82,1	24,75	151	150,01	-0,99	0,9765
	236,6	83,2	25,08	154,6	152,92	-1,68	2,8117
	248,6	80,8	26,05	160,2	158,85	-1,35	1,8343
	253,4	81,8	26,42	163,2	164,05	0,85	0,7252
	351,4	68,3	27	191,7	192,99	1,29	1,6589
Сумма							22,09

Таким образом, С₁ = 17,29, С₂ = 22,09.

Остаточная сумма квадратов по кусочно-линейной модели:

С_кл = С₁ + С₂ = 17,29 + 22,09 = 39,38

Соответствующее ей число степеней свободы составит 16

Остаточная сумма квадратов единого уравнения тренда: С = 147,69

Сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:

ΔС = С – С_кл = 147,69 – 39,38 = 108,31

Далее в соответствии с предложенной Г. Чоу методикой определим фактическое значение F-критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы вариации:

F_рас = = = 11,0

П олучили F_рас > F_табл = 3,01 значит, гипотеза о структурной стабильности тенденции не принимается, а влияние структурных изменений на динамику Y признаем значимым.

Задача 2

Производственная функция Кобба-Дугласа характеризуется следующим уравнением:

lgY = -0,15 + 0,35lgK + 0,72lgL + ε , R² = 0,97.

(0,43) (0,06) (0,15) F = 254,9

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание:

1. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.

2. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.

3. Что можно сказать об эффекте от масштаба производства?